第2課時平面與平面垂直

h預習導學:挑戰自我，點點落實

［學習目標］

1.掌握平面與平面垂直的定義.

2.掌握平面與平面垂直的判定與性質定理.

3.理解線線垂直，線面垂直和面面垂直的內在聯系.

［知識鏈接］

1.直線與平面垂直的判定定理

定理：如果一條直線垂直于一個平面內的兩條相交直線,那么這條直線就與這個

平面垂直.

推論：如果兩條平行線中的一條垂直于一個平面,那么另一條也垂直于這個平面;

2.直線與平面垂直的性質定理

定理：垂直于同一個平面的兩條直線壬任.

aX.a

符號表示：}=〃〃〃.

［預習導引］

1.兩個平面垂直的判定定理

(1)定理：如果一個平面經過另一個平面的一條垂線,那么這兩個平面垂直.

(2)圖形表述：如圖所示.

(3)符號語言：bl.a,buB08工a,

2.面面垂直的性質定理

一兩個平面垂直，則其中一個平面內垂直于交線的直線與另一個平

文字語言

面垂直

a邛、

aC/3=l

符號語言

aua

4-L/>

丁

圖形語言4i_/

①面面垂直=>線面垂直

作用

②作面的垂線

h課堂講義j重點難點，個個擊破___________________________________________________________

要點一平面與平面垂直判定定理的應用

例1如圖，A3是。。的直徑，抬垂直于。。所在的平面，C是圓周上異于A,

B的任意一點，求證：平面附C_L平面P8C

證明連結AC,BC,貝!]BCLAC,

又必，平面ABC,

J.PALBC,而必IAAC=A,.,.BUL平面出C,

又BCu平面PBC,：.平面PAC1平面PBC.

規律方法面面垂直的判定定理是證明面面垂直的常用方法，即要證面面垂直，

只需轉證線面垂直，關鍵是在其中一個平面內尋找一直線與另一個平面垂直.

跟蹤演練1如圖，四棱錐P-ABC。的底面是正方形，PO_L底面ABCD,點

E在棱PB上.求證：平面AEC_L平面

證明?.?P。，平面ABC。，ACu平面ABC。，

：.PDLAC.

?..四邊形ABC。為正方形，

：.BD±AC.

又，：PD,8。為平面PO8內兩條相交直線，

.?.AC_L平面PDB.

又「ACu平面AEC,

二平面AECJ_平面PDB.

要點二面面垂直性質定理的應用

例2如果兩個相交平面都垂直于第三個平面，那么它們的交線垂直于第三個平

面.

解已知a_L%aC￡=l.

求證：Z±y.

證明法一在y內取一點尸，作R1垂直a與y的交線于A,尸8垂直”與了的

交線于8,則孫，a,PB邛.

?：l=aC}：.ILPA,IA.PB.

又出AP3=P,且PBuy,

;.Z±/.

法二在a內作直線m垂直于a與7的交線，在夕內作直線n垂直于4與y的交

線，

Va±y,/3-Ly,.".m.Ly,.'.m//n.

又〃u￡,mQ8,:.mHJ3.

又mua,aQ=/,.,.m//1,

規律方法面面垂直的性質是作平面的垂線的重栗方法，因此，在有面面垂直的

條件下，若需要平面的垂線，要首先考慮面面垂直的性質.

跟蹤演練2如圖所示，在三棱錐P—ABC中，出，平面A3C,平面出8_L平面

PBC.

求證：BC.LAB.

證明在平面RU?內，作AD±PB于D.

?.?平面以B_L平面PBC,

且平面必平面PBC=PB,

，AO_L平面PBC.又BCu平面PBC,：.AD1BC.

又：以，平面ABC,BCu平面ABC,

：.PA±BC,

又?.,RinAD=A,

.?.BC_L平面PAB.

又ABu平面PAB,：.BCLAB.

要點三線線、線面、面面垂直的綜合應用

例3如圖所示，在四棱錐P-ABCO中，底面ABC0是邊長為a的菱形，且ND4B

=60。，側面以。為正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD

(1)若G為AO邊的中點，求證：BG_L平面融。；

(2)求證：

證明(I)'.?在菱形ABCD中,

G為A。的中點，ZDAB=60°,

：.BG±AD.

又平面以。，平面ABCD,

平面B4OA平面ABCD=AD,BGu平面ABCD,

，BG_L平面PAD.

(2)連結PG,如圖，

VAMD為正三角形，

G為A。的中點，：.PG±AD.

由（1）知BG_LAO,又PGABG=G,

平面PGB.；PBu平面PGB,：.ADLPB.

規律方法證明線面垂直，一種方法是利用線面垂直的判定定理，另一種方法是

利用面面垂直的性質定理.本題已知面面垂直，故可考慮面面垂直的性質定理.利

用面面垂直的性質定理.證明線面垂直的問題時，要注意以下三點：（1）兩個平

面垂直；（2）直線必須在其中一個平面內；（3）直線必須垂直于它們的交線.

