專題2.20二次根式（分層練習）（培優練）一、單選題1．與最接近的整數是（

）A．3 B．4 C．5 D．62．化簡二次根式的結果是（

）A． B．－ C． D．－3．下列計算不正確的是（

）A． B．C． D．4．化簡的結果為（）A． B．30 C． D．305．下列各式中，不正確的是（

）A．B． C． D．6．下列計算或判斷：（1）±3是27的立方根；（2）=a；（3）的平方根是2；（4）=±8；（5）=，其中正確的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個7．若a、b、c為有理數，且等式成立，則2a＋999b＋1001c的值是（

）A．1999 B．2000 C．2001 D．不能確定8．若和都是正整數且，和是可以合并的二次根式，下列結論中正確的個數為（）①只存在一組和使得；②只存在兩組和使得；③不存在和使得；④若只存在三組和使得，則的值為49或64A．1個 B．2個 C．3個 D．4個9．“黑白雙雄，縱橫江湖；雙劍合壁，天下無敵”．其意指兩個人合在一起，取長補短，威力無比．在二次根式中也有這樣相輔相成的例子．如，它們的積是有理數，我們說這兩個二次根式互為有理化因式，在進行二次根式計算時利用有理化因式可以去掉根號，令（為非負數），則；．則下列選項正確的有（

）個①若是的小數部分，則的值為；②若（其中為有理數），則；③，則④A．4 B．3 C．2 D．110．已知，將的整數部分加上的小數部分的倒數得到，再將的整數部分加上的小數部分的倒數得到，以此類推可得到，，……，．如的整數部分為1，小數部分為，所以．根據以上信息，下列說法正確的有（

）①；②的小數部分為；③；④；⑤．A．2個 B．3個 C．4個 D．5個二、填空題11．a，b為有理數，且，則．12．若的積是有理數，則無理數m的值為．13．已知，則的值為．14．已知n是正整數，是整數，則滿足條件的所有n的值為．15．若，則的值為．16．化簡：17．把中根號外的移入根號內得．18．如圖，在中，，是邊上的高，圖中線段上一動點，若滿足，，，則以為邊長的正方形面積是．

