PAGE1-單元評估驗收(二)(時間：120分鐘滿分：150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．數列3，5，9，17，33，…的通項公式等于()A．2n B．2n＋1C．2n－1 D．2n＋1解析：由數列3，5，9，17，33，…的前5項可知，每一項都滿意2n＋1.答案：B2．數列{an}為等差數列，它的前n項和為Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，則λ的值是()A．－2 B．－1C．0 D．1解析：等差數列前n項和Sn的形式為Sn＝an2＋bn，所以λ＝－1.答案：B3．在單調遞減的等比數列{an}中，若a3＝1，a2＋a4＝eq\f(5,2)，則a1等于()A．2 B．4C．eq\r(2) D．2eq\r(2)解析：由已知得a1q2＝1，a1q＋a1q3＝eq\f(5,2)，所以eq\f(q＋q3,q2)＝eq\f(5,2)，q2－eq\f(5,2)q＋1＝0，所以q＝eq\f(1,2)或q＝2，因為{an}單調遞減，所以q＝eq\f(1,2)，所以a1＝4.答案：B4．已知數列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝2an－2，則a2等于()A．4 B．2C．1 D．－2解析：因為S1＝2a1－2＝a1，所以a1＝2，又S2＝2a2－2＝a1＋a2，所以a2＝4.答案：A5．數列{an}的前n項和為Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，則a6＝()A．3×44 B．3×44＋1C．44 D．44＋1解析：由an＋1＝3Sn?Sn＋1－Sn＝3Sn?Sn＋1＝4Sn，故數列{Sn}是首項為1，公比為4的等比數列，故Sn＝4n－1，所以a6＝S6－S5＝45－44＝3×44.答案：A6．設等比數列{an}的前n項和為Sn，若S10∶S5＝1∶2，則S15∶S5等于()A．3∶4 B．2∶3C．1∶2 D．1∶3解析：設S5＝2k，S10＝k，則S5，S10－S5，S15－S10成等比數列，即S15－S10＝eq\f(1,2)k，所以S15＝eq\f(3,2)k，故S15∶S5＝3∶4.答案：A7．在數列{an}中，若aeq\o\al(2,n)－aeq\o\al(2,n－1)＝p(n≥2，n∈N*，p為常數)，則稱{an}為“等方差數列”．下列對“等方差數列”的推斷正確的是()A．若{an}是等差數列，則{aeq\o\al(2,n)}是等方差數列B．{(－1)n}是等方差數列C．若{an}是等方差數列，則{akn}(k∈N*，k為常數)也是等方差數列D．若{an}既是等方差數列又是等差數列，則該數列為常數列解析：對于A項，取an＝n，則aeq\o\al(4,n＋1)－aeq\o\al(4,n)＝(n＋1)4－n4＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(（n＋1）2－n2))·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(（n＋1）2＋n2))＝(2n＋1)(2n2＋2n＋1)不是常數，則{aeq\o\al(2,n)}不是等方差數列，A項中的結論錯誤；對于B項，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(（－1）n＋1))eq\s\up12(2)－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(（－1）n))eq\s\up12(2)＝1－1＝0為常數，則eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(（－1）n))是等方差數列，B項中的結論正確；對于C項，若{an}是等方差數列，則存在常數p∈R，使得aeq\o\al(2,n＋1)－aeq\o\al(2,n)＝p，則數列{aeq\o\al(2,n)}為等差數列，所以aeq\o\al(2,k（n＋1）)－aeq\o\al(2,kn)＝kp，則數列{akn}(k∈N*，k為常數)也是等方差數列，C項中的結論正確；對于D項，若數列{an}為等差數列，設其公差為d，則存在m∈R，使得an＝dn＋m，則aeq\o\al(2,n＋1)－aeq\o\al(2,n)＝(an＋1－an)(an＋1＋an)＝d(2dn＋2m＋d)＝2d2n＋(2m＋d)d，由于數列{an}也為等方差數列，所以，存在實數P，使得aeq\o\al(2,n＋1)－aeq\o\al(2,n)＝p，則2d2n＋(2m＋d)d＝p對隨意的n∈N*恒成立，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2d2＝0，,（2m＋d）d＝p，))得p＝d＝0，此時，數列{an}為常數列，D項正確．答案：BCD8．設等差數列{an}的前n項和為Sn.若a1＝－11，a4＋a6＝－6，則當Sn取最小值時，n等于()A．6 B．7C．8 D．9解析：設等差數列{an}的公差為d，因為a4＋a6＝－6，所以a5＝－3，所以d＝eq\f(a5－a1,5－1)＝2，所以a6＝－1<0，a7＝1>0，故當等差數列{an}的前n項和Sn取得最小值時，n等于6.答案：A9．設等差數列{an}的前n項和是Sn，已知S12>0，S13<0，正確的選項有()A．