1.2.4二面角

學習目標

1.了解二面角的有關概念,理解二面角及二面角的平面角的定義.(數學抽象)2.掌握求二面角大小的基本方法及步驟.(直觀想象、邏輯推理)3.能結合圖形,靈活選擇方法解決與二面角有關的問題.(邏輯推理)教材認知·內化必備知識二面角1.二面角的定義及相關概念(1)半平面:平面內的一條直線把平面分成兩部分,________________都稱為一個半平面.(2)二面角:從一條直線出發的____________所組成的圖形叫做二面角,這條直線叫做二面角的____,____________叫做二面角的面.棱為l,兩個面分別為α,β的二面角,記作______,若A∈α,B∈β,則二面角也可以記作______,二面角的范圍為_____.其中的每一部分兩個半平面棱每個半平面α-l-βA-l-B[0,π](3)二面角的平面角:在二面角α-l-β的棱上___________,以O為垂足,分別在兩半平面內分別作射線OA⊥l,OB⊥l,則________叫做二面角α-l-β的平面角.特別地,二面角是直角的二面角稱為直二面角.(4)兩個相交平面所成的角:兩個相交平面所形成的四個二面角中,____________________的角.2.用向量的夾角度量二面角設平面α與β所成角的大小為θ,n1,n2為兩個非零向量.(1)當n1∥α,n2∥β,n1⊥l,n2⊥l,且n1,n2的方向分別與半平面α,β的延伸方向相同,則θ=<n1,n2>.(2)當n1⊥α,n2⊥β,則θ=<n1,n2>或θ=π-<n1,n2>.任取一點O∠AOB不小于0°且不大于90°點睛

(1)當兩個半平面重合時,二面角的大小為0;當兩個半平面在同一平面內,且延伸方向相反時,二面角的大小為π.(2)二面角的平面角必須具備三個條件:一是“棱上”,即二面角的平面角的頂點必須在棱上;二是“面內”,即角的兩邊必須分別在兩個平面內;三是“垂直”,即角的兩邊必須都與棱垂直.二面角的平面角的大小與頂點在棱上的位置無關,頂點在棱上的不同位置所作的平面角是相等的.(3)二面角的大小θ與兩個面的法向量n1,n2的夾角相等或互補,則有sinθ=sin<n1,n2>或者cosθ=±cos<n1,n2>.【質疑辨析】(1)二面角是指兩個平面相交的圖形.(

)提示:二面角是指從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形.(2)二面角的平面角的兩條邊分別在二面角的兩個面內且都與棱垂直.(

)提示:根據二面角的平面角的定義可得.(3)二面角的大小等于其兩個半平面的法向量的夾角的大小.(

)提示:二面角的大小等于其兩個半平面的法向量的夾角或補角的大小.×√×合作探究·形成關鍵能力

【總結升華】1.找二面角的平面角的方法(1)定義法:由二面角的平面角的定義可知平面角的頂點可根據具體題目選擇棱上一個特殊點,求解用到的是解三角形的有關知識.(2)垂面法:作(找)一個與棱垂直的平面,與兩面的交線就構成了平面角.(3)垂線法:三垂線定理(或逆定理)作平面角,這種方法最為重要,其作法與三垂線定理(或逆定理)的應用步驟一致.2.用定義求二面角的步驟(1)作(找)出二面角的平面角(作二面角時多用三垂線定理);(2)證明所作平面角即為所求二面角的平面角;(3)解三角形求角.

【補償訓練】如圖,在三棱錐P-ABC中,AC=BC=2,∠ACB=90°,AP=BP=AB,PC⊥AC.(1)求證:PC⊥AB;(2)求二面角B-AP-C的正弦值.【解析】(1)取AB中點D,連接PD,CD,因為AP=BP,所以PD⊥AB.因為AC=BC,所以CD⊥AB,又PD∩CD=D,故AB⊥平面PCD,又PC?平面PCD,所以PC⊥AB.

【總結升華】用三垂線定理或逆定理作二面角的平面角的作法(1)在其中一個面內找一特殊點A,過A作另一個平面的垂線,垂足為B;(2)過