習題7.7

3.指出下列方程所表示的曲線.

222

JX2+/+?=25,s、fx+4y+9z=36,

/=3;[y=1;

\x2-4y2+z2=25,fy2+z2-4x+8=0,

x=-3;[y=4.

【解】

(1)表示平面x=3上的圓周曲線)/+產=16；

22

(2)表示平面y=l上的橢圓二+工=1；

3232/9

22

(3)表示平面x=-3上的雙曲線^--乙=1；

164

（4）表示平面y=4上的拋物線[?=4x-6.

4.求「：卜：+>：+▽在三個坐標面上的投影曲線.

[―+/+%2=2及，（2）

【解】

（一）（1）、（2）聯立消去z得

x2+y2=-R2

-4

所以，「在X”面上的投影曲線為

/+>2=獷

.4

z=0.

（二）（1）、（2）聯立消去y得

z」R

2

所以，「在ZQX面上的投影曲線為

z=~R,[IV3

\2|x|<—/?.

y=0.

(三)(1)、(2)聯立消去x得

2

所以，「在yoz面上的投影曲線為

z=?/V3_

12|y|<—/?.

X=0.

6.求由球面z=J4—/-y2①和錐面Z=j3(/+y2)②所圍成的立體在My面

上的投影區域.

【解】聯立①、②消去Z得

x2+y2=1

故「在X。)，面上的投影曲線為

x2+y2=1,

2=0.

所以，球面和錐面所圍成的立體在X。)，面上的投影區域為D={(x,y)lx2+y2<1}.

習題7.8

2.設空間曲線C的向量函數為％)=卜+1,4/-322一6小.€/?.求曲線。在與

t0=2相應的點處的單位切向量.

【解】因％)={2f,4,4f-6},故C相應4=2的點處的切向量為

P(2)={4,4,2).

。相應f0=2的點處的單位切向量為

,⑵={4,4,2}=土

『36

3.求曲線F:x=f,y=產,z=/在點M()(1,1,1)處的切線方程和法平面方程.

【解】“。對應參數，=1.「在點處的切線方向為

；=K(4V(f),z3}L={12,3—L={1,2,3).

所以，「在〃o點處的切線方程為

x-1_y-1_z-1

丁一^_一亍?

法平面為

l.(x-l)+2.(y-l)+3.(z-l)=0,即

x+2y+3z-6=0.

4.在曲線「：x=f,y=％［上求一點，使在該點處的切線平行于平面左：x+2y

+z=4.

【解】平面x+2y+z=4的法向量為〃={1,2,1}.

在「上任取一點^。(/，汽,。)，開設對應參數f=%1在加0點處的切

線方向為

s-KOo),y'Go),z'Oo)}={12,3廠}|={12°,3^}.

1=10

由題意，欲使〃。點處的切線與平面萬平行，只須；與i垂直，為此令

0=$.〃=1+4f0+3ZQ，即

1+4f0+=0.

解之得，Zo=-1或，o=—

所,以，所求點為例o(-1,—1,—1)或g,W").

5.求曲線C:x=cosudu,y-2sinr+cosr,z=1+e*在r=0處的切線方程和

法平面方程.

【解】參數，=0對應曲線C上的點M0(0,l,2).

。在A/。點處的切線方向為

s-，(f),y'(f),z'(f)}|0=\elcosr,2cos/-sint,3e3r}|°={1,2,3).

所以，r在M。點處的切線方程為

x-0y-1z-2

]一^__3

法平面為

1.(x-0)+2.(y-1)+3.(z-2)=0,即

x+2y+3z-8=0.

習題8.1

1.求下列函數的的定義域，并畫出定義域的圖形.

(3)w=z=；(4)u=

-x2-y2次+/+/_]

【解】

(3)要使函數表達式有意義,必須滿足

l-x2-y2>0即x2+y2<1

故所求函數的定義域為

D={(x,>1)Ix2+y2<1}.

(4)要使函數表達式有意義，必須滿足

[9-x2-y2-z2>0,x2+y2+z2<9,

即

[x2+y2+z2-1>0.x2+y2+z2>1.

故所求函數的定義域為

22

￡)=Jx,y,z)ll<x+y+Z2<9.

3.求下列各極限.