三、解答題19．計算：(1)； (2)．20．計算(1) (2)21．已知，，求的值．22．已知x＋y=－8，xy=8，求的值．23．在數學課外學習活動中，嘉琪遇到一道題：已知，求2a2﹣8a+1的值．他是這樣解答的：∵，∴．∴（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3．∴a2﹣4a＝﹣1．∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．請你根據嘉琪的解題過程，解決如下問題：（1）試化簡和；（2）化簡；（3）若，求4a2﹣8a+1的值．24．閱讀下列材料，然后回答問題．①在進行二次根式的化簡與運算時，我們有時會碰上如一樣的式子，其實我們還可以將其進一步化簡：以上這種化簡的步驟叫做分母有理化．②學習數學，最重要的是學習數學思想，其中一種數學思想叫做換元的思想，它可以簡化我們的計算，比如我們熟悉的下面這個題：已知ab2，ab3，求．我們可以把ab和ab看成是一個整體，令xab，yab，則．這樣，我們不用求出a，b，就可以得到最后的結果．計算：；m是正整數，a，b且．求m．已知，求的值．參考答案1．B【分析】把原式去括號后根據算術平方根的性質求解．解：原式=，∵49<54<64，∴，∵，∴，∴最接近7，∴最接近7-3即4，故選：B．【點撥】本題考查二次根式的應用，熟練掌握二次根式的混合運算法則和算術平方根的性質是解題關鍵．2．B【分析】首先根據二次根式有意義的條件求得a、b的取值范圍，然后再利用二次根式的性質進行化簡即可解：故選B【點撥】本題考查了二次根式的性質及化簡，解題的關鍵是根據二次根式有意義的條件判斷字母的取值范圍．本題需要重點注意字母和式子的符號．3．D解：根據二次根式的加減法，合并同類二次根式，可知，故正確；根據二次根式的乘法，可知，故正確；根據二次根式的性質和化簡，由分母有理化可得，故正確；根據二次根式的加減，可知與不是同類二次根式，故不正確.故選D.4．C解：先把根號里因式通分，然后分母有理化，可得==，故選C．點睛：此題主要考查了二次根式的化簡，解題關鍵是利用分數的通分求和，然后把其分母有理化即可求解，比較簡單，但是易出錯，是常考題.5．B解：根據二次根式的性質和立方根的性質，逐一判斷為：=3，=-3，故A正確；=4，=2，故B不正確；根據被開方數越大，結果越大，可知C正確；，可知D正確.故選B.6．B解：根據立方根的意義，可知27的立方根是3，故（1）不正確；正確，故（2）正確；由=8，可知其平方根為±，故（3）不正確；根據算術平方根的意義，可知，故（4）不正確；根據分母有理化的意義，可知，故（5）正確.故選B.7．B解：因=，所以a=0，b=1，c=1，即可得2a＋999b＋1001c=999+1001=2000，故選B.點睛：本題考查了二次根式的性質與化簡，將復合二次根式根據完全平方公式化簡并比較系數是解題的關鍵．8．C【分析】直接利用同類二次根式的定義得出和是同類二次根式，進而得出答案．解：①和都是正整數且，和可以合并的二次根式，，，當時，故該選項①正確；②，當，則當則．故選項②正確；③，當時，，所以不存在，故該選項③正確；④，，當時，，，，有無數和滿足等式，故該選項④錯誤．故選：C．【點撥】本題考查的是同類二次根式，熟知同類二次根式的定義及合并方法是解答此題的關鍵．9．B【分析】先估算出，則，然后對進行分母有理化即可判斷①；根據推出，正在由為有理數，得到方程組，解方程組即可得到答案；只需要根據，推出，即可判斷③；證明，然后對原式裂項即可判斷④．解：由題意得，∵，∴，∴，∴，故①錯誤；∵，∴，∴，∴，∴，∵為有理數，∴，∴，∴，故②正確；∵，∴∴，∴，∴，故③正確；∵，∴，故④正確；故選B．【點撥】本題主要考查了分母有理化，二次根式的混合計算，平方差公式的應用，無理數的估算等等，靈活運用所學知識是解題的關鍵．10．B【分析】根據定義找到的規律，再逐個判斷即可．解：由題意得，，它的整數部分為2，小數部分為；，它的整數部分為4，小數部分為；，它的整數部分為5，小數部分為；，它的整數部分為7，小數部分為；，它的整數部分為8，小數部分為；，它的整數部分為10，小數部分為；∴n為奇數時，，它的整數部分為，小數部分為；n為偶數時，，它的整數部分為，小數部分為；∴①，正確；②的小數部分為，錯誤；③，正確；④，錯誤；⑤，正確；綜上所述，正確的是①③⑤,共3個；故選：B．【點撥】本題考查的是數字類規律探究、估算無理數的大小，二次根式的混合運算，通過計算找到規律是解題的關鍵．11．2【分析】先根據完全平方公式進行變形計算，即，且a，b為有理數，求出，進而得到．解：a，b為有理數故答案為：2．【點撥】本題主要考查了完全平方公式與二次根式的化簡，關鍵在于完全平方公式的變形．12．【分析】對進行化簡，由題意令，（是有理數）即可求解．解：的積是有理數，m是無理數，是有理數，令，（是有理數）解得：，當即，時，故答案為：．【點撥】本題考查了二次根式混合運算，有理數的性質；解題的關鍵是熟練掌握二次根式的混合運算法則即有理數的性質．13．/【分析】先利用二次根式有意義求得與的值，然后把與的值代入變形后的代數式求值即可．解：∵，∴，解得，∴，∴．故答案為：【點撥】本題考查了代數式的化簡求值，二次根式有意義的條件的應用是解題的關鍵．14．或或【分析】先利用算術平方根有意義的條件求得正整數的取值范圍，然后令等于所有可能的平方數即可求解．解：由題意得，解得，∵n是正整數，∴∴，∴，∴，∵是整數，∴或或或或，解得或或或或，∵n是正整數，∴或或，故答案為：或或【點撥】本題考查了算術平方根的性質，理解掌握被開方數是平方數時算術平方根才是整數是解題的關鍵．15．2022【分析】根據二次根式的被開方數的非負性，得a-2022≥0，進而化簡絕對值，求解即可．解：由題意得a-2022≥0，∴a≥2022，∴|2021-a|=a-2021．∵，∴，，，即=2022．故答案為2022．【點撥】本題主要考查二次根式的非負性，以及化簡絕對值，找到a的取值范圍，化簡絕對值是解題的關鍵．16．【分析】因為被開方數為非負數且被開方數不為0，因此得到被開方數大于0，求出ab<0后，進行二次根式的化簡即可．解：要使該二次根式有意義，則有故答案為：．【點撥】本題主要考查了二次根式有意義的條件，以及二次根式的化簡，牢記分母有理化的方法與規則是解題的關鍵，本題中被開方數分子分母同乘以ab后，分母開出來容易出現符號錯誤，建議可以先套上絕對值符號再進行化簡．17．【分析】先根據二次根式有意義的條件：被開方數≥0，求出a的取值范圍，根據，然后根據二次根式的乘法公式將移入根號化簡即可．解：根據二次根式有意義的條件可得：且解得：則，故答案為：．【點撥】此題考查的是二次根式的變形，掌握二次根式有意義的條件：被開方數≥0和二次根式的乘法公式是解決此題的關鍵．18．或或【分析】根據題意，點在線段的垂直平分線上，設的中點為，根據點在上，根據勾股定理解三角形，即可求解．解：在中，，是邊上的高，∴，∵∴在線段的垂直平分線上，設的中點為當點在上時，則重合，∵，，∴∴以為邊長的正方形面積是，當在上時，如圖所示，

