課后限時集訓(四十九)圓的方程建議用時：40分鐘一、選擇題1．圓心為(1,1)且過原點的圓的方程是()A．(x－1)2＋(y－1)2＝1 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D．(x－1)2＋(y－1)2＝2D[因為圓心為(1,1)且過原點，所以該圓的半徑r＝eq\r(12＋12)＝eq\r(2)，則該圓的方程為(x－1)2＋(y－1)2＝2，故選D.]2．(2024·西城二模)圓x2＋y2＋4x－2y＋1＝0截x軸所得弦的長度等于()A．2 B．2eq\r(3)C．2eq\r(5) D．4B[令y＝0得x2＋4x＋1＝0，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝－4，x1x2＝1.∴|AB|＝eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝2eq\r(3).]3．(2024·北京高考)已知半徑為1的圓經過點(3,4)，則其圓心到原點的距離的最小值為()A．4 B．5C．6 D．7A[設圓心C(x，y)，則eq\r(x－32＋y－42)＝1，化簡得(x－3)2＋(y－4)2＝1，所以圓心C的軌跡是以M(3,4)為圓心，1為半徑的圓，所以|OC|＋1≥|OM|＝eq\r(32＋42)＝5，所以|OC|≥5－1＝4，當且僅當C在線段OM上時取得等號，故選A.]4．(多選)若P是圓C：(x＋3)2＋(y－3)2＝1上任一點，則點P到直線y＝kx－1距離的值可以為()A．4 B．6C．3eq\r(2)＋1 D．8ABC[如圖．圓C：(x＋3)2＋(y－3)2＝1的圓心坐標為(－3,3)，半徑為1，直線y＝kx－1過定點(0，－1)，由圖可知，圓心C到直線y＝kx－1距離的最大值為eq\r(－3－02＋3＋12)＝5，則點P到直線y＝kx－1距離的最大值為5＋1＝6.選項ABC中的值均符合，只有D不符合．故選ABC.]5．動點A在圓x2＋y2＝1上移動時，它與定點B(3,0)連線的中點的軌跡方程是()A．(x＋3)2＋y2＝4 B．(x－3)2＋y2＝4C．(2x－3)2＋4y2＝1 D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,2)))2＋y2＝eq\f(1,2)C[設中點M(x，y)，則動點A(2x－3,2y)．∵點A在圓x2＋y2＝1上，∴(2x－3)2＋(2y)2＝1，即(2x－3)2＋4y2＝1.故選C.]6．(多選)(2024·山東青島檢測)已知圓C過點M(1，－2)且與兩坐標軸均相切，則下列敘述正確的是()A．滿意條件的圓C的圓心在一條直線上B．滿意條件的圓C有且只有一個C．點(2，－1)在滿意條件的圓C上D．滿意條件的圓C有且只有兩個，它們的圓心距為4eq\r(2)ACD[因為圓C和兩個坐標軸都相切，且過點M(1，－2)，所以設圓心坐標為(a，－a)(a>0)，故圓心在直線y＝－x上，A正確；圓C的方程為(x－a)2＋(y＋a)2＝a2，把點M的坐標代入可得a2－6a＋5＝0，解得a＝1或a＝5，則圓心坐標為(1，－1)或(5，－5)，所以滿意條件的圓C有且只有兩個，故B錯誤；圓C的方程分別為(x－1)2＋(y＋1)2＝1，(x－5)2＋(y＋5)5＝25，將點(2，－1)代入可知滿意圓的方程，故C正確；它們的圓心距為eq\r(5－12＋－5＋12)＝4eq\r(2)，D正確．]二、填空題7．圓(x－1)2＋(y－2)2＝1關于直線y＝x對稱的圓的方程為________．(x－2)2＋(y－1)2＝1[設對稱圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝1，圓心(1,2)關于直線y＝x的對稱點為(2,1)，故對稱圓的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝1.]8．(2024·湖北隨州期末)已知O為坐標原點，直線l與圓x2＋y2－6y＋5＝0交于A，B兩點，|AB|＝2，點M為線段AB的中點．則點M的軌跡方程是________，|eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))|的取值范圍為________．x2＋(y－3)2＝3[6－2eq\r(3)，6＋2eq\r(3)][由題意，圓x2＋y2－6y＋5＝0的圓心為C(0,3)，半徑R＝2，設圓心到直線l的距離為d，可得|AB|＝2eq\r(R2－d2)，即2＝2eq\r(4－d2)，整理得d＝eq\r(3)，即|MC|＝eq\r(3)，所以點M的軌跡表示以C(0,3)為圓心，以eq\r(3)為半徑的圓，所以點M的軌跡方程為x2＋(y－3)2＝3.