跟蹤演練3如圖，已知四棱錐P—ABCD的底面是直角梯形，NABC=NBCD

=90°,AB=BC=PB=PC=2CD,側面底面ABCD

%與8。是否相互垂直？請證明你的結論.

解出與8。相互垂直.證明如下：

如圖，取BC的中點O,連結PO,AO.t：PB=PC,：.PO1BC,

又側面底面ABCD,

平面PBCC平面ABCD=BC,POu平面PBC,

，「。，底面ABC。，

.?.P0L8D在直角梯形A8CO中，

易證△ABOg△BCD,

ZBAO=ZCBD,ZCBD+ZABD=90°,

：.ZBAO+ZABD=90°,：.AO1BD,

又PonAO=o,

.?.80,平面B4O,又必u平面B40,J.BDLPA,

即出與BO相互垂直.

尹當堂檢測當堂訓練，體驗成功

1.若平面。，平面6平面￡_L平面一則（）

A.a//yB.a±y

C.a與7相交但不垂直D.以上都有可能

答案D

解析以正方體為模型：相鄰兩側面都與底面垂直；相對的兩側面都與底面垂直；

一側面和一對角面都與底面垂直，故選D.

2.已知LLa,則過/與a垂直的平面（）

A.有1個B.有2個

C.有無數個D.不存在

答案C

解析由面面垂直的判定定理知，凡過/的平面都垂直于平面a,這樣的平面有

無數個.

3.已知長方體ABCD-ABGOi,在平面ABi上任取一點M,作MELAB于E,

貝女）

A.ME_L平面ACB.MEu平面AC

C.ME〃平面ACD.以上都有可能

答案A

解析由于MEu平面AB,平面ABiD平面AC=AB,且平面ABi_L平面AC,

ME±AB,則ME_L平面AC.

4.如圖，設P是正方形ABCD外一點，且附，平面ABCD,則平面PAB與平

面P8C、平面外。的位置關系是（)

A.平面PAB與平面PBC、平面PAD都垂直

B.它們兩兩垂直

C.平面附B與平面P8C垂直，與平面外。不垂直

D.平面%8與平面P8C、平面玄0都不垂直

答案A

解析,.?朋，平面48。。，：.PALBC.

XBCLAB,R\DAB=A,

.?.8。_1_平面PAB.

,.'BCu平面PBC,

二平面平面PAB.

由4"以，ADLAB,PAHAB^A,

得AOJ_平面PAB.

?.?A￡>u平面PAD,

，平面附。，平面PAB.

由已知易得平面PBC與平面玄。不垂直，故選A.

5.下列四個命題中，正確的序號有.

①a〃夕，尸_Ly,則a_Ly；②a〃下,《〃%則a〃了；③a_L￡,yJL/3,則a_L>；④a_L￡,

川,則a//y.

答案①②

解析③④不正確，借助于長方體，易知若a，/?,川,則a,y可平行，可垂

直，也可相交且不垂直.

課堂小結

1.面面垂直的性質定理揭示了“面面垂直、線面垂直及線線垂直”間的內在聯

系，體現了數學中的化歸轉化思想，其轉化關系如下：

面面垂直的定義

I線?垂直增簧割線面垂直翟鬻面面嚏h

2.運用面面垂直的性質定理時，一般需要作輔助線，基本作法是過其中一個平

面內一點作交線的垂線，這樣把面面垂直轉化為線面垂直或線線垂直.

h課時精練!解疑糾偏，訓練檢測

一、基礎達標

1.空間四邊形A8CD中，若AOL3C,BDLAD,那么有（）

A.平面ABCJ_平面AOC

B.平面ABC,平面AO3

C.平面ABC,平面。BC

D.平面ADC1.平面

答案D

AD±BC〕、

IA。，平面BC。

解析AD±BD;=TH,-"=平面AOC_L平面08c.

又AOu平面AOCj

BCCBD=BJ

2.已知必，矩形ABC。所在的平面（如圖）.圖中互相垂直的平面有（)

A.1對

C.3對D.5對

答案D

角星析'：DA1AB,DALPA,ABCyPA=A,

平面布氏.?.8。，平面PAB.

又易知A3,平面PAD,

...OC,平面PAD.

，平面雨。，平面ABCD,平面陰。_L平面PAB,平面P8C_L平面PAB,平面

出8,平面A3C。，平面PDCU平面出。，共5對.

