PAGE14-天津市南開中學2024-2025學年高二數(shù)學下學期期中試題（含解析）一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分）1.＝（）A.﹣1 B.﹣i C.1 D.i【答案】A【解析】【分析】依據(jù)復數(shù)的除法運算得到結果即可.【詳解】＝故答案A.【點睛】這個題目考查了復數(shù)的除法運算，題目比較簡潔.2.下列式子不正確的是()A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】分析選項，易知C選項的導函數(shù)可得答案.【詳解】對于選項C，，C錯誤故選C【點睛】本題主要考查了初等函數(shù)導函數(shù)的四則運算，屬于基礎題.3.函數(shù)在[0,3]上的最大值和最小值分別是（）A.5，-15 B.5，-4 C.-4，-15 D.5，-16【答案】A【解析】【分析】求出，推斷在[0,3]上單調(diào)性，再進行求解．【詳解】，令，得或，所以當時，，即為單調(diào)遞減函數(shù)，當時，，即為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，又，所以，故選A．【點睛】本題考查利用導數(shù)求函數(shù)最值問題，考查計算實力，屬基礎題4.4種不同產(chǎn)品排成一排參與展覽，要求甲、乙兩種產(chǎn)品之間至少有1種其它產(chǎn)品，則不同排列方法的種數(shù)是A.12 B.10 C.8 D.6【答案】A【解析】【分析】先求出全部的排法，再解除甲乙相鄰的排法，即得結果．【詳解】解：4種不同產(chǎn)品排成一排全部的排法共有種，其中甲、乙兩種產(chǎn)品相鄰的排法有種，故甲、乙兩種產(chǎn)品之間至少有1種其它產(chǎn)品，則不同排列方法的種數(shù)是排法有種．故選A．【點睛】本題主要考查排列與組合及兩個基本原理的應用，相鄰的問題用捆綁法，屬于中檔題．5.在的綻開式中，的系數(shù)為()A.-120 B.120 C.-15 D.15【答案】C【解析】【分析】寫出綻開式的通項公式，令，即，則可求系數(shù)．【詳解】的綻開式的通項公式為，令，即時，系數(shù)為．故選C【點睛】本題考查二項式綻開的通項公式，屬基礎題．6.函數(shù)在時有極值0，那么的值為A.14 B.40 C.48 D.【答案】B【解析】【分析】，若在時有極值0，可得，解得a，b，并且驗證即可得出．【詳解】函數(shù)，，若在時有極值0，可得，則，解得：，或，，當，時，滿意題意函數(shù)在時有極值0．當，時，，不滿意題意：函數(shù)在時有極值0．．故選B．【點睛】本題考查了利用導數(shù)探討函數(shù)的極值、方程的解法，考查了推理實力與計算實力，屬于中檔題．7.在高三下學期初，某校開展老師對學生的家庭學習問卷調(diào)查活動，已知現(xiàn)有3名老師對4名學生家庭問卷調(diào)查，若這3名老師每位至少到一名學生家中問卷調(diào)查，又這4名學生的家庭都能且只能得到一名老師的問卷調(diào)查，那么不同的問卷調(diào)查方案的種數(shù)為（）A.36 B.72 C.24 D.48【答案】A【解析】【分析】分為兩步進行求解，即先把四名學生分為1,1,2三組，然后再分別對應3名任課老師，依據(jù)分步乘法計數(shù)原理求解即可．【詳解】依據(jù)題意，分2步進行分析：①先把4名學生分成3組，其中1組2人，其余2組各1人，有種分組方法；②將分好的3組對應3名任課老師，有種狀況；依據(jù)分步乘法計數(shù)原理可得共有種不同的問卷調(diào)查方案．故選A．【點睛】解答本題的關鍵是讀懂題意，分清是依據(jù)分類求解還是依據(jù)分布求解，然后再依據(jù)排列、組合數(shù)求解，簡潔出現(xiàn)的錯誤時在分組時忽視平均分組的問題．考查理解和運用學問解決問題的實力，屬于基礎題．8.張、王夫婦各帶一個小孩兒到上海迪士尼樂園游玩，購票后依次入園，為平安起見，首尾肯定要排兩位爸爸，另外兩個小孩要排在一起，則這6個人的入園依次的排法種數(shù)是（）A.12 B.24 C.36 D.【答案】B【解析】分析：先支配首尾的兩位家長，再將兩個小孩捆綁作為一個整體，與剩下的兩位家長作為三個元素支配在中間即可得到結論．詳解：先支配首尾兩個位置的男家長，共有種方法；將兩個小孩作為一個整體，與剩下的另兩位家長支配在兩位男家長的中間，共有種方法．由分步乘法計數(shù)原理可得全部的排法為種．故選B．點睛：求解排列、組合問題的思路：“排組分清，加乘明確；有序排列，無序組合；分類相加，分步相乘．”9.函數(shù)存在兩個不同極值點，則實數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求解出，將在上有兩個不等實根，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)圖像與軸有兩個交點，通過二次函數(shù)圖像得到不等式，求解出的范圍.