2023～2024學年度第一學期學科素養診斷試題高一數學2024.01一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合鈍角，第二象限角，小于的角，則（）A. B.C. D.2.的值為（）A. B. C. D.3.設，，，則的大小關系為（

）A. B.C. D.4.下列函數既是奇函數又在上是增函數的是（）A. B. C. D.5.已知函數，若在上有兩個零點，則的取值范圍是（）A. B. C. D.6.已知命題p：，命題q：，若是的充分不必要條件，則實數m的取值范圍是（）A.[﹣1，2] B.（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）C.（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞） D.（﹣1，2）7.已知函數在區間內零點分別是a，b，c，則a，b，c的大小關系為（）A. B.C D.8.如圖是杭州2023年第19屆亞運會會徽，名為“潮涌”，形象象征著新時代中國特色社會主義大潮的涌動和發展.如圖是會徽的幾何圖形.設弧的長度是，弧的長度是，幾何圖形面積為，扇形面積為，扇形周長為定值，圓心角為，若，則當取得最大值時，圓心角為的值為（）A1 B.2 C.3 D.4二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多個選項符合題目要求，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分.9.下列說法正確的是（）A.兩個角的終邊相同，則它們的大小相等B.C.若，則為第一或第四象限角D.經過30分鐘，鐘表的分針轉過弧度10.已知，且為銳角，則下列選項中正確的是（）A. B.C D.11.已知函數，下列選項中正確的是（）A.為奇函數 B.在區間內有2個零點C.的周期是 D.的最大值為12.已知函數，方程有4個不同的實數根，則下列選項正確的為（）A.函數零點的個數為2B.實數的取值范圍為C.函數無最值D.函數在上單調遞增三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.的值為______．14.若，則_________.15.已知a，b，c均為正實數，，則的最小值是______.16.已知函數（其中，）的部分圖象如圖所示，則________，________．四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知角的始邊與軸的非負半軸重合，終邊與單位圓的交點的坐標為，且.（1）求的值；（2）求的值.18.已知函數，.（1）當時，解關于的方程；（2）解關于的不等式.19.已知函數的部分圖象如圖所示.若的圖象上所有點的縱坐標不變，把橫坐標擴大到原來的2倍，得到函數的圖象.（1）求的解析式；（2）求在上的單調遞減區間.20.已知二次函數．（1）當取何值時，不等式對一切實數都成立：（2）若在區間內恰有一個零點，求實數的取值范圍．21.已知函數．（1）求的值；（2）求函數的單調遞增區間；（3）若函數在區間上有且只有兩個零點，求m的取值范圍．22.已知定義域為的函數滿足對任意都有．（1）求證：是奇函數；（2）設，且當x＞1時，，求不等式的解．2023～2024學年度第一學期學科素養診斷試題高一數學2024.01一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合鈍角，第二象限角，小于的角，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據鈍角的范圍，即可得出選項C正確，再由第二象限角的范圍，即可判斷出選項ABD的正誤，從而得出結果.【詳解】因為鈍角大于，且小于的角，一定是第二象限角，所以，故選項C正確，又第二象限角的范圍為，不妨取，此時是第二象限角，但，所以選項ABD均錯誤，故選：C.2.的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用三角函數的誘導公式與和差公式化簡求值即可.【詳解】.故選：A.3.設，，，則的大小關系為（

