第1章直線與方程1.1

直線的斜率與傾斜角知識(shí)點(diǎn)1

直線的斜率對(duì)于直線l上的任意兩點(diǎn)P(x1,y1),Q(x2,y2),如果x1≠x2(如圖1),那么直線l的斜率k=

(x1≠x2).如果x1=x2(如圖2),那么直線l的斜率不存在.直線的斜率與直線方向的關(guān)系:(1)當(dāng)直線的斜率為正時(shí),直線從左下方向右上方傾斜;(2)當(dāng)直線的斜率為負(fù)時(shí),直線從左上方向右下方傾斜;(3)當(dāng)直線的斜率為零時(shí),直線與x軸平行或重合.圖1圖2在平面直角坐標(biāo)系中,對(duì)于一條與x軸相交的直線,把x軸繞著交點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到

與直線重合時(shí),所轉(zhuǎn)過(guò)的最小正角α稱為這條直線的傾斜角.規(guī)定:與x軸平行或重合的直線的傾斜角為0.因此,直線的傾斜角α的取值范圍是{α|0≤α<π}.知識(shí)點(diǎn)2

直線的傾斜角知識(shí)點(diǎn)3

直線的斜率與傾斜角的對(duì)應(yīng)關(guān)系圖示

傾斜角αα=0°0°<α<90°α=90°90°<α<180°

斜率k=0k>0k不存在k<0當(dāng)直線與x軸不垂直時(shí),該直線的斜率k與傾斜角α之間的關(guān)系為k=tanα

.知識(shí)辨析1.任何一條直線都有傾斜角嗎?2.任何一條直線都存在斜率嗎?3.直線的斜率一定隨著傾斜角的增大而增大嗎?4.不同的直線,它的傾斜角一定不相同嗎?一語(yǔ)破的1.是.當(dāng)直線與x軸相交時(shí),存在一個(gè)最小正角是直線的傾斜角,當(dāng)直線與x軸平行或重合時(shí),直

線的傾斜角是0.2.不是.當(dāng)直線的傾斜角為

時(shí),直線的斜率不存在.3.不一定.當(dāng)直線的傾斜角α≠

時(shí),斜率k=tanα,由正切函數(shù)的圖象可知,當(dāng)α∈

∪

時(shí),k=tanα不單調(diào).4.不一定.當(dāng)兩條直線不平行時(shí),它們的傾斜角不相同;當(dāng)兩條直線平行時(shí),傾斜角一定相同.定點(diǎn)1傾斜角和斜率的關(guān)系及其應(yīng)用當(dāng)直線l的傾斜角α∈

時(shí),k≥0,且α越大,斜率k越大;當(dāng)直線l的傾斜角α∈

時(shí),k<0,且α越大,斜率k越大;當(dāng)直線l的傾斜角α=

時(shí),它的斜率不存在.k=tanα

的圖象如圖所示.由斜率k的范圍截取函數(shù)圖象,可得到傾斜角α的范圍;反過(guò)來(lái),由傾斜角α的范圍截取函數(shù)圖

象,可得到斜率k的范圍.關(guān)鍵能力定點(diǎn)破典例已知兩點(diǎn)A(-3,4),B(3,2),過(guò)點(diǎn)P(1,0)的直線l與線段AB有公共點(diǎn).(1)求直線l的傾斜角的取值范圍;(2)求直線l的斜率k的取值范圍.

思路點(diǎn)撥

(1)由題意畫(huà)出圖形,分別求出P與線段AB端點(diǎn)連線的傾斜角,從而得出答案.(2)由

斜率是傾斜角的正切值即可得到k的取值范圍.解析

(1)如圖,當(dāng)直線l過(guò)點(diǎn)B時(shí),設(shè)l的傾斜角為α(0≤α<π),則tanα=

=1,即α=

;當(dāng)直線l過(guò)點(diǎn)A時(shí),設(shè)l的傾斜角為β(0≤β<π),則tanβ=

=-1,即β=

,∴要使直線l與線段AB有公共點(diǎn),則直線l的傾斜角的取值范圍是

.(2)由(1)可知直線l的傾斜角的取值范圍是

,∴直線l的斜率的取值范圍是k≤-1或k≥1.易錯(cuò)警示

本題易錯(cuò)誤地認(rèn)為斜率k的取值范圍是-1≤k≤1,結(jié)合圖形考慮,l的傾斜角應(yīng)介于

直線PB與直線PA的傾斜角之間(包括直線PB與PA的傾斜角),即

,利用k=tanα

的圖象(如圖所示)得到k的取值范圍是k≤-1或k≥1.

1.求解三點(diǎn)共線問(wèn)題若點(diǎn)A,B,C都在某條斜率存在的直線上,則kAB=kAC(或kAB=kBC或kAC=kBC);反之,若kAB=kAC(或kAB

=kBC或kAC=kBC),則直線AB與AC(或AB與BC或AC與BC)的斜率相同,又過(guò)同一點(diǎn)A(或B或C),所

以點(diǎn)A,B,C在同一條直線上.2.求形如

的代數(shù)式的范圍(最值)問(wèn)題形如

的范圍(最值)問(wèn)題,可以利用

的幾何意義:過(guò)定點(diǎn)(a,b)與動(dòng)點(diǎn)(x,y)的直線的斜率,并借助圖形解決.定點(diǎn)2直線斜率的應(yīng)用典例(1)已知三點(diǎn)A(a,2),B(5,1),C(-4,2a)在同一直線上,則a=

(

)A.2或

B.2

C.

D.-2(2)已知正△ABC的頂點(diǎn)A(1,1),B(1,3),點(diǎn)C在第一象限,若點(diǎn)P(x,y)是△ABC內(nèi)部及其邊界上一

點(diǎn),則

的最大值為

(

)A.

B.

C.

D.

AB解析

(1)易知該直線的斜率存在.由題意可得kBC=kAB,即

=

,解得a=2或a=

.故選A.(2)在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)