【詳解】由題意得：設，又，可知存在兩個不同的極值點等價于在上存在兩個不同零點由此可得：，即本題正確選項：【點睛】本題考查導數(shù)與極值的關系，解題關鍵在于通過求導將極值點個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點個數(shù)問題，確定二次函數(shù)圖像主要通過以下三個方式：①判別式；②對稱軸；③區(qū)間端點值符號.10.若函數(shù)恰有三個極值點，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】因為二次函數(shù)最多有一個極值點，故先分析的部分；時，令，利用參變分別將變形為，構造新函數(shù)，推斷的單調(diào)性，得出結論：最多僅有兩解，因此可確定：時有兩個極值點，時有一個極值點.時，利用與有兩個交點時(數(shù)形結合)，對應求出的范圍；時，利用二次函數(shù)的對稱軸進行分析可求出的另一個范圍，兩者綜合即可.【詳解】由題可知，當時，令，可化為，令，則，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，的圖象如圖所示，所以當，即時，有兩個不同的解；當，令，，解得，綜上，.【點睛】分析極值點個數(shù)的時候，可轉(zhuǎn)化為導函數(shù)為零時方程解的個數(shù)問題，這里須要留意：并不是導數(shù)值為零就肯定是極值點，還須要在該點左右兩側(cè)導數(shù)值符號相異.二、填空題（本大題共6小題，每小題4分，共24分）11.復數(shù)z滿意方程，則______．【答案】-1-i【解析】【分析】把已知等式變形，再由復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡得答案．【詳解】解：由1﹣i?z＝i，得iz＝1﹣i，則z．故答案為﹣1﹣i．【點睛】本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，是基礎題．12.函數(shù)的微小值是______.【答案】【解析】【分析】求函數(shù)的導數(shù)，由f’(x)＞0，得增區(qū)間，由f’(x)＜0，得減區(qū)間，從而可確定極值．【詳解】函數(shù)，定義域為,則f’(x)＝x-，由f’(x)＞0得x＞1，f（x）單調(diào)遞增；當x＜0或0＜x＜1時，f’(x)＜0，f（x）單調(diào)遞減，故x＝1時，f（x）取微小值故答案為【點睛】本題考查導數(shù)的運用：求單調(diào)區(qū)間和求極值，留意推斷極值點的條件，考查運算實力，屬于基礎題．13.二項式綻開式中的常數(shù)項為______．【答案】【解析】【分析】結合二項綻開式的通項公式，計算常數(shù)項對應的r的值，代入，計算系數(shù)，即可．【詳解】該二項綻開式的通項公式為，要使得該項為常數(shù)項，則要求，解得，所以系數(shù)為【點睛】考查了二項綻開式的常數(shù)項，關鍵表示出通項，計算r的值，即可，難度中等．14.已知函數(shù)，過點作與軸平行的直線交函數(shù)的圖像于點，過點作圖像的切線交軸于點，則面積的最小值為____．【答案】【解析】【分析】求出f（x）的導數(shù)，令x＝a，求得P的坐標，可得切線的斜率，運用點斜式方程可得切線的方程，令y＝0，可得B的坐標，再由三角形的面積公式可得△ABP面積S，求出導數(shù)，利用導數(shù)求最值，即可得到所求值．【詳解】函數(shù)f（x）＝的導數(shù)為f′（x），由題意可令x＝a，解得y，可得P（a，），即有切線的斜率為k，切線的方程為y﹣（x），令y＝0，可得x＝a﹣1，即B（a﹣1，0），在直角三角形PAB中，|AB|＝1，|AP|，則△ABP面積為S（a）|AB|?|AP|?，a＞0，導數(shù)S′（a）?，當a＞1時，S′＞0，S（a）遞增；當0＜a＜1時，S′＜0，S（a）遞減．即有a＝1處S取得微小值，且為最小值e．故答案為e．【點睛】本題考查導數(shù)的運用：求切線的方程和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，留意運用直線方程和構造函數(shù)法，考查運算實力，屬于中檔題．15.設定義域為的函數(shù)滿意，則不等式的解集為__________．【答案】【解析】【分析】依據(jù)條件構造函數(shù)F（x），求函數(shù)的導數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性即可得到結論．【詳解】設F（x），則F′（x），∵，∴F′（x）＞0，即函數(shù)F（x）在定義域上單調(diào)遞增．