空間向量的線性運算

一、單選題

1.平行六面體ABCD-A8C。中，若AC；=xAB+2），3c—3zCC1,貝ijx+y+z=（）

752

A.1B.—C.—D.一

663

【答案】B

【分析】

根據空間向量加法的平行四邊形法則，以及向量相等的概念，根據題意，列出等量關系，

求解即可.

【詳解】

因為AR=AB+3C+CC],乂因為AR=xA8+2y5C—3zCC；,且等式右邊的三個向量不

共面，

故可得》=1,2丫=1,-32=1,解得x=l,y=g,z=-；,

117

故可得x+y+z=l+z-：=z.

故選：B.

2.在平行六面體"88-A[8]GR中，A%+A3+A\=（）

―—>—>

A.AGB.CAtC.BD、D.DB,

【答案】A

【分析】

由空間向量的加法的平行四邊形法則和三角形法則，可得所求向量.

【詳解】

解：連接AC，可得6}+上）=n，又c3=^A，

所以AB+AD+A4,=AC+CC,=AC,■

故選：A

3.如圖，在四面體ABC。中，E,F,G,H分別為AB,BC,CD,AC的中點,

則g（AB+BC+C0化簡的結果為（）

D

A.BFB.EHC.HGD.FG

【答案】c

【分析】

根據向量的加法和數乘的幾何意義，即可得到答案：

【詳解】

^AB+BC+CD)=^AC+CD)=^AD=^x2HG=HG.

故選：C.

4.在長方體ABCO-44G。中，AB+45+期等于()

A.ACB.AC,C.BC,D.BD,

【答案】B

【分析】

根據長方體ABS-ABIGR,得到相等的向量，再利用空間向量的加法法則進行計算.

【詳解】

如圖，可得AZ)=BC，BB\=CC\,所以+=A8+BC+CC1=AG.

5.在平行六面體中,E，F分別是棱CQ,8月的中點，記A8=a，AO=b，

例=c,則E尸等于（）

3-3

A.-a-vb+cB.—u+bH—c

222

^1,1

C.-a-b——cDr.——1a-b,+—1c

2222

【答案】C

【分析】

根據兒何體線段的位置關系，結合向量加減、數乘的幾何意義將E尸用/表

示即可.

【詳解】

111

EF=EC^CxF=-AB+CxB.+BxF=-d-b--c.

故選：C.

6.如圖，在平行六面體ABCO-AMGA中，M為AC與8。的交點，若

44=4,42=。，44=。，則與4“相等的向量是（）

B.——a+—b+c

22

D.——d——b+c

2222

【答案】B

【分析】

利用空間向量的加法運算即可求解.

【詳解】

由空間向量的線性運算可得

4M=81B+BM=AA+4BQ=3+g(AR-AM)

1/,\1.1,

=c+—p-tz=——a+—b+c.

2、)22

故選：B

7.在四面體。N5C中，QA=a，OB=b，OC=c，點/為ABC的重心，則OM=（）

L+4+尢

B.

333

D.匕+U+&

33333

【答案】A

【分析】

2

如圖所示，CM交A8于。,則。是AB中點，根據重心的性質有CM=§8,利用向

量的運算法則得到答案.

【詳解】

2__.

如圖所示：CA/交A3于。，則。是AB中點，根據重心的性質：CM=-CD,

OM=OC+CM=OC+^CD=OC+^CA+CB)=OC+^(OA-OC+OB-OC^

=-OA+-OC+-OB=-a+-b+-c.

333333

故選：A.

8.如圖所示，在平行六面體ABC。-44GA中，點￡為上底面對角線AG的中點，若

BE=AA,+xAB+yAD,貝!!()

1111

A.x=一一,y=—B.x=—,y=——

2222

1111

C.x=一一,y=——D.x=—,y=—

2222

【答案】A

【分析】

根據空間向量的線性運算即可求解.

