第四章

第6節正弦定理和余弦定理知識分類落實考點分層突破課后鞏固作業內容索引///////123//////////////知識分類落實夯實基礎回扣知識1知識梳理///////1.正、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則b2＋c2－2bccosAc2＋a2－2cacosBa2＋b2－2abcosC2RsinB2RsinCsinA∶sinB∶sinC2.在△ABC中，已知a，b和A時，解的情況如下：A為銳角A為鈍角或直角圖形關系式a＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>ba≤b解的個數一解兩解一解一解無解3.三角形常用面積公式1.判斷下列結論正誤(在括號內打“√”或“×”) (1)三角形中三邊之比等于相應的三個內角之比. (

) (2)在△ABC中，若sinA>sinB，則A>B. (

) (3)在△ABC的六個元素中，已知任意三個元素可求其他元素. (

) (4)當b2＋c2－a2>0時，△ABC為銳角三角形；當b2＋c2－a2＝0時，△ABC為直角三角形；當b2＋c2－a2<0時，△ABC為鈍角三角形. (

)

解析(1)三角形中三邊之比等于相應的三個內角的正弦值之比. (3)已知三角時，不可求三邊. (4)當b2＋c2－a2>0時，△ABC不一定為銳角三角形.×××√A3.在△ABC中，cosA＝cosB，則這個三角形的形狀為____________________.

解析

因為在△ABC中，cosA＝cosB， 所以A＝B， 所以這個三角形為等腰三角形.等腰三角形解析因為a2＋b2－c2＝2abcosC，所以tanC＝1.CC所以AB＝BC.過點B作BD⊥AC，交AC于點D，6.(2019·浙江卷)在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，點D在線段AC上.

若∠BDC＝45°，則BD＝________，cos∠ABD＝________.在△BDC中，由正弦定理可得由∠ABC＝∠ABD＋∠CBD＝90°，可得cos∠ABD＝cos(90°－∠CBD)＝sin∠CBD＝sin[π－(∠C＋∠BDC)]＝sin(∠C＋∠BDC)＝sin∠C·cos∠BDC＋cos∠C·sin∠BDC考點分層突破題型剖析考點聚焦2所以B＝45°或135°，因為b<c，所以B<C，故B＝45°，所以A＝75°.考點一利用正、余弦定理解三角形///////師生共研75°解析由正弦定理及bsin2A＝asinB，得2sinBsinAcosA＝sinAsinB，D利用正弦定理可解決以下兩類三角形問題：一是已知兩角和一角的對邊，求其他邊與角；二是已知兩邊和一邊的對角，求其他邊與角(該三角形具有不唯一性，常根據三角函數值的有界性和大邊對大角定理進行判斷).利用余弦定理可解決以下兩類三角形問題：一是已知兩邊和它們的夾角，求其他邊與角；二是已知三邊求各個角.由于這兩種情形下的三角形是唯一確定的，所以其解也是唯一的.感悟升華AB∵a＜c，∴A＜C，則C＝45°或C＝135°，則B＝105°或B＝15°.【訓練1】(2)如圖所示，在△ABC中，D是邊AC上的點， 且AB＝AD，2AB＝BD，BC＝2BD，則sinC的值為________.【例2】(1)在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C所對的邊，若a＝2bcosC，則此三角形一定是 (

) A.等腰直角三角形 B.直角三角形

C.等腰三角形 D.等腰三角形或直角三角形 因此a2＝a2＋b2－c2，得b2＝c2，于是b＝c， 從而△ABC為等腰三角形.

法二由正弦定理可得sinA＝2sinBcosC， 因此sin(B＋C)＝2sinBcosC， 即sinBcosC＋cosBsinC＝2sinBcosC，于是sin(B－C)＝0， 因此B－C＝0，即B＝C， 故△ABC為等腰三角形.考點二判斷三角形的形狀///////師生共研CBCD對于A，m＝2時，可得a∶b∶c＝3∶4∶1，可得b－a＝c，這樣的三角形不存在，故A錯誤；對于B，m＝4時，可得a∶b∶c＝3∶4∶2，可得B為最大角，對于C，m＝6時，可得a∶b∶c＝3∶4∶3，可得a＝c，△ABC為等腰三角形，故C正確；對于D，m＝10時，可得a∶b∶c＝3∶4∶5，可得a2＋b2＝c2，△ABC為直角三角形，故D正確.可選BCD.1.判定三角形形狀的途徑：(1)化邊為角，通過三角變換找出角之間的關系；(2)化角為邊，通過代數變形找出邊之間的關系，正(余)弦定理是轉化的橋梁.2.無論使用哪種方法，都不要隨意約掉公因式，要移項提取公因式，否則會有漏掉一種形狀的可能.注意挖掘隱含條件，重視角的范圍對三角函數值的限制.感悟升華又B∈(0，π)，所以sinB>0，所以sinC<sinBcosA，即sin(A＋B)<sinBcosA，所以sinAcosB<0，因為在三角形中sinA>0，所以cosB<0，即B為鈍角，所以△ABC為鈍角三角形.A解析