∵∴，即F（x）＜F（2x）∴，即x＞1∴不等式的解為故答案為【點睛】本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的推斷和應用，依據(jù)條件構造函數(shù)是解決本題的關鍵．16.某單位支配位員工在春節(jié)期間大年初一到初七值班，每人值班天，若位員工中的甲、乙排在相鄰的兩天，丙不排在初一，丁不排在初七，則不同的支配方案共有_______【答案】1008【解析】分析：本題的要求比較多，有三個限制條件，甲、乙排在相鄰兩天可以把甲和乙看做一個元素，留意兩元之間有一個排列，丙不排在初一，丁不排在初七，則可以甲乙排初一、初二和初六、初七，丙排初七和不排初七，依據(jù)分類原理得到結果.詳解：分兩類：第一類：甲乙相鄰排初一、初二或初六、初七，這時先支配甲和乙，有種，然后排丙或丁，有種，剩下的四人全排有種，因此共有種方法；其次類：甲乙相鄰排中間，有種，當丙排在初七，則剩下的四人有種排法，若丙排在中間，則甲有種，初七就從剩下的三人中選一個，有種，剩下三人有種，所以共有種，故共有種支配方案，故答案為.點睛：該題考查的是由多個限制條件的排列問題，在解題的過程中，留意相鄰問題捆綁法，特別元素優(yōu)先考慮的原則，利用分類加法計數(shù)原理求得結果.三、解答題（本大題共3小題，共36分）17.已知函數(shù)．若函數(shù)在處有極值-4．（1）求的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）求函數(shù)在上的最大值和最小值．【答案】（1）；（2）.【解析】試題分析：先求出導函數(shù)，依據(jù)導數(shù)的幾何意義得到關于的方程組，求得后再依據(jù)導函數(shù)的符號求出單調(diào)遞減區(qū)間．由求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可以數(shù)推斷函數(shù)在上的單調(diào)性，求出函數(shù)在上的極值和端點值，通過比較可得的最大值和最小值．試題解析：（1）∵，∴，依題意有即，解得∴，由，得，∴函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間由知∴，令，解得．當改變時，的改變狀況如下表：由上表知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．故可得又．∴綜上可得函數(shù)在上的最大值和最小值分別為和．18.已知函數(shù).（1）推斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）當在上的最小值是時，求m的值.【答案】(1)見解析；(2)【解析】【分析】（1）對求導，得=，按兩種狀況進行探討單調(diào)性即可；（2）由（1）知，按兩種狀況進行求在上的最小值，，列方程解出即可.【詳解】（1）依題意，.當時，，則在上單調(diào)遞增；當時，由解得，由解得.故當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）由（1）知，當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，即，沖突.當時，由（1）得是函數(shù)在上的微小值點.①當即時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則函數(shù)的最小值為，即，符合條件.②當即時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則函數(shù)的最小值為，即，沖突.③當即時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則函數(shù)的最小值為，即.令（），則，∴在上單調(diào)遞減，而，∴在上沒有零點，即當時，方程無解.綜上所述：=.【點睛】本題考查了利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，也考查了利用函數(shù)在區(qū)間上的最小值求參數(shù)的問題，屬于中檔題.19.已知函數(shù).（I）若在處取得極值，求過點且與在處的切線平行的直線方程；（II）當函數(shù)有兩個極值點，且時，總有成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（Ⅰ）【解析】【分析】（Ⅰ）求導函數(shù)，利用極值點必為f′（x）＝0的根，求出a的值，可得斜率，利用點斜式寫出方程即可．（II）由題意得u（x）＝2x2﹣8x+a＝0在（0，+∞）上有兩個不等正根，可得a的范圍，利用根與系數(shù)的關系將中的a，都用表示，構造函數(shù)，對m分類探討，利用導數(shù)探討其單調(diào)性即可得出．【詳解】（Ⅰ）由已知知，，