2005年*東濱工業(yè)大學(xué)

教學(xué)建模競賽

B題:

服務(wù)婁據(jù)的運用

售后服務(wù)數(shù)據(jù)的運用

摘要

本文以工廠提供的轎車某部件的千車故障數(shù)的數(shù)據(jù)表為研究對象，針對原表

中給出的千車故障數(shù)的定義的不合理性,對其定義進(jìn)行了修正，同時給出了更加

合理的定義即“修正千車故障數(shù)”。并對“修正千車故障數(shù)”表中的數(shù)據(jù)進(jìn)行了

分析和處理。考慮到數(shù)據(jù)的不合理性和少量性特點，建立對隨機(jī)性和波動性較大

的數(shù)據(jù)具有較好的預(yù)測效果的灰色馬爾柯夫模型。

本文的主要工作有：

1對數(shù)據(jù)進(jìn)行了分析，提出了原文中千車故障數(shù)的定義存在的幾種不合理性,

并對其進(jìn)行了修正，給出了更加合理的千車故障數(shù)的概念；

3采用橫向最小二乘擬合與縱向卡爾曼濾波方法的聯(lián)合預(yù)測方法數(shù)據(jù)表進(jìn)行

填充；

4建立了兩次擬合參數(shù)法灰色馬爾柯夫模型,并對0205批次使用月數(shù)18時、

0306批次使用月數(shù)9時和0310批次使用月數(shù)12時的千車故障數(shù)進(jìn)行了預(yù)測。

預(yù)測結(jié)果為：

0205批次使用月數(shù)18時的千車故障數(shù)為79.65；

0306批次使用月數(shù)9時的千車故障數(shù)為32.78；

0310批次使用月數(shù)12時的千車故障數(shù)為12.57；

5.利用后驗差方方法對預(yù)測數(shù)據(jù)進(jìn)行了檢驗；

6.最后，給出了重新制表方法的建議。

關(guān)鍵詞：預(yù)測最小二乘法kalman濾波平滑灰色模型馬爾柯夫鏈

1.問題綜述

產(chǎn)品質(zhì)量是企業(yè)的生命線，售后服務(wù)是產(chǎn)品質(zhì)量的觀測點，如何用好售后服

務(wù)的數(shù)據(jù)是現(xiàn)代企業(yè)管理的重要問題之一。

現(xiàn)以某轎車生產(chǎn)廠家為例考慮這個問題。假設(shè)該廠的保修期是三年,即在某

轎車售出后三年中對于非人為原因損壞的轎車免費維修。在全國各地的維修站通

過網(wǎng)絡(luò)將保修記錄送到統(tǒng)一的數(shù)據(jù)庫里面，原始數(shù)據(jù)主要是這是哪個批次生產(chǎn)的

轎車（即生產(chǎn)月份）、售出時間、維修時間、維修部位、損壞原因及程度、維修

費用等等。通過這樣的數(shù)據(jù)可以全面了解所有部件的質(zhì)量情況，若從不同的需求

角度出發(fā)科學(xué)整理數(shù)據(jù)庫中的數(shù)據(jù)，可得到不同用途的信息，從而實現(xiàn)不同的管

理目的。

整車或某個部件的“千車故障數(shù)”是一個很重要的指標(biāo)，常用于描述轎車的

質(zhì)量。首先將轎車按生產(chǎn)批次劃分成若干個不同的集合（下面表格的同一行數(shù)據(jù)

就來自同一集合），再對每個集合中迄今已售出的全部轎車進(jìn)行統(tǒng)計，由于每個

集合中的轎車是陸續(xù)售出的，因此它們的統(tǒng)計時間的起點即售出時間是不同的。

但在下面表格中，每一列數(shù)據(jù)的統(tǒng)計時間的長度卻是相同的。在相同使用時間長

度（例如下表中第5列都是使用10個月的）內(nèi)的整車或某個部件的保修總次數(shù)

乘以1000再除以迄今已售出的轎車數(shù)量，即為下面表格中的千車故障數(shù)。

數(shù)據(jù)利用的時效性是很強的，廠方希望知道近期生產(chǎn)中的質(zhì)量情況，但剛出

廠的轎車還沒有全賣出去，已售出的轎車使用幾個月后的保修情況可能還沒有數(shù)

