專題10復數及其應用一、知識速覽二、考點速覽知識點1復數的基本概念1、復數的定義：形如a＋bi(a，b∈R)的數叫做復數，其中實部是a，虛部是b.2、復數的分類：eq\a\vs4\al(復數z＝a＋bi,a，b∈R)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(實數b＝0，,虛數b≠0\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(純虛數a＝0，,非純虛數a≠0.))))3、復數的有關概念復數相等a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)共軛復數a＋bi與c＋di共軛?a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)復數的模向量OZ→的模叫做復數z＝a＋bi的模，記作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝eq\r(a2＋b2)(r≥0，a，b∈R)知識點2復數的幾何意義1、復平面的概念：建立直角坐標系來表示復數的平面叫做復平面；2、實軸、虛軸：在復平面內，x軸叫做實軸，y軸叫做虛軸，實軸上的點都表示實數；除原點以外，虛軸上的點都表示純虛數；3、復數的幾何表示：復數z＝a＋bi復平面內的點Z(a，b)平面向量SKIPIF1<0知識點3復數的四則運算1、復數的運算法則設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(a，b，c，d∈R)，則：（1）z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；（2）z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；（3）z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；（4）SKIPIF1<02、復數運算的幾個重要結論（1）|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2(|z1|2＋|z2|2)．（2）eq\x\to(z)·z＝|z|2＝|eq\x\to(z)|2.（3）若z為虛數，則|z|2≠z2.（4）(1±i)2＝±2i.（4）eq\f(1＋i,1－i)＝i；eq\f(1－i,1＋i)＝－i.（5）i4n＝1；i4n＋1＝i；i4n＋2＝－1；i4n＋3＝－i.知識點4復數的三角形式1、復數的輔角（1）輔角的定義：設復數z=a+bi的對應向量為OZ，以x軸的非負半軸為始邊，向量OZ所在的射線（射線OZ）為終邊的角θ，叫做復數z（2）輔角的主值：根據輔角的定義及任意角的概念可知，任何一個不為零的復數輔角有無限多個值，且這些值相差2π的整數倍.規定：其中在0≤θ<2π范圍內的輔角θ的值為輔角的主值，通常記作arg【注意】因為復數0對應零向量，而零向量的方向是任意的，所以復數0的輔角是任意的。2、復數的三角形式定義：任何一個復數都可以表示成z=r(cosθ+isinθ)的形式，其中r是復數的模，【注意】復數的三角形式必須滿足：模非負，角相同，余正弦，加號連。3、復數的代數式與三角式互化將復數z=a+bi(a,b∈R)（1）r=a（2）cosθ=ar，sinθ=br，其中當a=0，b>0時，argz=【注意】每一個不等于零的復數有唯依的模與輔角的主值，并且由它的模與輔角的主值唯一確定。因此，兩個非零復數相等當且僅當它們的模與輔角的主值分別相等。4、復數乘法運算的三角表示及其幾何意義（1）復數乘法運算的三角表示：已知z1=r則z這就是說，兩個復數相乘，積的模等于各復數的模的積，積的輔角等于各復數的輔角的和。（2）復數乘法運算的幾何意義：兩個復數z1，z2相乘時，分別畫出與z1，z2對應的向量然后把向量OZ1繞O點按逆時針方向旋轉θ2（如果θ2<0，就要把OZ1繞點O按順時針方向旋轉角θ2），再把它的模變成原來的（3）復數乘法運算三角表示推廣：z1=r特別的，當z1=5、復數除法運算的三角表示及其幾何意義（1）復數除法運算的三角表示：已知z1=則z這就是說，兩個復數相除，商的模等于被除數的模除以除數的模所得的商，商的輔角等于被除數的輔角減去除數的輔角所得的差.（2）兩個復數z1，z2相除時，先分別畫出與z1，z2對應的向量OZ1，OZ2，然后把向量OZ1繞O點按順時針方向旋轉θ2（如果θ2<0，就要把O一、復數的分類對于復數a＋bi，（1）當且僅當b＝0時，它是實數；（2）當且僅當a＝b＝0時，它是實數0；（3）當b≠0時，叫做虛數；（4）當a＝0且b≠0時，叫做純虛數．【典例1】（2023秋·江西南昌·高三南昌市外國語學校校考階段練習）若復數SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為虛數單位，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0）為實數，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】因為SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0為實數，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故選：D.【典例2】（2023·全國·高三專題練習）已知SKIPIF1<0為虛數單位，若SKIPIF1<0為實數，則實數SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．4C．2D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.依題意得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.故選：B【典例3】（2023·全國·高三專題練習）已知復數SKIPIF1<0是虛數，則實數m的取值范圍是（）A．RB．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】由題意可得：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故實數m的取值范圍是SKIPIF1<0.故選：C.二、求復數標準代數式形式的兩種方法1、直接法：將復數用已知復數式表示出來，利用復數的四則運算化簡為復數的標準代數式；2、待定系數法：將復數設為標準式，代入已知的等式中，利用復數相等的條件列出關于復數實部和虛部的方程（組），通過解方程（組）求出復數的實部與虛部。【典例1】（2023秋·山東泰安·高三統考階段練習）若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】由SKIPIF1<0SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故選：B.【典例2】（2023·河南·統考模擬預測）已知復數SKIPIF1<0的共軛復數為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．1C．2D．3【答案】D【解析】由題意SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，化簡得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：D.三、復數的幾何意義（1）任一個復數z＝a＋bi(a，b∈R)與復平面內的點Z(a，b)是一一對應的．（2）一個復數z＝a＋bi(a，b∈R)與復平面內的向量OZ=(a,b)【典例1】（2023·河南駐馬店·統考模擬預測）復數SKIPIF1<0在復平面內對應的點位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【解析】由題意，SKIPIF1<0，所以復數z在復平面內對應的點為SKIPIF1<0，位于第一象限.故選：A.【典例2】（2023秋·江蘇蘇州·高三統考開學考試）已知復數z滿足SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0為虛數單位），則復數z在復平面上對應的點在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，復數z在復平面上對應的點為SKIPIF1<0，位于第四象限.