小rf110XSiJ+ysi/]

(1)lim—+—+—；(2)lim

(x,y,z)->(12311y工)(x,)A(o,o：

(3)lim(l+xy)tanjQ'；(4)lim吟_?)

GMT。,。)x2+y2

Z4-XyJ1+.2+y2―1

(5)lim-——―；—：------(6)lim.

(內)-(。，。)x+y(x,y)->(o,o)X2+y

【解】(1)因為函數/(x,y,z)=L+'+L是三元初等函數，其定義域為

XyZ

￡)={(%,y,z)lxw0,yw0,zw0}，月.(1,2,3)￡D，所以三元函數

f(x,y,z)=4+L+'在(123)處連續,從而有

xyz

11111

lim-+—+—=一

(A.y,z)->(l,2,31236

limfxsin-+ysin-

(2)

(A種(。叭yx)

-limxsin—+limysin—=0+0=0.

(x,y)~>(O,O)y(.v,y)->(0,0)x

【其中（」南產方二輔。心［。均是利用有界量乘以無窮小量還是無

窮小量】.

(3)lim(l+xy)tanAT

(x,y)f(o,。)'

r22

(4)lim遮4)lim.xy=0.

(2)f(o,o)x2+y(x,34(0,0)x2+y2

2_2

【上述結論中用到祥7y及國曾。。尸"即利用有界量乘以無窮小量還

是無窮小量】.

22

(<、rJ1+.2+)._]x+y

⑸hm----rn~~rn----=lim-------、/,?————\

(2)一(。,。)國+3(內川。.。)刎+加2+'+“

..x2+y2..1?1?

=lim-7；—.一e.lim.=——=0x—=0.

(QH(0,0)M+M(XJ)T(O,O),]+工2+y2+]2

[上述結論中用到04中=<蟬*-=|x|+|y|,lim(\x\+1)，|)=0及夾逼準

W+|y|k|+|y|11a，>H(o，。)"117

則】.

x2

(6)limT-y=0-

(.f.y)-?(O-O)x2+y2（內4（。，0）尤2+y

x2

【上述結論中用到G及（腳產。,即利用有界量乘以無窮小量還是

x2+y2

無窮小量】.

4.證明極限lim一產2I不存在.

（x,yH（O,O）x2+y

【證】（-）讓動點P（X,y）沿直線y=0趨于點。（0,0）時,

nJYf）2

lim—~-=lim———-=0.

Y。）x~+yx2+04

y=O'

（二）讓動點P（x,y）沿拋物線/=%趨于點。（0,0）時,

..盯一x.x1

lim—----=hm—；---=—

乎。）x~+y4a。x'+x2

習題8.2

1.證明：函數/（羽》）=。心+上在原點（o,o）處連續,但不存在偏導數/；（0,0）,

/；（0,0）.

【證明】

（一）因為lim/（x,y）=o=/（o,o）,所以，/（x,y）在（0,0）處連續.

（x,y）->（O,O）

44

,一、中小r/（0+Ax,0）-/（0,0）rV（M+0-0

（_）因為hm------—~J\'=lim----------

AxA*—。Ax

=lim國不存在，所以不存在偏導數（0,0）；

Ax->0△x

由輪換對稱性知，也不存在偏導數/；（0,0）.

2.求下列函數對各自變量的一階偏導數.

（1）z=xiy-yyx；（2）z=ln盯；

y

（3）z=e*sinxy；（4）z-arctan—；

x

（5）z=（l+xy）y；（6）z=與~.

y

【解】

zi、&23&3。2

(1)亞=o3"-八豆=一3八.

dz_1dz_1

(2)因z=lnx+lny,故

dxxdyy

3zxx3zx

(3)—=esinxy+yecosxy；—=xecosxy

dxdy

(4)生=1⑶=?1斗__L

222

&]+x+y1x)尤

&]+(斗〔"‘x2+y2UJ，+尸

(5)z=(l+xy)v=evhl("w)；

包="岫+叫yln(l+孫)]'*=yln(l+xy)

dx

—="岫叫yln(l+孫).=e“("v)ln(l+xy)+)，—

dyU+孫

=(1+xy)yln(l+xy)+—^―=(1+xy)v,[(1+xy)ln(l+xy)4-xy].