a1>0，d<0 B．S5與S6均為Sn的最大值C．a6＋a7>0 D．a7<0解析：因為S12＝eq\f(12（a1＋a12）,2)＝eq\f(12（a6＋a7）,2)>0，所以a6＋a7>0，故C項正確．又因為S13＝eq\f(13（a1＋a13）,2)＝eq\f(132a7,2)＝13a7<0所以a7<0，a6>0，所以等差數列前6項為正數，從第7項起先為負數，則a1>0，d<0，S6為Sn的最大值．答案：ACD10．已知數列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝2(an－a)(其中a為常數)，則下列說法正確的是()A．數列{an}肯定是等比數列B．數列{an}可能是等差數列C．數列{Sn}可能是等比數列D．數列{Sn}可能是等差數列解析：Sn＝2(an－a)，Sn－1＝2(an－1－a)，n∈N，n≥2，兩式相減：an＝2an－2an－1，an＝2an－1，n≥2.若a＝0，令n＝1，a1＝2(a1－0)，a1＝0，則an＝0，此時是等差數列，不是等比數列．若a≠0，令n＝1，a1＝2(a1－a)，a1＝2a，則an＝2an－1，n≥2，此時不是等差數列．所以數列{an}不肯定是等比數列，可能是等差數列，所以A項錯B項正確．又Sn＝2(an－a)＝2(Sn－Sn－1－a)，n≥2，n∈N*，得Sn＝2Sn－1＋2a，要使{Sn}為等比數列，必有若a＝0，此時令n＝1，a1＝2(a1－0)，a1＝0，則an＝0，Sn＝0，此時{Sn}是一個全部項為0的常數列，所以{Sn}不行能為等比數列，所以C項錯誤，D項正確.答案：BD11．已知Sn是等差數列{an}的前n項和，且S6>S7>S5，有下列四個命題：①d<0；②S11>0；③S12<0；④S8>S5.其中正確命題的序號是()A．②③ B．①④C．①③ D．①②解析：由S6>S7>S5，得a7＝S7－S6<0，a6＝S6－S5>0，a6＋a7＝S7－S5>0，則d＝a7－a6<0，故①正確；S11＝eq\f(11（a1＋a11）,2)＝11a6>0，S12＝eq\f(12（a1＋a12）,2)＝eq\f(12（a6＋a7）,2)>0，故②正確，③錯誤；因為a6>0，a7<0，所以S8－S5＝eq\f(8（a1＋a8）,2)－eq\f(5（a1＋a5）,2)＝eq\f(8（2a1＋7d）,2)－eq\f(5（2a1＋4d）,2)＝eq\f(6（a1＋6d）,2)＝3a7<0，所以S8<S5，故④錯誤．答案：D1，則稱ak是數列{an}的“谷值”，k是數列{an}的“谷值點”．在數列{an}中，若an＝|n＋eq\f(9,n)－8|，下面哪些數不能作為數列{an}的“谷值點”()A．3 B．2C．7 D．5解析：an＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(n＋\f(9,n)－8))，故a1＝2，a2＝eq\f(3,2)，a3＝2，a4＝eq\f(7,4)，a5＝eq\f(6,5)，a6＝eq\f(1,2)，a7＝eq\f(2,7)，a8＝eq\f(9,8).故a2<a3，3不是“谷值點”；a1>a2，a3>a2，故2是“谷值點”；a6>a7，a8>a7，故7是“谷值點”；a6<a5，5不是“谷值點”．答案：AD二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上)13．等差數列{an}中，a3＋a7＋2a15＝40，則S19＝________．解析：由a3＋a7＋2a15＝40，得2a5＋2a15＝40，從而得a1＋a19＝20，所以S19＝eq\f(19（a1＋a19）,2)＝190.答案：19014．等比數列{an}中，a2＝9，a5＝243，則{an}的前4項和是________．解析：因為a2＝9，a5＝243，a5＝a2·q3，所以q3＝eq\f(243,9)＝27.所以公比q＝3，從而a1＝3.所以S4＝eq\f(a1（1－q4）,1－q)＝eq\f(3（1－34）,1－3)＝120.答案：12015．假如數列{an}的前n項和Sn＝2an－1，則此數列的通項公式an＝______________．解析：當n＝1時，S1＝2a1－1，所以a1＝2a1－1，所以a1＝1.當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2an－1－(2an－1)；所以an＝2an－1，經檢驗n＝1也符合．所以{an}是等比數列．所以an＝2n－1，n∈N*.答案：2n－1(n∈N*)16．設數列{an}的前n項和為Sn(n∈N*)，有下列三個命題：①若{an}既是等差數列又是等比數列，則an＝an＋1；②若Sn＝an(a為非零常數)，則{an}是等比數列；③若Sn＝1－(－1)n，則{an}是等比數列．其中真命題的序號是________．＝eq\f(a1,1－q)－eq\f(a1,1－q)·qn知②不正確，③正確．答案：①③三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)為了治理“沙塵暴”，西部某地區政府經過多年努力，到2024年底，將當地沙漠綠化了40%，從2024年起先，每年將出現這種現象：原有沙漠面積的12%被綠化，即改造為綠洲(被綠化的部分叫綠洲)，同時原有綠洲面積的8%又被侵蝕為沙漠，問至少經過幾年的綠化，才能使該地區的綠洲面積超過50%(可參考數據lg2＝0.3，最終結果精確到整數)?