依據向量的運算可得|eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))|＝|2eq\o(OM,\s\up6(→))|＝2|eq\o(OM,\s\up6(→))|，又|OC|＝3，所以|OC|－eq\r(3)≤|eq\o(OM,\s\up6(→))|≤|OC|＋eq\r(3)，即3－eq\r(3)≤|eq\o(OM,\s\up6(→))|≤3＋eq\r(3)，所以6－2eq\r(3)≤2|eq\o(OM,\s\up6(→))|≤6＋2eq\r(3)，即|eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))|的取值范圍為[6－2eq\r(3)，6＋2eq\r(3)]．]9．圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的點到直線x－y＝2距離的最大值是________．eq\r(2)＋1[將圓的方程化為(x－1)2＋(y－1)2＝1，圓心坐標為(1,1)，半徑為1，則圓心到直線x－y＝2的距離d＝eq\f(|1－1－2|,\r(2))＝eq\r(2)，故圓上的點到直線x－y＝2距離的最大值為d＋1＝eq\r(2)＋1.]三、解答題10．已知以點P為圓心的圓經過點A(－1,0)和B(3,4)，線段AB的垂直平分線交圓P于點C和D，且|CD|＝4eq\r(10).(1)求直線CD的方程；(2)求圓P的方程．[解](1)由已知得直線AB的斜率k＝1，AB的中點坐標為(1,2)．所以直線CD的方程為y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.(2)設圓心P(a，b)，則由P在CD上得a＋b－3＝0. ①又直徑|CD|＝4eq\r(10)，所以|PA|＝2eq\r(10).所以(a＋1)2＋b2＝40. ②由①②解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－3，,b＝6))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝5，,b＝－2，))所以圓心P(－3,6)或P(5，－2)，所以圓P的方程為(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40.11.如圖，等腰梯形ABCD的底邊AB和CD長分別為6和2eq\r(6)，高為3.(1)求這個等腰梯形的外接圓E的方程；(2)若線段MN的端點N的坐標為(5,2)，端點M在圓E上運動，求線段MN的中點P的軌跡方程．[解](1)由已知可知A(－3,0)，B(3,0)，C(eq\r(6)，3)，D(－eq\r(6)，3)，設圓心E(0，b)，由|EB|＝|EC|可知(0－3)2＋(b－0)2＝(0－eq\r(6))2＋(b－3)2，解得b＝1.所以r2＝(0－3)2＋(1－0)2＝10.所以圓的方程為x2＋(y－1)2＝10.(2)設P(x，y)，由點P是MN中點，得M(2x－5,2y－2)．將M點代入圓的方程得(2x－5)2＋(2y－3)2＝10，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(3,2)))2＝eq\f(5,2).1．(多選)(2024·山東德州期末)已知點A是直線l：x＋y－eq\r(2)＝0上肯定點，點P，Q是圓x2＋y2＝1上的動點，若∠PAQ的最大值為90°，則點A的坐標可以是()A．(0，eq\r(2)) B．(1，eq\r(2)－1)C．(eq\r(2)，0) D．(eq\r(2)－1,1)AC[原點O到直線l的距離為d＝eq\f(\r(2),\r(12＋12))＝1，則直線l與圓x2＋y2＝1相切，當AP，AQ均為圓x2＋y2＝1的切線時，∠PAQ取得最大值．連接OP，OQ(圖略)，由于∠PAQ的最大值為90°，且∠APO＝∠AQO＝90°，|OP|＝|OQ|＝1，故四邊形APOQ為正方形，所以|OA|＝eq\r(2)|OP|＝eq\r(2)，設點A的坐標為(t，eq\r(2)－t)，由兩點間的距離公式得|OA|＝eq\r(t2＋\r(2)－t2)＝eq\r(2)，整理得2t2－2eq\r(2)t＝0，解得t＝0或t＝eq\r(2)，因此，點A的坐標為(0，eq\r(2))或(eq\r(2)，0)．故選AC.]2．