L1+盯」

dz_eydz_eyy2-ey.2y_xey(y2-2y)_xey(y-2)

dxy2'dyXy4y4y3

_x2+y2

3.求曲線r:<z=-4—'在點Mo(2，4,5)處的切線方程及切線對于x軸的傾角的

)=4,

度數.

【解】

(-)「的參數方程為

x=X,

F:<y=4,(x為參數).

x2+16

z

4

點"o對應參數x=2,故切向量為

5切={1'°'5卜=2={1'°'小

所以，點M0（2,4,5）處的切線方程為

x-2_y-4_z-5

~r=--（r=-r-

f

（22\

（-）因為/；（2,4）=匚2/=-l=1,所以切線對于x軸的傾角的度

八\'14J（2.4）2'（2,4）

冗

數為a-arctan1=—.

4

4.求下列函數的所有二階偏導數.

（1）z=sin（2x+3y）；（2）z=x4-4x2y2+y4；

（3）z=yl2xy；（4）z=x2arctan--y2arctan—.

%y

【解】

（1）—=2cos（2x+3y）；—=3cos（2x+3y）；

dxdy

—r=-4sin（2x+3y）；=-6sin（2x+3y）；—=-9sin（2x+3y）.

dxdxdy

（2）-=4x3-^xy1；-=-8x2y+4y3；

dxdy

^f-=12x2-8y2；三?=-16xy；R=-8/+12/.

dx2dxdydy2

/(44)、z=x2arctan-y-y2arctan—X.

xy

/farctan^l

dzx2arctan-

dxxIy)

y

yyy

=2xarctan----------——~

xx+yx7

y[%+yJyy

=2xarctan--~--2xarctan--y；

xx+yx

x3cxxy

22-2yarctan—+—--

x+yyx+y

22

(x+y)x_x個x

―——2yarctan—=x-2yarctan—.

x+yyy

=2arctan———戶一,

元

2x2x2-y2

------------11=----------

x9+y2x)+y>

5.驗證下列等式.

—a7a?

(1)設z=xe］，證明：x一+y一=z；

dxdy

(2)證明函數“=L廠=次+2+2滿足吆+%+%=o；

r'dx2dy2dz2

(3)訊明7'(取)=6-"昌正云滿足熱傳導方程吆=。1，其中。為正常數，b為

dtdx2

任意常數.

【證】

,y

所以嚕+y導”"yy_

y+yex=xex=z

Qr)’，]

⑵—(2x)=—；①

?2

dx+y+z

9條I?因為①】

3喘

【因為①】

dx

r2-3x2

-3-②

同理可得

d2ur--3y2

為25

d2ur2-3z2

④

dz2r5

所以，烈+迎+儀【因為②，③，④】

dx2dy2dz2

3r2-3(x2+y2+Z1當J.

r5r

(3)由T(x")=。一加sinAx,得

arttb

-(-a/'sinbx=-ab'e~'smbx.①

5r

are~ah''\cosbxb]-be~“'島COS6。.

ax

2

-aj-=beabt[-sinbxb\=-b2e~ah2tsinbx.②

所以有

2=a至=-ab2e-ab1'sinbx.

dtdx2

2222

(x+yIcosf_—x+y0,

6.設/(x,y)=<y1x2+y2求f；(O,O),火(0,0).

0,x2+y2=0,

【解】

因為］im血包也鮑

AsOAX

lim

ArfOAr

limAxcosr^-r=0【上述結論中用到cosJr41及limAx=0,即利用有界量乘

A”->O|Ax|Ax6->。

以無窮小量還是無窮小量工所以，f：(o,o)=o.

同理,y;(o,o)=o.

習題8.3

1.求下列函數的全微分.

(1)z-4x2y+—；(2)z=e&"；(3)u-xyz;(4)u-xyz.

y

【解】

(1)因為由=8盯+2，包=4/-二，所以

dxydyy2

dz=-dx+—dy=8盯+—|dx+4x2-.

&dy'^y)\y)

(2)因為包=6戶了(療壽)，=6屈,1.2%,：，…

由輪換對稱性知，:.所以

辦正+.2

[dztdzj//+，

az=—dxH---ay=.=(xdx+ydy).

