2023－2024學年光明區初三模擬考試數學本試卷共6頁，22題，滿分100分．考試用時90分鐘．注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上．2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂里．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號．答案不能答在試卷上．3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，再寫上新答案（作圖題除外）；不準使用涂改液．不按以上要求作答無效．4．考生必須保證答題卡的整潔．考試結束后，將答題卡交回．第一部分選擇題一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分，每小題有四個選項，其中只有一項是正確的）1.有理數的相反數是（）A. B. C.2024 D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了相反數的定義，根據只有符號不同的兩個數互為相反數即可得出答案．【詳解】解：有理數的相反數是2024，故選：C．2.中國古典花窗圖案豐富多樣，極具觀賞價值．下列各圖是中國古典花窗基本圖案，其中是軸對稱圖形的為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題主要考查了軸對稱圖形的概念．由題意依據如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，以此進行分析判斷即可．【詳解】解：選項A、B、D不能找到一條直線，使圖形沿這條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形，選項C能找到這樣的一條直線，使圖形沿這條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形，故選：C．3.2024年3月汽車品牌比亞迪以302459輛的銷量位居行業前列，數據302459用科學記數法表示為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了科學記數法，科學記數法的表示形式為的形式，其中，為整數．確定的值時，要看把原來的數，變成時，小數點移動了多少位，的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值時，是正數；當原數的絕對值時，是負數，確定與的值是解題的關鍵．【詳解】解：302459用科學記數法衣示為，故選A．4.下圖是小李在勞動實踐課上制作的辦公桌，該辦公桌的主視圖為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了書桌的三視圖，根據從正面看得到的圖形是主視圖，可得答案．【詳解】解：從正面看，可得選項D的圖形，故選：D．5.下列計算正確的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查的是同底數冪的乘法，合并同類項，冪的乘方與積的乘方法則，熟知以上知識是解題的關鍵．【詳解】解：A.，原計算錯誤；B.，計算正確；C.，原計算錯誤；D.不能合并，原計算錯誤；故選B．6.體育老師隨機抽取了7名同學進行1分鐘跳繩測試．他們的成繞（單位：個）如下：165，．這組數據的眾數和中位數分別是（）A.175，175 B.165，175 C.175，165 D.175，170【答案】A【解析】【分析】本題考查中位數和眾數，掌握中位數和眾數的定義是解題的關鍵．【詳解】解：把這組數據從小到大排列為：，第四個數據為175，故中位數為175；由于175出現三次，次數最多，故眾數為；故選A．7.把不等式組的解集表示在數軸上，正確的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】分別求出兩個不等式的解集，然后求出兩個解集的公共部分，找到對應的表示方法，即可求解，本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎，熟知“同大取大；同小取?。淮笮⌒〈笾虚g找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵．【詳解】解：解得：，∴不等式的解集為：，故選：．8.如圖，的對角線相交于點．如果添加一個條件，使得是矩形，那么這個條件可以是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據矩形的判定定理進行判斷即可，本題主要考查矩形的判定，熟悉掌握矩形判定條件是關鍵．