據(jù)反饋，因此數(shù)據(jù)顯得滯后很多。當(dāng)一個批次生產(chǎn)的轎車的三年保修期都到時，

我們對這批轎車的質(zhì)量情況有了最準(zhǔn)確的信息，可惜時間是轎車出廠的四、五年

后，這些信息已無法指導(dǎo)過去的生產(chǎn)，對現(xiàn)在的生產(chǎn)也沒有什么作用。所以如何

更科學(xué)地利用少量數(shù)據(jù)預(yù)測未來情況是售后服務(wù)數(shù)據(jù)利用的重要問題。

現(xiàn)有2004年4月1日從數(shù)據(jù)庫中整理出來的某個部件的千車故障數(shù)（見附

表一）。其中的使用月數(shù)一欄是指售出轎車使用了的月份數(shù)，使用月數(shù)0的列中

是已售出的全部轎車在用戶沒使用前統(tǒng)計的千車故障數(shù)，1的列中是某一批次已

售出的每一輛轎車，在它被使用到第一個月結(jié)束時統(tǒng)計的，對于該批次售出的全

部轎車?yán)塾嫷那к嚬收蠑?shù)（即沒使用時和第一個月中千車故障數(shù)的和），12的列

中是每輛車使用到恰好一年結(jié)束時的累計千車故障數(shù)。生產(chǎn)月份是生產(chǎn)批次，如

0201表示2002年1月份生產(chǎn)的。隨著時間的推移，轎車不斷地銷售出去，已售

出轎車使用一段時間后的千車故障數(shù)也能不斷自動更新，再打印出的表中數(shù)據(jù)也

將都有變化。

1.該表是工廠的真實數(shù)據(jù)，沒有修改，反映的情況很多，請你分析表中是

否存在不合理數(shù)據(jù)，并對制表方法提出建議；

2.利用這個表的數(shù)據(jù)預(yù)測時請注意區(qū)分水平和垂直方向。請你設(shè)計相應(yīng)的

模型與方法，并預(yù)測：0205批次使用月數(shù)18時的千車故障數(shù)，0306批次使用月

數(shù)9時的千車故障數(shù)，0310批次使用月數(shù)12時的千車故障數(shù)。

2.問題分析

產(chǎn)品質(zhì)量是企業(yè)的生命線，售后服務(wù)是產(chǎn)品質(zhì)量的觀測點，如何用好售后服

務(wù)的數(shù)據(jù)是現(xiàn)代企業(yè)管理的重要問題之一。

整車或某個部件的“千車故障數(shù)”是一個很重要的指標(biāo)，常用于描述轎車

的質(zhì)量。數(shù)據(jù)利用的時效性是很強的，廠方希望知道近期生產(chǎn)中的質(zhì)量情況，但

剛出廠的轎車還沒有全賣出去，已售出的轎車使用幾個月后的保修情況可能還沒

有數(shù)據(jù)反饋，因此數(shù)據(jù)顯得滯后很多。當(dāng)一個批次生產(chǎn)的轎車的三年保修期都到

時，我們對這批轎車的質(zhì)量情況有了最準(zhǔn)確的信息，可惜時間是轎車出廠的四、

五年后，這些信息已無法指導(dǎo)過去的生產(chǎn)，對現(xiàn)在的生產(chǎn)也沒有什么作用。所以

如何更科學(xué)地利用少量數(shù)據(jù)預(yù)測未來情況是售后服務(wù)數(shù)據(jù)運用的重要問題。

原始數(shù)據(jù)信息有兩個特點：第一，由于各種因素的影響，數(shù)據(jù)可能偏離真實

值，有的甚至可能不合理；第二，相對所要完成的預(yù)測任務(wù)，原數(shù)數(shù)據(jù)都是少量

的。數(shù)據(jù)的不合理性要求對數(shù)據(jù)作一定的修正，排除一些不合理因素；數(shù)據(jù)的少

量性要求必須充分利用已知故障反饋信息，并根據(jù)這些少量的數(shù)據(jù)來設(shè)計出一種

預(yù)測未來的合理模型，這對售后服務(wù)具有指導(dǎo)性的意義。

3.模型假設(shè)