力辦777/

(3)因為包="，史=應，包=盯，所以,

dxdydz

,du,du.du

du=——dx-\--ay+——atz=yzax+xzay+xyatz.

dxdydz

(4)u=xyz.

因為包=yZ,包=女丁1,—=xyzIny,所以,

dxdydz

.du.du.du,,,t/z[.

au=—dx+—dy+—dz-ydx+xzy、dy+孫?Inyaz.

dxdydz

2.求下列函數在指定點的全微分.

(2)u='dul(i.i,i)-

x、

【解】（2）〃=d憂

y)

1\1I/

、一/\

因為就X2xXz1}

\y)zy)\y)

、

du_1XX1(xx

dyz\y)ZVyy2

ii-1

X

duxV.1Xz

In-In

改y)^\y)

所以

.du.du.dui

au——dxH---dy4---az

dxdydz

、

11X一號Xdy+~(~X

2-dxH——

Zy)y)2y7

從而du/jj)=dx-dy.

4.求曲面S:z=F+/在點2）處的切平面方程和法線方程.

【解】令Nx,y,z）=/+y2一"則曲面s在點Mo處的切平面的法向量為

7={K(M°)，KM)，K(MO)}

{2x,2y,-l}|={2,2,-l}.

所以S在點〃。處的切平面方程為

2.(x-l)+2(y-l)-l.(z-2)=0.

化簡得

2x+2y-z-2=0.

法線方程為

x-1_y-1_z-2

2―2-—1

6.利用全微分求近似值.

(1)J(1.02)3+(1.97)3；

【解】(1)令％=/(x,y)=Jx3+y3,貝I」

22Q2

血忘丁爐一"(內匕耳=齊

取/=L=2,Av=0.02,△)；=—0.03,則有

/(1+0.02,2-0.03)工/(1,2)+/；(l,2)x0.02+/；(l,2)x(-0.03),

即：J(1.02)3+(1.97)3a3+；x0.02+2x(-0.03)=2.95.

.122c

xysin------=r,x+yw0,

8.已知函數/(x,y)=.J/+/

0,x2+y2=0,

證明：

(1)/(x,y)在點(0,0)處連續且偏導數存在；

(2)f(x,y)在點(0,0)處可微.

【證】

(1)因為lim/(x,y)=limxysin,10【無窮小乘以有界量還是無窮小量】

.V—>0x―>0/?2.2

y-0y->0Y%十>

=/(0,0),所以/(x,y)在點(0,0)處連續.

又因為lim/(0仝，0)—/(0,0)===0,所以￡'(0,0)=0；同理

Ax-Ax

「(0,0)=0,所以/(x,y)在點(0,0)處偏導數存在.

(2)f(x,y)在點(0,0)處的全增量為

1

△nI°)=/(0+A%0+Ay)-/(0,0)=ArAysin

22

7(Ax)+(Ay)

Az-[/；(O,O)Ax+/；(O,O)Ay]

因為lim

AATO7(Ax)2+(Aj)2

Ay->0

1

_li_m______________sin_____________=0,

22

^V(Ax)+(A}-)gy+(△))

所以，/(x,y)在點(0,0)處可微.

1

【上述結論用到了0W購千尸n“7南

網聞i

,------------sin-------------

/(詞2+俗)2他r)2+(A?

"AX)2+3)2]________

2

v;=-=-J(Ax)2+嗣2To((Ax,Ay)T(0,0))

7(Ax)2+(Ay)22丫一L」

及夾逼準則.

習題8.4

1.求下列復合函數的偏導數或全導數.

(1)設名=6""，而w=sinx,v=x?,求立;

dx

(2)設z=(inX)1'，求李，—；

dxdy

(3)設z=/)/(/+y?,xy)，求包，—.

、?',dxdy

【解】

(1)因為包=veJ—=ueu'-,—=cosx,電=2x.所以由全導數公式，有

dudvdxdx

dzdzdu&dv、2/\

———.---1---.——vcuvcosx+(ucMV.2x=exsinI2xsinx4-x2cosxI.

dxdudxdvdx

xnx2/sin(2

【另解：因為.一味故=e^'(xsinx/=g(2xsinx+xcosx).]