）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由指數函數，對數函數單調性分析和與1和0的關系，由正切函數性質分析與1和0的關系，即可得出答案.【詳解】，即，，且，即，由正切函數性質可知，即，故，故選：A.4.下列函數既是奇函數又在上是增函數的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分別判斷函數的奇偶性和單調性即可.【詳解】因為是奇函數又在上是增函數，所以A正確.因為定義域為，所以在和是增函數，所以B錯誤.因為是偶函數不是奇函數，所以C錯誤.因為定義域為不具備奇偶性，所以D錯誤.故選：A5.已知函數，若在上有兩個零點，則的取值范圍是（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由，可得，所以，從而求出的取值范圍．【詳解】因為，所以，因為函數在區間上有2個零點，所以，解得，即的取值范圍是故選：C.6.已知命題p：，命題q：，若是的充分不必要條件，則實數m的取值范圍是（）A.[﹣1，2] B.（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）C.（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞） D.（﹣1，2）【答案】B【解析】【分析】由是的充分不必要條件,則是的充分不必要條件,由得或，只需,即可.【詳解】由得或,因為是的充分不必要條件,所以是的充分不必要條件,所以,解得或.故選:.【點睛】本題考查充分必要條件求參數取值范圍問題,難度一般.7.已知函數在區間內的零點分別是a，b，c，則a，b，c的大小關系為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據給定條件，利用函數的單調性結合零點存在性定理判斷a，b，c所在區間作答.【詳解】函數在上單調遞減，函數在上都單調遞增，因此函數在上都單調遞減，在上最多一個零點，，即有，，則，而，即，所以.故選：A8.如圖是杭州2023年第19屆亞運會會徽，名為“潮涌”，形象象征著新時代中國特色社會主義大潮的涌動和發展.如圖是會徽的幾何圖形.設弧的長度是，弧的長度是，幾何圖形面積為，扇形面積為，扇形周長為定值，圓心角為，若，則當取得最大值時，圓心角為的值為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】先利用扇形的周長得到推得，再利用扇形的面積公式將問題轉化為二次函數的最值問題，從而得解.【詳解】依題意，知，則，，因為，所以，不妨設，則，因為扇形周長為定值，所以，則，因為，扇形的面積為，則，對于，其開口向下，對稱軸為，故當，即時，取得最大值，即取得最大值，此時，.故選：B.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多個選項符合題目要求，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分.9.下列說法正確的是（）A.兩個角的終邊相同，則它們的大小相等B.C.若，則為第一或第四象限角D.經過30分鐘，鐘表的分針轉過弧度【答案】BD【解析】【分析】選項A，可利用終邊相同的角的關系判斷出選項A的正誤；選項B，利用誘導公式及特殊角的函數值，即可判斷出選項B的正誤；選項C，通過取特殊角，即可作出判斷；選項D，利用角的定義即可作出判斷，從而得出結果.【詳解】對于選項A，終邊相同的角相差倍，所以選項A錯誤；對于選項B，，所以選項B正確；對于選項C，當時，，此時為軸線角，所以選項C錯誤；對于選項D，經過30分鐘，鐘表的分針轉過半個圓，由角的定義知，分針轉過弧度，所以選項D正確，故選：BD.10.已知，且為銳角，則下列選項中正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根據，并結合為銳角求解即可.【詳解】解：因為，所以，即所以，因為為銳角，所以，所以，所以，所以故選：ABD11.已知函數，下列選項中正確的是（）A.為奇函數 B.在區間內有2個零點C.的周期是 D.的最大值為【答案】BD【解析】【分析】根據奇偶性判斷A，由二倍角公式變形函數式，結合方程判斷B，根據周期的定義判斷C，結合二次函數性質判斷D．【詳解】由題，A錯；由，可得（舍去），又，因此有兩解，B正確；因為，，因此不可能是的周期，C錯；因為，∴時，取得最大值，D正確．故選：BD．12.已知函數，方程有4個不同的實數根，則下列選項正確的為（）A.函數的零點的個數為2B.