【詳解】

根據題意，得；BE=BB1*BA+BC)

…+抑+?c

又BE=AAi+xAB+yAD

11

?'?x=一一=-

22

故選：A

二、多選題

9.已知向量”，〃，c，則下列等式錯誤的有（）

A.a+（6+c）=（0+人）+cB.a-（人一c）=（a-〃）+c

C.a-^b-c^=（a-b^-cD.a+b-c=a+c-b

【答案】CD

【分析】

以正方體為載體，結合向量的加法與減法運算，逐一驗證即可求解

【詳解】

在正方體A8C￡>-A|8|C|￡）|中，不妨令a=A3,b=AE>,c=M，

對于A：a+{b+c^=AB+ADi=AC,,^a+h^+c=AC+AAt=AC,,故A正確；

對于B：a-(b-c\=AB-(AD-AA^=AB-\D=A,Bx-AxD=DB[,

(a-b)+c=^AB-AD)+AAx=DB+BB[=DB.,故B正確；

對于C：a-(b-c)=AB-^AD-AA^=AB-\D=A{Bx-AxD=DBx,

^a-l^-c=^AB-AD^-AAx=DB-BBx=DB+BxB=DxBx+BxB=DxB,

DB產QB,故C錯誤；

對于D：a+b-c=AB+AD-AAi=AC-AAx^AxC,

a+c-b=AB+AAi-AD=ABl-AD=DBt,/\C#RB,故D錯誤；

故選：CD

10.下列命題中為真命題的是（）

A.向量AB與m的長度相等

B.將空間中所有單位向量的起點移到同一點，則它們的終點構成一個圓

C.空間向量就是空間中的一條有向線段

D.方向相同且模相等的兩個向量是相等向量

【答案】AD

【分析】

直接利用平面向量的定義，相等向量，相反向量的定義，空間向量的定義判定A、B、

C、D的真假性.

【詳解】

對于選項A：向量AB與區4是相反向量，長度相等，故A為真命題.

對于選項B：將空間中所有單位向量的起點移到同一點，則它們的終點構成一個球，故

B為假命題.

對于選項C：空間向量可以用空間中的一條有向線段表示，但是不是有向線段，故C為

假命題.

對于選項D：方向相同旦模相等的兩個向量是相等向量，符合相等向量的定義，故D

為真命題.

故選：AD

11.（多選）下列命題中，真命題是（）

A.向量AB與BA的長度相等

B.兩個相等的向量，若起點相同，則終點也相同

C.只有零向量的模等于0

D.共線的單位向量都相等

【答案】ABC

【分析】

根據向量的概念逐一判斷即可.

【詳解】

共線的單位向量方向相同或相反，只有D錯誤.

故選：ABC

12.下列命題中正確的是（）.

A.單位向量都相等

B.任一向量與它的相反向量不相等

C.若A、B、C、O四點不共線，四邊形ABCO是平行四邊形的充要條件是AB=DC

D.模為0是一個向量方向不確定的充要條件

【答案】CD

【分析】

利用空間向量的概念可判斷A選項的正誤；取零向量可判斷B選項的正誤；利用相等

向量的概念與充要條件的定義可判斷C選項的正誤；利用零向量的概念可判斷D選項

的正誤.

【詳解】

A不正確，單位向量的模均相等且為1,但方向并不一定相同：

B不正確，零向量的相反向量仍是零向量，但零向量與零向量是相等的；

C正確，充分性：若四邊形A8CO是平行四邊形，則AB//CD且=,AB=OC；

必要性：若=目.A、B、C、。四點不共線，則且AB=CD,所以,

四邊形ABC。是平行四邊形.

所以，四邊形ABCD是平行四邊形的充要條件是AB=DC-.

D正確，若一個向量的模為0,則該向量為零向量，該向量的方向不確定.

故選：CD.

【點睛】

本題考查與空間向量有關命題真假的判斷，考查推理能力，屬于基礎題.

三、填空題

13.設a,人是空間中兩個不共線的向量，已知AB=9a+〃歷，BC=-2a-b>DC=a-2b>

且A,3,0三點共線，則實數”=..

【答案】-3

【分析】

利用向量線性運算可得8。=-34+6，由三點共線可得AB=280，由此可構造方程組

求得結果.

【詳解】

BC=—2a—brDC=a-2b，

:.BD=BC+CD=BC-DC=[-2a-b)-[a-2b)=-3a+b,

A,B,￡)三點共線，.?.存在實數4,使得A8=48。，EP9a+mb=A^a+b'j,

收=-34,

°,解得：m=2=-3.

[m=A

故答案為：-3.

14.在正方體ABC。-AUG。中，點區戶分別是底面A/CQ和側面CG的中心，

若斯+4AO=°(XGR)，則丸=.

【答案】-J##

【分析】

作圖，連接連接AC，C，D,構造三角形中位線解題.

【詳解】

如圖，連接AG，G。，

則點E在4c上，點尸在G。上，

易知EFAtD,且EF=；A。，

111

EF=-A,DfBPEF--A1D=O,口%=——.