解：設該地區總面積為1，2024年底綠化面積為a1＝eq\f(2,5)，經過n年后綠洲面積為an＋1，設2024年底沙漠面積為b1，經過n年后沙漠面積為bn＋1，則a1＋b1＝1，an＋bn＝1.依題意，an＋1由兩部分組成：一部分是原有綠洲an減去被侵蝕的部分8%·an的剩余面積92%·an，另一部分是新綠化的12%·bn，所以an＋1＝92%·an＋12%(1－an)＝eq\f(4,5)an＋eq\f(3,25)，即an＋1－eq\f(3,5)＝eq\f(4,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(an－\f(3,5)))，a1－eq\f(3,5)＝eq\f(2,5)－eq\f(3,5)＝－eq\f(1,5)，所以eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an－\f(3,5)))是以－eq\f(1,5)為首項，eq\f(4,5)為公比的等比數列，所以an－eq\f(3,5)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,5)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))eq\s\up12(n－1)，所以an＝eq\f(3,5)－eq\f(1,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))eq\s\up12(n－1)，則an＋1＝eq\f(3,5)－eq\f(1,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))eq\s\up12(n)，因為an＋1>50%，所以eq\f(3,5)－eq\f(1,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))eq\s\up12(n)>eq\f(1,2)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))eq\s\up12(n)<eq\f(1,2)，n>logeq\s\do9(\f(4,5))eq\f(1,2)＝eq\f(lg2,1－3lg2)＝3.則當n≥4時，不等式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))eq\s\up12(n)<eq\f(1,2)恒成立．所以至少須要4年才能使綠洲面積超過50%.18．(本小題滿分12分)已知等差數列{an}的公差d≠0，它的前n項和為Sn，若S5＝70，且a2，a7，a22成等比數列．(1)求數列{an}的通項公式；(2)設數列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,Sn)))的前n項和為Tn，求證：eq\f(1,6)≤Tn＜eq\f(3,8).(1)解：因為數列{an}是等差數列，所以an＝a1＋(n－1)d，Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d.依題意，有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(S5＝70，,aeq\o\al(2,7)＝a2a22.))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5a1＋10d＝70，,（a1＋6d）2＝（a1＋d）（a1＋21d）.))解得a1＝6，d＝4.所以數列{an}的通項公式為an＝4n＋2(n∈N*)．(2)證明：由(1)可得Sn＝2n2＋4n.所以eq\f(1,Sn)＝eq\f(1,2n2＋4n)＝eq\f(1,2n（n＋2）)＝eq\f(1,4)(eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋2))．所以Tn＝eq\f(1,S1)＋eq\f(1,S2)＋eq\f(1,S3)＋…＋eq\f(1,Sn－1)＋eq\f(1,Sn)＝eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＋eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,4)))＋eq\f(1,4)(eq\f(1,3)－eq\f(1,5))＋…＋eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n－1)－\f(1,n＋1)))＋eq\f(1,4)(eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋2))＝eq\f(1,4)(1＋eq\f(1,2)－eq\f(1,n＋1)－eq\f(1,n＋2))＝eq\f(3,8)－eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n＋1)＋\f(1,n＋2))).因為Tn－eq\f(3,8)＝－eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n＋1)＋\f(1,n＋2)))＜0，所以Tn＜eq\f(3,8).