實數的取值范圍為C.函數無最值D.函數在上單調遞增【答案】ABC【解析】【分析】根據分段函數圖像可以判斷ABD，而選項C，結合分段函數的圖像性質，分析得到兩個不等的實根，最后根據二次方程根的分布求出參數的取值范圍即可.【詳解】因為函數，可得函數圖像如圖：由圖知函數有2個零點，故A選項正確；函數沒有最值，故C選項正確；函數在上單調遞減，在上單調遞增，故D選項錯誤；由于方程有4個不同的實數根，令則有4個不同的實數根，因為恒成立，設兩個不等的實根為，由韋達定理知：，則異號，由圖可知：，所以，解得，故B選項正確；故選：ABC【點睛】(1)求分段函數的函數值，要先確定要求值的自變量屬于哪一段區間，然后代入該段的解析式求值，當出現f(f(a))的形式時，應從內到外依次求值．(2)當給出函數值求自變量的值時，先假設所求的值在分段函數定義區間的各段上，然后求出相應自變量的值，切記要代入檢驗，看所求的自變量的值是否滿足相應段自變量的取值范圍．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.的值為______．【答案】【解析】【分析】直接利用對數的運算法則和指數冪的運算法則求解即可【詳解】14.若，則_________.【答案】【解析】【分析】根據誘導公式即可化簡求解.【詳解】,故答案為：15.已知a，b，c均為正實數，，則的最小值是______.【答案】【解析】【分析】根據題意，將看作一個整體，變形后結合基本不等式的計算，即可得到結果.【詳解】因為，即，設，則，且，原式，當且僅當時，即時，等號成立，所以的最小值為.故答案為：416.已知函數（其中，）的部分圖象如圖所示，則________，________．【答案】①.②.【解析】【詳解】由圖知函數的周期是，又知，，時，，故答案為(1)；(2).【方法點睛】本題主要通過已知三角函數的圖象求解析式考查三角函數的性質，屬于中檔題.利用圖象先求出周期，用周期公式求出，利用特殊點求出，正確求是解題的關鍵.求解析時求參數是確定函數解析式的關鍵，由特殊點求時，可以先求出的所有的值，再根據題設中的條件，取特殊值即可.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知角始邊與軸的非負半軸重合，終邊與單位圓的交點的坐標為，且.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由三角函數的定義與三角函數的象限符號即可求解；（2）由同角三角函數的關系即可求解.【小問1詳解】∵角的終邊與單位圓的交點為∴∵∴∴.【小問2詳解】原式又∵∴原式18.已知函數，.（1）當時，解關于的方程；（2）解關于的不等式.【答案】（1）或（2）答案見解析【解析】【分析】（1）根據條件得到或，即可求出結果；（2）分和兩種情況討論，當時，因為恒成立，即可求出結果；當時，由，得到或，再對進行分類討論即可求出結果.【小問1詳解】當時，由方程，得到，所以或，解得或，故方程的解為或.【小問2詳解】由，可得，①當時，恒成立，原不等式等價于，解得，此時不等式解集為；當時，由，得到或，②當時，，由，得到或，此時不等式解集為；③當時，方程僅有一根，即，此時不等式解集為；④當時，，由，得到或，此時不等式解集為，綜上所述，當時，不等式解集為，當時，不等式解集為，當時，方不等式解集為，當時，不等式解集為.19.已知函數的部分圖象如圖所示.若的圖象上所有點的縱坐標不變，把橫坐標擴大到原來的2倍，得到函數的圖象.（1）求解析式；（2）求在上的單調遞減區間.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）結合圖像求出的解析式，再根據伸縮變換得到的解析式；（2）整體代入法求單調區間.【小問1詳解】由題可得，，則，則，當時，取得最大值，則，解得，又因為，故，所以，則.【小問2詳解】由（1）可知，令，則，故的單調遞減區間為.則時，在上的單調遞減區間為.20.已知二次函數．（1）當取何值時，不等式對一切實數都成立：（2）若在區間內恰有一個零點，求實數的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）對a分類討論，結合二次函數圖象及判別式法求解；（2）對零點個數分類討論，結合判別式法及零點存在定理列式求解，另外需要注意討論零點在的臨界情況.小問1詳解】為二次函數，則，當時，二次函數開口向上，不等式不對一切實數都成立，不滿足題意；當時，則有，