故答案為：

15.光岳樓，又稱“余木樓”“鼓樓”“東昌樓”，位于山東省聊城市，始建于公元1374年,

在《中國名樓》站臺票紀念冊中，光岳樓與鶴雀樓、黃鶴樓、岳陽樓、太白樓、滕王閣、

蓬萊閣、鎮江樓、甲秀樓、大觀樓共同組成中國十大名樓.其墩臺為磚石切成的正四棱

91

臺，直觀圖如圖所示，其上緣邊長與底邊邊長之比約為6，則HE+FB+gDC

【答案】HA

【分析】

延長E4,FB,GC,HD相交了一點。，根據題設比例關系及空間向量數乘的幾何意義有

FB=—,DC=—HG,HG=EF，再由空間向量加法的幾何意義，結合幾何體即可求

1010

得目標式所表示的空間向量.

【詳解】

延長EA,FB,GC,HD相交于一點。，則F黑B=21,*DC=19且〃G=m,

FO10HG10

:.HE+FB+-DC=HE+—FO+—HG=HE+—FO+—EF=HE+—EO=HE+EA=HA

91010101010

故答案為：HA

16.如圖，在正四棱錐尸-ABCD中，E,￡G分別為側棱上的點，A,E,F,G

31PC'

四點共面，若PE=qPB,PF=：PC,則卷=.

【答案】3.

【分析】

^O-PMR,OP,OQ.OR.PG

先證明廠③二木■?焉?奈成立，設正四棱錐P-ABCD的體積為V,*x,應

VU/UK

O-P2Q2R222PD

v3VQVPG

用結論可得匕=：工+77二=工，從而可解得x，進而可得大工.

42020GD

【詳解】

先證明一個結論：如圖，若不在同一平面內的射線OP,OQ,OR上分別存在點耳,2,點

2Q和點舄出，

y_OP,OQOR.

則四面體體積之比產&X

V麗.頌西

O-P2Q2R2

事實匕設"也分別是點凡，&到平面。＜2,。鳥。2的距離，則太%=溢OR.，從而

%一6。內_VRLQI_S陽.九_S9烏OR】_。匕OR、

OPQRIOPQSo02

^-222^R-22瑪也Sop%]OR20P20Q2OR2

設正四棱錐尸-ABC。的體積為V,割=工，應用I上述結論可得

匕，八"PAPFPG1111V

六：=方正,而=5*'則以皿=/展〃=于.井二X'

VA”PAPFPE33313V

七p廠西,正7r6則%"=式"『”=而'

…V3V

所以Vp-AGFE=Vp.AGF+VP-AEF="4%+20；

3V3V9V

,同4理—1-*可t得4力r—AlCjrFt.E=VrP—A,lrib.￡+Kt—rFUtC.=一[Qx+—20x=一20x.

3V_9V3PG3yPGQ

所以片+獷獷‘解得x="H"rl而="從而而=3.

故答案為：3.

【點睛】

結論點睛：若不在同一平面內的射線0只。。，OR上分別存在點勺，6，點。，。2和點&&,

則四面體體積之比曾3生絲.史

麗麗

%-鳥。2小3^

四、解答題

17.如圖，已知“，N分別是空間四邊形43C。的對角線AC和8。的中點，求證:

【答案】證明見解析.

【分析】

11

取8c的中點尸，連接PM，PN,由=PN=-CD,MN="P+PN即可求

證.

【詳解】

取BC的中點P,連接PM,PN,

在，ABC中，MP=-AB,在/XBCD中，PN=-CD,

22

所以MN=MP+PN=：AB+；CO=g（A8+C￡＞）.

18.如圖，已知。,4,民心￡）,民尸,6,4為空間的9個點，ROE=kOA，OF=kOB，

OH=kOD，AC=AD+mAB,EG=EH+mEF,

求證：（1）ACIIEG;

（2）OG=kOC-

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【分析】

（1）山題意，EG=EH+mEF,轉4匕EH=OH—OE,EF=OF-OE,代入結合題干條

件運算即得證；

(2)由題意，OG=OE+EG，IOE=kOA,EG=kAC、運算即得證

【詳解】

證明：(1)EG^EH+mEF=OH-OE+m(OF-OE)

=k(OD-0A)+km(OB-OA)

=kAD+kmAB=k^AD+mAB^=kAC

ACIIEG-

(2)OG=OE+EG=kOA+kAC=k(<OA+AC)=kOC.

19.如圖，在正方體ABC。-A旦G。中，E在AR上，且AE=2ER,尸在對角線4c

2

上，且A|F=§FC.若AB=a,AD=b,A4,=c.

(1)用a,6,c表示E8.

(2)求證：E,F,8三點共線.