"他可，=產叫"]n(lnx]]=exvln(A)yln(lnx)+xyf—

(2)—

dx\\nxx

二(inx)vvyln(lnx)+=y(lnx)AV-1+y(lnx)AVln(lnx)；

Inx

—=(inx)vv.ln(lnx)(盯)y=x(lnx)xv.ln(lnx).

222222

(3)^=(xy)x.f[x+y,xy)+xy[f(x+y,xy"j[x

OX

=2xy.f(x2+y2,^)+x2y[f^.lx+f^.y]；

222222

^^(xy)y.f(x+y,xy)+xy[f(x+y,xy^y

a

=x2./(x2+)2,xy)+x2y[f^.2y+f[.x\.

2.設2=盯+》])],其中夕(")是可微函數，證明：x~^+y—=z+xy.

\x)oxdy

5.設〃=/(x,y,z)=e'%2,而z=/siny,求包,—,

dxdy

注急和言

6.求下列函數的

(1)z=/(xy,y);(2)z-/(sinx,cosy,ex+y\

【解】

（1）由z=/（盯,y）得

&frtrf

==)frl，獲=切+%；

oxdy

==y(正)=「"：；

dx

總？=f；+>,[//]>■=//+y(切;+/i2)=力'+孫;+#i2；

dxdy

o2ff

=4//]>+[/；]，=x(引+凡)+(*+題)=%"；+2瑞+%.

為

【注意：書中有關冬的答案有誤】.

?2

(2)由z=/(sinx,cos得

3=cosx/'+”月；3=—siny/+e"；

oxdy

空=[cosx.疝+卜+，乩

dx

x+y

=[-sinx.fi+cosx(cosxf"1+ef^)]

+6."；+e"《osx.用+e""；)]

^=[cosx.川，+[/"；],

dxdy

=cosx(-sin娓+e，+"?e，+y+e叫—sin媚+小＞啟]；

2x+2y

=-cosxsin痂;+cosx/"；+*"；-sin""＞左+ef^3；

^4=-[siny.f']y+[e(^'y/Jv

=-[cosy.f；+siny(-sin詞+小凰)]

+〃/+”(_sin的+/7；)

=-cosy./；+sin2＜—2sin/+"￡+產"；+-

【注意：書中有關白的答案有誤】.

分2

8.設z=/[x+9(z)]①，其中/，夕可導，求紇

dx

【解】①式兩端對X求導并注意到Z是關于X的函數，得

與=f1[x+於小+e(z)]*=f'[x+e(z)ji+d(z).牛

dxI

=/[x+e(z)]+d(z)./[x+e(z)]4.②

dx

由②式解得

dz=/'[x+e(z)]

dxi-e(z)f'[x+D『

9.設z=z(x,y)由方程z+lnz-「”產力=0①得到，求生，—，—

Jdxdydxdy

【解】(一)①式兩端對X求導并注意到Z是關于x,y的二元函數得

dz1dz

——+-----e=0,即Hn

dxzdx

由②式解得

(-)①式兩端對y求導并注意到z是關于x,y的二元函數得

dz1dz-?2cHn

—+----+ey=0,即

dyzdy

也=3.④

JSy

由④式解得

-=.⑤

力1+z

(三)由③式得

f-

匹=7rLV?生e*【代入④]

dxdy~」+z」1(1+z)“分」

1「Z-y2l-X2

7---rr-----ee

(1+z)-L1+Z」

____?--x2-y2

(l+z)Me-

10.設/可微，試驗證：

⑴2=7^7)6)滿足方程!當+，當=彳；

xdxydyy

if

m改「1)]"-)[〃(/一)/)■

【證】c=y—7-^---7

dx\_f(x-y

y

f2^-y2

2xy/Mi

f2^-y2)

dz111

y-7+)’x2y

Sy7F7.f(-y\

1/仔―力位_打

+

介-V)t7V^.