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，，當時，是菱形，不是矩形，不符合題意，當時，，是矩形，符合題意，當時，是菱形，不是矩形，不符合題意，當時，是平行四邊形，不是矩形，不符合題意，故選：．9.如圖，在坡比為的斜坡上有一電線桿．某時刻身高1.7米的小明在水平地面上的影長恰好與其身高相等，此時電線桿在斜坡上的影長為30米，則電線桿的高為（）米．A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查的是解直角三角形的應用—坡度坡角問題，正確作出輔助線、熟記銳角三角函數的定義是解題的關鍵，作，由坡比得到，在中，應用三角函數，求出、的長，根據題意求出的長度，根據即可求解．【詳解】解：過點作，交延長線于點，∵坡比為，∴，∴，∵，∴（米），（米），∵某時刻身高1.7米的小明在水平地面上的影長恰好與其身高相等，∴（米），∴（米），故選：．10.如圖，在四邊形中，，點是對角線的中點，將繞點旋轉得到交邊于點，若，，則線段的長為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查等邊三角形的判定和性質，解直角三角形，勾股定理．過點A作交的延長線于點G，連接，由旋轉的性質得出，證出是等邊三角形，由等邊三角形的性質得出，證出，由等腰直角三角形的性質及勾股定理可得出答案．【詳解】解：如圖，過點A作交的延長線于點G，連接，∵，，∴是等邊三角形，∴，由旋轉可得，∵，∴，∴，∴，∴，，∴，∴，故選D．第二部分非選擇題二、填空題（本大題共5小題，毎小題3分，共15分）11.因式分解：___________．【答案】【解析】【分析】先提取公因式，再用平方差公式因式分解即可．【詳解】解：，故答案為：．【點睛】本題考查因式分解，解題的關鍵是熟練掌握提取公因式法，公式法因式分解的方法．12.在一個不透明的袋子中放有10個白球，若干個紅球，這些球除顏色外完全相同．每次把球充分攪勻后，任意摸出一個球記下顏色，再放回袋中，通過大量重復試驗后，發現摸到白球的頻率穩定在0.25左右，則紅球約有______個．【答案】【解析】【分析】此題考查的是用頻率估計概率；根據用頻率估計概率可知：摸到白球的頻率為0.25，根據概率公式即可求出小球的總數，從而求出紅球的個數．【詳解】解：設紅球約有個，則，解得：，經檢驗是原方程的解，故答案為：．13.已知，與相交于點，若，，與間的距離為2.1，則點到的距離為______．【答案】【解析】【分析】此題考查了相似三角形的性質和判定，根據題意設點到的距離為x，則點到的距離為，然后證明出，得到，然后代數求解即可．【詳解】解：∵與間的距離為2.1設點到的距離為x，則點到的距離為∵∴，∴∴∴∴∴點到的距離為．故答案為：．14.如圖，在直角坐標系中，為第二象限內一點，連接，在線段上取點，使得，過點所作軸的平行線與過點所作軸的平行線交于點．若反比例函數的圖象經過點，已知，則的值為______．【答案】【解析】【分析】本題考查求反比例函數解析式，相似三角形的判定和性質，過點作軸于點D，設點A的坐標為，得到，，然后根據得到，，然后利用得到關于m的方程解題即可．【詳解】解：過點作軸于點D，設點A的坐標為，∴，，∵軸，點所作軸的平行線與過點所作軸的平行線交于點，，∴，∴，∴，，∴，解得：，故答案為：．15.在中，，線段平分．已知，則線段的長為______．【答案】【解析】【分析】本題考查解直角三角形．過點C作交的延長線于點E，根據角平分線得到，根據三角函數得到，進而求出，然后利用勾股定理求出長．【詳解】過點C作交的延長線于點E，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，∴．三、解答題（本大題共7小題，共55分）16.計算：．【答案】【解析】【分析】根據負整數指數冪、立方根、零指數冪、絕對值的化簡，即可得到答案，本題考查了，整數指數冪，立方根，絕對值化簡，解題的關鍵是：熟練掌握相關運算法則．【詳解】解：．17先化簡，再求值：，其中．【答案】，2【解析】【分析】先利用通分和同分母分式加法法則計算括號里的，在利用平方差公式和完全平方公式進行變形，最后進行約分求得最簡結果，將其代入，即可求得最簡值．本題考查了分式的化簡求值，解題的關鍵在于熟練掌握運算法則．詳解】解：，當時，．18.為了增強學生體質，某校在每周二、周四的課后延時服務時段開設了五類拓展課程：A籃球，B足球，C乒乓球，D踢建子，E健美操．為了解學生對這些課程的喜愛情況，學校隨機抽取了部分學生進行問卷調查，并將調查結果整理后繪制成兩幅不完整的統計圖．請根據統計圖的信息回答下列問題．（1）本次抽取調查的學生共有______人；（2）請補全條形統計圖；（3）在扇形統計圖中，A籃球類所對應的圓心角為______°；（4）八（1）班有甲、乙、丙、丁四位同學參加了乒乓球課程，為參加學校組織的乒乓球比賽，班主任從四人中隨機抽取兩人代表班級出戰．