∵tanA＋tanB＝tan(A＋B)(1－tanAtanB)，∵tanA＋tanB＋tanC＝tan(A＋B)(1－tanAtanB)＋tanC＝－tanC(1－tanAtanB)＋tanC＝tanAtanBtanC＞0，∴A，B，C均為銳角，∴選項A正確；由acosA＝bcosB及正弦定理，可得sin2A＝sin2B，ACD∴△ABC是等腰三角形或直角三角形，∴選項B錯誤；由bcosC＋ccosB＝b及正弦定理，可知sinBcosC＋sinCcosB＝sinB，∴sinA＝sinB，∴A＝B，則△ABC是等腰三角形，∴選項C正確；由已知和正弦定理，易知tanA＝tanB＝tanC，A＝B＝C，則△ABC是等邊三角形，∴選項D正確.考點三和三角形面積有關的問題///////師生共研解

若選①，由于△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且btanA＝(2c－b)tanB，∴sinAcosB＝2sinCcosA－sinBcosA，即sin(A＋B)＝2sinCcosA，即sinC＝2sinCcosA.∵sinC≠0，化簡可得2cos2A＋cosA＝1，解由(1)及余弦定理可得a2＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc.

與三角形面積有關問題的解題策略：(1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相關邊、角之后，直接求三角形的面積；(2)把面積作為已知條件之一，與正弦、余弦定理結合求出三角形的其他量.感悟升華【訓練3】(2020·北京卷)在△ABC中，a＋b＝11，再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求：

(1)a的值；解

(從條件①②中任選一個即可)在△ABC中，由余弦定理，得解得a＝8.在△ABC中，由正弦定理，可得又∵a＋b＝11，∴a＝6，b＝5.【訓練3】(2020·北京卷)在△ABC中，a＋b＝11，再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求：

(1)a的值；在△ABC中，由正弦定理，得∵a＋b＝11，a＝8，∴b＝3，選條件②：sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB設△ABC的三邊是a，b，c，它們所對的角分別是A，B，C，則有：a＝bcosC＋ccosB；b＝ccosA＋acosC；c＝acosB＋bcosA.注：以“a＝bcosC＋ccosB”為例，b，c在a上的射影分別為bcosC，ccosB，故名射影定理.證明

如圖，在△ABC中，AD⊥BC，則bcosC＝CD，ccosB＝BD，故bcosC＋ccosB＝CD＋BD＝BC＝a，即a＝bcosC＋ccosB，同理可證b＝ccosA＋acosC，c＝acosB＋bcosA.射影定理的活用賞析【例1】在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若△ABC為銳角三角形，且滿足sinB(1＋2cosC)＝2sinAcosC＋cosAsinC，則下列等式成立的是(

) A.a＝2b B.b＝2a C.A＝2B D.B＝2A [通法]

法一因為sinB(1＋2cosC)＝2sinAcosC＋cosAsinC， 所以sinB＋2sinBcosC＝sinAcosC＋sin(A＋C)， 所以sinB＋2sinBcosC＝sinAcosC＋sinB， 即cosC(2sinB－sinA)＝0， 所以cosC＝0或2sinB＝sinA， 即C＝90°或2b＝a， 又△ABC為銳角三角形， 所以0°<C<90°， 故2b＝a.故選A.A法二由正弦定理和余弦定理得所以a2＋b2＝c2或2b＝a，又△ABC為銳角三角形，所以a2＋b2>c2，故2b＝a，故選A.

[優解]

由正弦定理及sinB(1＋2cosC)＝2sinAcosC＋cosAsinC得b＋2bcosC＝2acosC＋ccosA＝acosC＋(acosC＋ccosA)＝acosC＋b，即2bcosC＝acosC，又因為△ABC為銳角三角形，所以cosC≠0，則2b＝a.【例2】△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若2bcosB＝acosC＋ccos

A，則B＝________.

即a2＋c2－b2＝ac，

[優解]

由射影定理得acosC＋ccosA＝b，射影定理和正、余弦定理一樣實現了邊角之間的轉換，運用射影定理整體代入，大大簡化了運算過程，取得了事半功倍的神奇效果.

思維升華課后鞏固作業提升能力分層訓練3解析

∵a2＝c2＋b2－2cbcosA，∴13＝c2＋9－2c×3×cos60°，即c2－3c－4＝0，解得c＝4或c＝－1(舍去).C∵b>a，∴B＝60°或120°.C所以AB＝3，AB因為B∈(0，π)，A因為0<A<π，

解析

因為A＋3C＝π，A＋B＋C＝π，AD所以a＝1，故C錯誤.又△ABC為銳角三角形，解析設BD＝x(x>0)，則AD＝3x，AC＝2－3x，BC＝2－x，易知cos∠ADC＝－cos∠BDC.0因為0＜sinB≤1，所以0＜b≤3，又因為b∈N*，故b只能取1，2，3.因為b＜a，因為b＜a，若b＝3，則sinB＝1，所以∠B＝90°，解

由題設及余弦定理，解

在△ABC中，A＝180°－B－C＝30°－C，＝sin(30°＋C)，而0°<C<30°，所以30°<30°＋C<60°，所以30°＋C＝45°，故C＝15°.解析

以BC的中點為坐標原點，BC所在直線為x軸，建立平面直角坐標系，可得B(－3，0)，C(3，0)，4sinB＝5sinC，可得4b＝5c，設A(m，n)，平方可得16(m2＋n2－6m＋9)＝25(m2＋n2＋6m＋9)，ACDa＝