12y2

y1^-y2

/(x2-y2)-/2(x2-/

所以

1及+1Sz

xdxydy

￡2xy2112y2

y^-y)+—

XTV77y[TV)7V—y2

11z_z

./，,【由①式】

22

yf^-y)y'yy2

(2)z=/(x,y)滿足方程=包.包，其中x=s+f,y=s

dsdt

IT』dzdzdxdzdydz&

dsdxdsdydsdxdy

dz_dzdxdzdy_dzdz

dtdxdtdydtdxdy

22

故篙dzdzdzdz

------1------

dxdy0dyMS、力

14.設函數/(x,y)具有二階連續偏導數，且滿足等式

.d2u_d2u_d2u-

4^+1lz2——+5^=0.①

dx2dxdydy

試確定a,人的值，使等式在變換J=x+ay,〃=x+by卜化為=0.

瑟如

【解】因為

duduMdu5r)Qudududu

----=------.-------1-------.------=-----.]-|-------.]=-------1-------;

dx明dxdr/dx憂dr/憂dr/

dudu"dudr)dudu.du.du

dydydr)dy藥dr/殆dr/

故有

d2u(du\_d2u瑟d2u即]‘d2u瑟d2u

dxJ\drjdJdx+drj2,dx)

“迎+(a+b)￡j

③

訛2'/政〃di]2

d2u線+d2ud2u瑟+d2u

+b但+b\

”2,Qya魴〃dr/d^dydr]2

—+2ab——+b22^

④

試-d^dr/d〃一

將②、③、④代入①式左邊，得

*+121包+(.+刃互+匕%]

①左=42

故〃+dr/)I訛°?到MJ

+54嗎+2"旦L+/柒、

I"aa?的一J

2d2u+12b+10")J-+(4+12b+5/)已

d^drjdr/-

因此方程①化為

(4+12a+5a2)%+(8+12a+12/7+10a6)4-+(4+12b+5b2)%=0.⑤

d^-d^dtjdr/-

因此要使①在變換下化為上工=0,必須

西加

4+12a+5。——0,...

,解之得

4+12b+5/=0.

a——2,2

_ixa=—,

〈2或〈5

b=——，,0

5也=一2,

習題8.5

1.驗證下列方程在指定點的鄰域存在以X為自變量的隱函數，并求生.

dx

(1)X2+y2=x4+y4,在點(1,1)；

【解】令F(x,y)=jf2+>2一人一尸則尸;(內)=2x—4》3,F'\x,y)=2y-4y3,

F(l,l)=0,F；(1,1)=G(1,1)=-2w0,由隱函數存在定理知，方程

x2+y2-x4-y4-0

在點(1,1)的某鄰域內能唯一確定一個單值可導且當x=1時，y=1的函數y=山).

由公式

dy_F：(x,y)_2x-4》3_x(2x2

dxF；(x,y)2y-4y3y(l-2>-2),

(2)Iny]x2+y~=arctan—(D?在點(1,0).

X

【解】令

22\y

F(x,y)=Inyjx+y-arctan"4ln(x2+y2j-arctan—則

x+y

x2+y2

i(1

耳(x，y)=j.

X2+y2

F(l,0)=0,F；(l,0)=l,F；(l,0)=-1^0,由隱函數存在定理知，方程

InJx?+/-arctan)=0在點(1,0)的某鄰域內能唯一確定一個單值可導且當

x

x=l時，y=0的函數y=y(x).由公式

dy_F；Q,y)_x+y_x+y

dx邛(x,y)y-xx-y

2.求下列方程所確定的隱函數z=z(x,y)的偏導數連，空

exdy

(1)2xz-2xyz+In(孫z)=0；

【解】令F(x,y,z)=2xz-2xyz+In(xyz)=2xz-2xyz+Inx+Iny+Inz，則

FJ=2z-2yz+-；FJ=-2xz+—；F!=2x-2xy+-.

xyz

所以

1c1

a2z-2yz+-與尸-2xz+—

&二工;x；生=_乜=_________2L_

dxF11dyF：,1

z20x-20xy+—'z20x-02xy+—

zz

(2)=f(x-y2+z).

【解】令尸(x,y,z)=/(x—V+z)—z，貝U

尸;=/Q_y2+z)；Fy=-2yf'(x-y2+z);=f'(x-y2+z)-l.

所以

包=_乙=_](x_y2+,=r(1-y2+,.

dxF'f'[x-y2+z)-ll-f'(x-y2+z)，

fe=上=-2yf'(x-y2+z)=2.仙