故選：D.四、虛數單位i的乘方計算復數的乘積要用到虛數的單位i的乘方，in有如下性質：i1＝i，i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝i3·i＝－i·i＝1，從而對于任何n∈N＋，都有i4n＋1＝i4n·i＝(i4)n·i＝i，同理可證i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1.這就是說，如果n∈N＋，那么有i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1.由此可進一步得(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，eq\f(1－i,1＋i)＝－1，eq\f(1＋i,1－i)＝i，eq\f(1,i)＝－i.【典例1】（2023·全國·高三專題練習）已知i為虛數單位，則SKIPIF1<0=.【答案】-1【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0【典例2】（2023秋·上海浦東新·高三上海市實驗學校校考開學考試）若SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是虛數單位，則SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0【解析】由SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0五、復數方程的解在復數范圍內，實系數一元二次方程ax（1）求根公式法：=1\*GB3①當?≥0時，x=?b±b2?4ac2a=2\*GB3②（2）利用復數相等的定義求解，設方程的根為x=m+ni(將此代入方程ax【典例1】（2023·重慶·統考三模）設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是方程SKIPIF1<0在復數范圍內的兩個解，則（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】由方程SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，由求根公式得根為SKIPIF1<0，不妨設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，A錯誤；SKIPIF1<0，B錯誤；SKIPIF1<0，C錯誤；令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0也是方程SKIPIF1<0的兩個根，所以D正確.故選：D.【典例2】（2024·全國·高三專題練習）已知SKIPIF1<0是關于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0的一個根，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為實數，則SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0【解析】因為SKIPIF1<0是關于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0的一個根，所以SKIPIF1<0也是關于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0的一個根，所以SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0六、復數的代數式與三角式互化將復數z=a+bi(a,b∈R)（1）r=a（2）cosθ=ar，sinθ=br，其中當a=0，b>0時，argz=【典例1】（2023·全國·高三專題練習）（多選）已知SKIPIF1<0為虛數單位，SKIPIF1<0，則下列選項不是SKIPIF1<0的三角形式的有（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】ABC【解析】由SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以A、B、C不對，D對.故選：ABC【典例2】（2023·全國·高三專題練習）（多選）把復數SKIPIF1<0與SKIPIF1<0對應的向量SKIPIF1<0分別按逆時針方向旋轉SKIPIF1<0和SKIPIF1<0后，重合于向量SKIPIF1<0且模相等，已知SKIPIF1<0，則復數SKIPIF1<0的代數形式和它的輻角分別是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】BD【解析】由題意可知SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0對應的坐標為SKIPIF1<0，則它的輻角主值為SKIPIF1<0，故可以作為復數SKIPIF1<0的輻角的是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0.故選：BD.【典例3】（2023·全國·高三專題練習）復數SKIPIF1<0的三角形式是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】依題意，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的三角形式是SKIPIF1<0.故選：D.易錯點1忽視復數SKIPIF1<0是純虛數的充要條件點撥：對復數為純虛數理解不透徹，對于復數SKIPIF1<0為純虛數SKIPIF1<0，往往容易忽略虛部不等于0.【典例1】（2023秋·遼寧沈陽·高三沈陽二十中校考開學考試）若SKIPIF1<0為純虛數，則復數SKIPIF1<0的虛部為.【答案】SKIPIF1<0【解析】由復數SKIPIF1<0，因為復數SKIPIF1<0為純虛數，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以復數SKIPIF1<0的虛部為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.【典例2】（2024·全國·高三專題練習）i是虛數單位，若復數SKIPIF1<0為純虛數，則SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.易錯點2錯誤的理解復數比大小點撥：兩個復數不能直接比大小，但如果SKIPIF1<0成立，等價于SKIPIF1<0。【典例1】（2022秋·福建廈門·高三廈門一中校考期中）已知復數SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為虛數單位），若SKIPIF1<0，則實數SKIPIF1<0的值為.【答案】3【解析】復數SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為虛數單位），SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故答案為：3.【典例2】（2023秋·天津南開·高三崇化中學校考期末）已知SKIPIF1<0為虛數單位，若復數SKIPIF1<0，則實數SKIPIF1<0的值為．【答案】-2【解析】SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，所以復數SKIPIF1<0為實數，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0.故答案為：-2【典例3】（2023·全國·高三專題練習）若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求實數x的取值范圍．【答案】SKIPIF1<0【解析】由題意知SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0