3.設平面a,平面小在平面a內的一條直線。垂直于平面尸內的一條直線兒

則（）

A.直線。必垂直于平面尸

B.直線匕必垂直于平面a

C.直線a不一定垂直于平面夕

D.過a的平面與過Z?的平面垂直

答案C

解析當人=6（門夕時，必有a，夕，當人不是a與￡的交線時，直線a不一定垂

直于平面民

4.三個平面兩兩垂直，它們的交線交于一點。，點P到三個面的距離分別是3,

4,5,則0P的長為（）

A.5小B.5y[2

C.3小D.24

答案B

解析?.?三個平面兩兩垂直，

,可以將P與各面的垂足連結并補成一個長方體，

：.0P即為對角線，

/.OP=^32+42+52=V50=5V2.

5.平面。_1_平面尸，aC§=l,〃uB,〃_!_/,直線〃z_La,則直線相與"的位置關

系是.

答案平行

解析,:a邛,aC\/3=l,nu8,〃_!_/,.'.nA.a.

又〃2_La,.'.m//n.

6.a,4是兩個不同的平面，加，〃是平面a,4外的兩條不同直線，給出四個結

論：①機_1_〃；②a_LQ；③〃_L夕；④

以其中三個論斷作為條件，余下一個論斷作為結論，寫出你認為正確的一個命題

答案①③④今②或②③④二①

解析當〃?_!_〃時，有〃〃a或〃ua....當尸時，a_L尸，即①③④今②.

或當時，有機〃尸或〃?u.,.當“_L尸時〃?_!_〃，即②③④0①.

7.如圖，四棱錐P—A3C。中，抬，平面ABCD,底面ABCD為直角梯形,AB_LA￡>,

CDYAD,求證：平面PDC,平面BAD

證明平面ABC。，COu平面ABC。，

AMlCD,

又COLA。，R\HAD=A,

.?.C。，平面PAD.

又COu平面PDC,

二平面PQC,平面PAD.

二'能力提升

8.已知平面a_L平面夕，aC夕=/,點AGot,AH，直線AB〃/,直線AC_U,直

線〃z〃a,m//p,則下列四種位置關系中，不一定成立的是（）

A.AB//mB.AC^-m

C.AB//(iD.AC±J3

答案D

解析如圖，AB//l//m,

AC±l,m//l=^ACLm,A3〃/oA8〃￡.故選D.

9.如圖，A,B,C,。為空間四點，在△ABC中，AB=2,AC=BC=yf2,等邊

三角形ADB以AB為軸運動，當平面平面ABC時，則CD=.

答案2

解析取的中點E,連結DE,CE,因為△AO8是等邊三角形，所以DE1AB.

當平面AD8,平面ABC時，

因為平面AO8A平面ABC=A8,

所以。及L平面ABC.

又CEu平面ABC,可知OE_LCE.

由已知可得。￡=/，EC=\,

在RtADEC中，CD=y]DE2+CE2=2.

10.如圖所示，已知兩個正方形ABCO和。CEF不在同一平面內，M,N分別為

AB,DF的中點.若CD=2,平面ABC。平面DCEF,則線段MN的長等于

答案V6

解析取CO的中點G,連結MG,NG.

因為四邊形ABC。，DCEF為正方形,且邊長為2,

所以MGLCO,MG=2,NG=也

因為平面ABCD1.平面DCEF,

所以MG,平面DCEF,可得MGLNG,

所以MN=\)MG2+NG2=V6.

11.如圖，△ABC為正三角形，平面ABC,BD//CE,且CE=C4=23D,

M是EA的中點，求證：

(1)DE=DA；

(2)平面BOM，平面ECA；

(3)平面￡>EA_L平面ECA.

證明(1)如圖，取EC的中點R，連結OF.

?.,EC_L平面ABC,BCu平面ABC,

易知DF//BC,

J.DFLEC.

在RtAEFD和Rt/XOBA中，

；EF=；EC,EC=2BD,

：.EF=BD,又FD=BC=AB,

/.RtAEFD^RtAD5A,故

⑵取CA的中點N,連結MN,BN,

則MN//EC,且MN=*C.

'：EC//BD,

J.MN//BD,

，N點在平面BDM內.

?.?EC_L平面ABC,

:.ECLBN,

又CALBN,ECQCA=C,.?.BN,平面ECA.

「BN在平面MNBD內，

平面MNBO_L平面ECA,即平面BDML平面ECA.

(3)由(2)知四邊形MNBD為平行四邊形，

ADM//BN,8NL平面CAE,

DM1,平面ECA,又OMu平面DEA,

二平面OE4,平面ECA.

三'探究與創新

12.已知：如圖，平面鞏8,平面ABC,平面平面ABC,AE±￥ffiPBC,

E為垂足.

(1)求證：抬，平面ABC；

(2)當E為△P3C的垂心時，求證：△ABC是直角三角形.

證明(1)在平面ABC內取一點。，作。/UAC于凡

?.?平面%C,平面ABC,且交線為AC,

二。尸，平面PAC.

又?.?附u平面