因為Tn＋1－Tn＝eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n＋1)－\f(1,n＋3)))＞0，所以數列{Tn}是遞增數列，所以Tn≥T1＝eq\f(1,6).所以eq\f(1,6)≤Tn＜eq\f(3,8).19．(本小題滿分12分)設數列{an}的前n項和Sn＝2n＋1－2，數列{bn}滿意bn＝eq\f(1,（n＋1）log2an).(1)求數列{an}的通項公式；(2)求數列{bn}的前n項和Tn.解：(1)易知a1＝S1＝2，因為Sn＝2n＋1－2，所以Sn－1＝2n－2(n≥2)，所以an＝Sn－Sn－1＝2n(n≥2)，n＝1時，a1＝S1＝2符合an＝2n，所以數列{an}的通項公式為an＝2n(n∈N*)．(2)由(1)可得bn＝eq\f(1,（n＋1）logeq\o\al(2n,2))＝eq\f(1,（n＋1）n)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)，所以Tn＝1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)＝eq\f(n,n＋1).20．(本小題滿分12分)某同學利用暑假時間到一家商場勤工儉學，該商場向他供應了三種付酬方案：第一種，每天支付38元；其次種，第一天付4元，其次天付8元，第三天付12元，以此類推；第三種，第一天付0.4元，以后每天比前一天翻一番(即增加一倍)．你會選擇哪種方式領取酬勞呢？解：設此學生能工作n天，每天領的工資為an元，全部的工資為Sn元，則第一種方案：an(1)＝38，Sn(1)＝38n；其次種方案：an(2)＝4n，Sn(2)＝4(1＋2＋…＋n)＝2n2＋2n；1)．令Sn(1)≥Sn(2)，即38n≥2n2＋2n，解得n≤18，n∈N*，即小于或等于18天時，第一種方案酬勞比其次種方案高(18天時一樣高)．令Sn(1)≥Sn(3)，即38n≥0.4(2n－1)．利用計算器求得小于或等于9天時第一種方案酬勞比第三種方案高．所以當n<10時，選擇第一種方案．當n≥10時，Sn(1)≤Sn(3)，Sn(2)≤Sn(3)．所以等于或大于10天時，選擇第三種方案．21．(本小題滿分12分)數列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝n(n＋1)(n∈N*)．(1)求數列{an}的通項公式；(2)若數列{bn}滿意：an＝eq\f(b1,3＋1)＋eq\f(b2,32＋1)＋eq\f(b3,33＋1)＋…＋eq\f(bn,3n＋1)，求數列{bn}的通項公式；(3)令cn＝eq\f(anbn,4)(n∈N*)，求數列{cn}的前n項和Tn.解：(1)當n＝1時，a1＝S1＝2，當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝n(n＋1)－(n－1)n＝2n，因為a1＝2滿意該式，所以數列{an}的通項公式為an＝2n(n∈N*)．(2)an＝eq\f(b1,3＋1)＋eq\f(b2,32＋1)＋…＋eq\f(bn,3n＋1)，①an＋1＝eq\f(b1,3＋1)＋eq\f(b2,32＋1)＋…＋eq\f(bn,3n＋1)＋eq\f(bn＋1,3n＋1＋1)，②②－①得，eq\f(bn＋1,3n＋1＋1)＝an＋1－an＝2，得bn＋1＝2(3n＋1＋1)，所以bn＝2(3n＋1)．當n＝1時，b1＝8，符合上式．所以bn＝2(3n＋1)(n∈N*)．(3)cn＝eq\f(anbn,4)＝n(3n＋1)＝n·3n＋n，所以Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn＝(1×3＋2×32＋3×33＋…＋n×3n)＋(1＋2＋…＋n)，令Hn＝1×3＋2×32＋3×33＋…＋n×3n，①則3Hn＝1×32＋2×33＋3×34＋…＋n×3n＋1，②①－②得，－2Hn＝3＋32＋33＋…＋3n－n×3n＋1＝eq\f(3（3n－1）,3－1)－n×3n＋1，所以Hn＝eq\f(（2n－1）×3n＋1＋3,4).所以數列{cn}的前n項和Tn＝eq\f(（2n－1）×3n＋1,4)＋eq\f(n（n＋1）,2)＋eq\f(3,4).22．(本小題滿分12分)等差數列{an}的前n項和為Sn，數列{bn}滿意：b1＝5a1＝5，a5＝b2＝9，當n≥3時，Sn＋1>bn，且Sn，Sn＋1－bn，Sn－2成等比數列，n∈N*.(1)求數列{an}，{bn}的通項公式．(2)求證：數列{bn}中的項都在數列{an}中．(3)將數列{an}、eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,bnbn＋1)))的項根據“當n為奇數時，an放在前面；當n為偶數時，eq\f(1,bnbn＋1)放在前面”進行“交叉排列”，得到一個新的數列：a1，eq\f(1,b1b2)，eq\f(1,b2b3)，a2，a3，eq\f(1,b3b4)，…這個新數列的前n和為Tn，試求Tn的表達式．解：(1){an}為等差數列，設公差為d，b1＝5a1＝5，a5＝b2＝9，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,a5＝a1＋4d＝9，))解得d＝2，所以由等差數列通項公式可得an＝1＋2(n－1)＝2n－1；等差數列{an}的前n項和為Sn，所以Sn＝eq\f(n（1＋2n－1）,2)＝n2，當n≥3時，