1.在考察期內(nèi)，任意批次的部件的數(shù)量足夠滿足市場需求；

2.銷售量與生產(chǎn)量成線形關(guān)系；

3.同一批次轎車的各月銷售量相等；

4.每一批次的轎車都是月末出廠的；

5.經(jīng)過一次維修后該部件足夠長的時間段內(nèi)不再發(fā)生故障。

4.變量說明

為了便于對修正算法的理解，先對幾個變量加于說明：

第5批：設(shè)2002年1月生產(chǎn)的0201批次為第1批，其余按月類推；

八每批次對應(yīng)的使用月數(shù)加1,例如：使用月數(shù)為。時，j=l,使用月數(shù)為1

時，六2；

ys(i")表示原始數(shù)據(jù)中第,?批次，使用月數(shù)為的千車故障數(shù)；

S03(")表示修正以后的第2?批次，使用月數(shù)為J-1的千車故障數(shù);

5.數(shù)據(jù)分析與處理

5.1數(shù)據(jù)分析

5.1.1銷售數(shù)據(jù)分析

觀察各批次銷售數(shù)據(jù)，大部分?jǐn)?shù)據(jù)相近，只有個別數(shù)據(jù)波動很大，對其按

批次畫圖并進(jìn)行線形擬合，如圖一。

圖一銷售數(shù)據(jù)線形擬合

由圖中可以看出，從02年12月到03年1月發(fā)生十幾倍的產(chǎn)量振蕩，由假

設(shè)2并結(jié)合生產(chǎn)的實際情況，這種數(shù)據(jù)的可能性極低，即使有可能，也是由于劇

烈外來擾動引起的，比如，引進(jìn)了新的生產(chǎn)線，工廠生產(chǎn)加班加點或其他一些原

因。

分析結(jié)果1：0301批次部件的銷量數(shù)據(jù)異常，而對應(yīng)的故障數(shù)據(jù)也會受其影響。

因此該批次數(shù)據(jù)不宜作為進(jìn)一步分析和預(yù)測的依據(jù)。

5.1.2故障數(shù)據(jù)分析

表一千車故障數(shù)表（節(jié)選）

1211109876543210

...................................................................................

021195.7895.7894.3592.2185.7882.272.1961.4747.1840.0325.7312.873.57

0212101.74101.7494.2991.8189.3384.3781.896752.1144.6732.267.447.44

0301122.79122.79122.48121.55119.84115.5108.0698.2982.6466.9844.9622.023.72

0302143.93143.93143.93143.93141.95139.57135.21125.69106.6684.4662.2525.381.59

030360.3460.3460.3460.346058.2855.8651.7246.2133.116.551.03

030418.6318.6318.6318.6318.6316.8615.9713.317.992.660

030514.6714.6714.6714.6713.4513.4513.45II8.561.22

03065.845.845.845.845.845.8451.670

030713.6513.6513.6513.6513.1110.387.10.55

03085.75.75.75.74.561.710

03090.920.920.920.920.460.46

031000000

03110000

0312000

表一是從題目提供的千車故障數(shù)表中節(jié)選的一部分，由上節(jié)分析可知對第

0301批次部件的有關(guān)數(shù)據(jù)可以不予采信，因此從表中陰影部分的數(shù)據(jù)中可以發(fā)

現(xiàn)這樣一個特點：每批次部件在表中后四列的累積千車故障數(shù)均無變化。這意味

著有一個長度為3個月的“絕對無故障使用期”。而實際情況是：轎車出廠后的

運輸是個復(fù)雜的事，體積大又貴重，要花費很多時間。

分析結(jié)果2:轎車出廠后三個月才開始有銷售量，每批次的前三個數(shù)據(jù)（斜

三列）可認(rèn)為是無效數(shù)據(jù)，不宜作為進(jìn)一步分析和預(yù)測的依據(jù)。

5.1.3整體數(shù)據(jù)分析

整車或某個部件的“千車故障數(shù)”是一個很重要的指標(biāo)，常用于描述轎車的

質(zhì)量。在相同使用時間長度內(nèi)，對于整車或某個部件的千車故障數(shù)，原題中給出

的定義如下：

保修總次數(shù)X1OOO

千車故障數(shù)(5-1)

迄今已售出的轎車總數(shù)