已知圓C截y軸所得的弦長為2，圓心C到直線l：x－2y＝0的距離為eq\f(\r(5),5)，且圓C被x軸分成的兩段弧長之比為3∶1，則圓C的方程為________．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2或(x－1)2＋(y－1)2＝2[設圓C的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，則點C到x軸，y軸的距離分別為|b|，|a|.由題意可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r2＝2b2，,r2＝a2＋1，,\f(|a－2b|,\r(5))＝\f(\r(5),5)，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝－1，,r2＝2，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝1，,r2＝2.))故所求圓C的方程為(x＋1)2＋(y＋1)2＝2或(x－1)2＋(y－1)2＝2.]3．動圓C與x軸交于A(x1,0)，B(x2,0)兩點，且x1，x2是方程x2＋2mx－4＝0的兩根．(1)若線段AB是動圓C的直徑，求動圓C的方程；(2)證明：當動圓C過點M(0,1)時，動圓C在y軸上截得弦長為定值．[解](1)∵x1，x2是方程x2＋2mx－4＝0的兩根，∴x1＋x2＝－2m，x1x2＝－4.∵動圓C與x軸交于A(x1,0)，B(x2,0)兩點，且線段AB是動圓C的直徑，∴動圓C的圓心C的坐標為(－m,0)，半徑為eq\f(|AB|,2)＝eq\f(|x2－x1|,2)＝eq\f(\r(x1＋x22－4x1x2),2)＝eq\r(m2＋4).∴動圓C的方程為(x＋m)2＋y2＝m2＋4.(2)證明：設動圓C的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，∵動圓C與y軸交于M(0,1)，N(0，y1)，令y＝0，則x2＋Dx＋F＝0，由題意可知D＝2m，F＝－4，又動圓C過點M(0,1)，∴1＋E－4＝0，解得E＝3.令x＝0，則y2＋3y－4＝0，解得y＝1或y＝－4，∴y1＝－4.∴動圓C在y軸上截得弦長為|y1－1|＝5.故動圓C在y軸上截得弦長為定值．1．(2024·青島模擬)如圖A(2,0)，B(1,1)，C(－1,1)，D(－2,0)，eq\o\ac(CD,\s\up10(︵))是以OD為直徑的圓上一段圓弧，eq\o\ac(CB,\s\up10(︵))是以BC為直徑的圓上一段圓弧，eq\o\ac(BA,\s\up10(︵))是以OA為直徑的圓上一段圓弧，三段弧構成曲線W.給出以下4個結論：①曲線W與x軸圍成的面積等于2π；②曲線W上有5個整點(橫坐標與縱坐標均為整數的點)；③eq\o\ac(CB,\s\up10(︵))所在圓的方程為：x2＋(y－1)2＝1；④eq\o\ac(CB,\s\up10(︵))與eq\o\ac(BA,\s\up10(︵))的公切線方程為：x＋y＝eq\r(2)＋1.則上述結論正確的是()A．①②③④ B．②③④C．①②③ D．②③B[曲線W與x軸的圖形為以(0,1)圓心，1為半徑的半圓加上以(1,0)為圓心，1為半徑的eq\f(1,4)圓，加上以(－1,0)為圓心，1為半徑的eq\f(1,4)圓，加上長為2，寬為1的矩形構成，可得其面積為eq\f(1,2)π＋2×eq\f(1,4)π＋2＝2＋π≠2π，故①錯誤；曲線W上有(－2,0)，(－1,1)，(0,2)，(1,1)，(2,0)共5個整點，故②正確；eq\o\ac(CB,\s\up10(︵))是以(0,1)為圓心，1為半徑的圓，其所在圓的方程為x2＋(y－1)2＝1，故③正確；設eq\o\ac(CB,\s\up10(︵))與eq\o\ac(BA,\s\up10(︵))的公切線方程為y＝kx＋t(k＜0，t＞0)，由直線和圓相切的條件可得eq\f(|t－1|,\r(1＋k2))＝1＝eq\f(|k＋t|,\r(1＋k2))，解得k＝－1，t＝1＋eq\r(2)(t＝1－eq\r(2)舍去)，則其公切線方程為y＝－x＋1＋eq\r(2)，即x＋y＝1＋eq\r(2)，故④正確．故選B.]2．在平面直角坐標系xOy中，曲線Γ：y＝x2－mx＋2m(m∈R)與x軸交于不同的兩點A，B，曲線Γ與y軸交于點C(1)是否存在以AB為直徑的圓過點C？若存在，求出該圓的方程；若不存在，請說明理由．(2)求證：過A，B，C三點的圓過定點．[解]由曲線Γ：y＝x2－mx＋2m(m∈R)，令y＝0，得x2－mx＋2m＝0.設A(x1,0)，B(x2,0)，可得Δ＝m2－8m