利用畫樹狀圖或列表的方法求出甲和乙至少有一人被選上的概率．【答案】（1）125（2）見解析（3）（4），見解析【解析】【分析】（1）用項目B的人數除以其人數占比即可求出本次抽取調查的學生人數；（2）先求出項目D的人數，再補全統計圖即可；（3）用乘以項目A的人數占比即可得到答案；（4）先列出圖表得到所有的等可能性的結果數，再找到符合題意的結果數，最后依據概率計算公式求解即可．本題考查了扇形統計圖與條形統計圖信息相關聯，樹狀圖或列表法求解概率，正確讀懂統計圖并畫出樹狀圖或列出表格是解題的關鍵．【小問1詳解】解：（人），∴此次調查共抽取了125名學生，故答案為：125，【小問2詳解】解：項目D的人數為：（人），條形統計圖補充為：【小問3詳解】解：在此扇形統計圖中，A籃球類所對應的扇形圓心角為：，故答案為：，【小問4詳解】解：列表如下：

甲乙丙丁甲﹣﹣﹣（乙，甲）（丙，甲）（丁，甲）乙（甲，乙）﹣﹣﹣（丙，乙）（丁，乙）丙（甲，丙）（乙，丙）﹣﹣﹣（丁，丙）?。?，?。ㄒ遥。ū?，?。┅仼仼仭咚械瓤赡艿慕Y果為12種，其中符合要求的只有10種，∴甲和乙至少有一人被選上的概率為，故答案為：．19.如圖，過圓外一點作的切線，切點為是的直徑．連接，過點作的垂線，垂足為，同時交于點，連接．（1）求證：是的切線：（2）若，求切線的長．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）連接，由垂徑定理可得，通過，得，通過，可得，根據切線的判定定理，即可求解；（2）由三角形的中位線得到，，在中，根據勾股定理，得到的長，，在中，根據正切三角函數，即可求解，【小問1詳解】解：連接，∵，∴，∵，，∴，∴，∵，，∴，∴，∵是的切線，∴，∴，∴是的切線，【小問2詳解】解：∵，，∴，∴，在中，，，中，，故答案為：．【點睛】本題考查了垂徑定理，全等三角形的性質與判定，切線的性質與判定，三角形的中位線，解直角三角形，熟練掌握相關性質定理及判定定理是解題關鍵．20.2024年是農歷甲辰龍年，含有“龍”元素的飾品深受大眾喜愛．商場購進一批單價為70元的“吉祥龍”公仔，并以每個80元售出．由于銷售火爆，公仔的銷售單價經過兩次調整后，上漲到每個125元，此時每天可售出75個．（1）若銷售單價每次上漲的百分率相同，求該百分率；（2）市場調查發現：銷售單價每降低1元，其銷售量相應增加5個．那么銷售單價應降低多少，才能使每天所獲銷售利潤最大？最大利潤是多少？【答案】（1）（2）銷售單價降低元，所獲銷售利潤最大，最大為元【解析】【分析】本題主要考查了一元二次方程的應用、二次函數的應用，解題時要能找準等量關系，正確列出一元二次方程及二次函數關系式是解題的關鍵．（1）依據題意，設每次上漲的百分率為x，再由題意列出關于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結論；（2）依據題意，設每個降價為a元，可列出關于a的二次函數，再由二次函數的性質進行判斷計算可以得解．【小問1詳解】解：設每次上漲的百分率為，列方程為：，解得：，（舍去），答：每次上漲的百分率為；【小問2詳解】解：設銷售單價降低元，銷售利潤為元，，∴當銷售單價降低元，所獲銷售利潤最大，最大為元．21.【項目式學習】項目主題：學科融合－用數學的眼光觀察世界項目背景：學習完相似三角形性質后，某學?？茖W小組的同學們嘗試用數學的知識和方法來研究凸透鏡成像規律．項目素材：素材一：凸透鏡成像規律：物體到凸透鏡距離像到凸透鏡距離像的大小像的正倒大于2倍焦距大于1倍焦距小于2倍焦距縮小倒立2倍焦距2倍焦距等大倒立大于1倍焦距小于2倍焦距大于2倍焦距放大倒立小于焦距與物同側放大正立素材二：透鏡成像中，光路圖的規律：通過透鏡中心的光線不發生改變：平行于主光軸的光線經過折射后光線經過焦點．項目任務：任務一：凸透鏡焦距為，蠟燭的高為，離透鏡中心的距離是時，請你利用所學的知識填空：①______，②____；任務二：凸透鏡的焦距為，蠟燭是，離透鏡中心的距離是時，蠟燭的成像的高，請你利用所學的知識求出與的關系式：任務三：（1）根據任務二的關系式得出下表：物距810121416像高12642.4其中______；（2）請在坐標系中畫出它的圖像：（3）根據函數關系式，結合圖像寫出1條你得到的結論：____________________________________________________．【答案】任務一：①；，任務二：，任務三：（1）3，（2）見解析，（3）當時，隨著的增大而減?。窘馕觥俊痉治觥咳蝿找唬孩儆删匦?，得到的長，由，得到，即：，設，用含的代數式，表示出、，由，得到，解出，即可求解，任務二：由，整理得到，代入，即可求解，任務三：（1）將代入，即可求解，（2）根據描點法，即可求解，（3）根據反比例函數的增減性，即可求解，本題考查了，相似三角形的性質與判定，畫反比例函數，反比例函數的性質，解題的關鍵是：讀懂題意，列出關系式．【詳解】解：任務一：①根據