∵，，，∴，∴，設，則，，∴，在中，，即，解得：，∴為邊長的正方形面積是，當點在上時，如圖所示，

則，∴，∴，∴，∴，，∴，∴，為邊長的正方形面積是，故答案為：或或．【點撥】本題考查了等腰三角形的性質與判定，垂直平分線的性質，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質，二次根式的混合運算，分類討論是解題的關鍵．19．(1)；(2)【分析】（1）先把每一個二次根式化成最簡二次根式，然后再合并同類二次根式，即可解答；（2）利用完全平方公式，平方差公式進行計算，即可解答．（1）解：；（2）解：．【點撥】本題考查了二次根式的混合運算、完全平方公式、平方差公式，準確熟練地進行計算是解題的關鍵．20．(1)；(2)【分析】（1）先計算括號里，再計算除法；（2）先運用平方差公式和完全平方公式、分母有理化進行計算，再相加減即可解：（1）原式（2）原式【點撥】本題考查二次根式的混合運算、平方差公式、完全平方公式，分母有理化，掌握二次根式混合運算的計算方法是解題的關鍵．21．970【分析】首先把x和y進行分母有理化，然后將其化簡后的結果代入計算即可．解：∵，，∴原式．【點撥】本題主要考查二次根式的化簡求值，解答本題的關鍵是對x和y進行分母有理化及掌握二次根式的運算法則．22．【分析】根據已知條件可知，x，y是負數，再由二次根式的性質化簡，把原式用x+y和xy表示即可求解．解：∵x＋y=－8，xy=8，∴x＜0，y＜0，∴【點撥】本題主要考查了二次根式的乘除法法則和加減法法則，先要根據式子，找出題目中的隱含條件，判斷所含字母或式子的符號，再結合二次根式的定義和運算法則，把式子用x+y和xy表示，再整體代入求值．23．（1），；（2）；（3）5【分析】（1）利用分母有理化計算；（2）先分母有理化，然后合并即可；（3）先將a的值化簡為，進而可得到，兩邊平方得到，然后利用整體代入的方法計算．解：（1）故答案為：，；（2）原式；（3），，，即．．．【點撥】本題考查了二次根式的化簡求值：二次根式的化簡求值，一定要先化簡再代入求值．二次根式運算的最后，注意結果要化到最簡二次根式，二次根式