把它稱作原始千車故障數(shù)。

很顯然，故障率的市場反饋都是在2004年4月以前得到的。考慮第0210

批次，它售出的總量是2107,根據(jù)假設(shè)4和上面的故障數(shù)據(jù)分析，經(jīng)過3個月

的運輸后，2003年2月份才開始有銷售量，到制表時間一共有14個月的銷售量。

取使用月數(shù)為12的數(shù)據(jù)項，它的千車故障數(shù)是121.97,根據(jù)公式（5T），它的

分母是迄今已售出的轎車總數(shù)，這里是2107。而實際上，到2004年3月，可能

仍然會有第0210批次的部件售出，而它的使用月數(shù)為12的故障信息反饋要等到

2005年3月才能得到，無法全部得到它的使用月數(shù)為12的故障信息反饋，但這

一部分部件仍然算進(jìn)了迄今已售出的轎車總數(shù)。同理，對于2003年4月份以后

出售的該批次的部件，對于它的使用月數(shù)為12的故障信息在2004年4月1日都

是得不到的，因為在這些時間里出售的部件，它們的使用月數(shù)都沒有達(dá)到12個

月。同樣，以第0201批次的使用月數(shù)為1的數(shù)據(jù)項為例，2004年3月份可能

仍然會有該批次的部件售出，而它的使用月數(shù)為1的故障信息反饋也要等到2004

年4月以后才能得到，因此，保修總次數(shù)不包括2004年3月份出售部件的故障

信息反饋，但是該月的月銷售量卻包含在了計算該批次使用月數(shù)為1時的千車故

障數(shù)時的轎車總數(shù)。

分析結(jié)果3：除使用月數(shù)為0的數(shù)據(jù)外，其它的原始千車故障數(shù)都是不合理的，

需要修正。

5.2數(shù)據(jù)處理

數(shù)據(jù)處理步驟如下：

步驟1：基于分析結(jié)果2,出廠后三個月才有銷售量.去除原始表中的斜三列中得

數(shù)據(jù).結(jié)果如下：

表二去除斜三列后數(shù)據(jù)表（節(jié)選）

1211109876543210

..........................................................................................................

021195.7895.7894.3592.2185.7882.272.1961.4747.1840.0325.7312.873.57

0212101.7494.2991.8189.3384.3781.896752.1144.6732.267.447.44

0301122.48121.55119.84115.5108.0698.2982.6466.9844.9622.023.72

0302143.93141.95139.57135.21125.69106.6684.4662.2525.381.59

030360.346058.2855.8651.7246.2133.116.551.03

030418.6318.6316.8615.9713.317.992.660

030514.6713.4513.4513.45118.561.22

03065.845.845.8451.670

030713.6513.1110.387.10.55

03085.74.561.710

03090.920.460.46

031000

03110

0312

步驟2：表的修正

故障部件數(shù)X1000

(1)原始的千車故障數(shù)=1

迄今為止的汽車售出量

故障部件數(shù)x1000

修正后的千車故障數(shù)=2

滿足使用月數(shù)條件的售出量

以0205批次使用月數(shù)為10個月解釋式2分母的“滿足使用月數(shù)條件的售

出量”，0205批次的汽車要到2002年09月份才有銷售量,而在2003年6月份以

后的售出量(不包括該月)到2004年03月份為止的使用月數(shù)還不到10個月，因此

滿足月數(shù)條件的售出量是2002年09月到2003年06月份的銷售量。

(2)比較上面1和2式，發(fā)現(xiàn)兩式的的共同之處在于有一樣的“故障部件數(shù)”，

又基于每月銷售量相同的假設(shè)下，不難得出由原始的千車故障數(shù)向修正的千車故

障數(shù)的轉(zhuǎn)化與總銷售量無關(guān)，僅僅與月數(shù)有關(guān)，關(guān)系如下

該批次到制表時的總銷售月數(shù)

修正后的千車故障數(shù)=原始的千車故障數(shù)x

該批次到制表時滿足條件的月數(shù)

(3)修正算法

總銷售月數(shù)為24-Z；(前三個月沒有銷售量)

滿足條件的月數(shù)25-i-/。

修正算法如下：

Forz=1:24

Forj=1:13

Ifi+j<25

孫(，?，力屋言"(")〃注意:使用月―〃

Else

szys(i,j)=0//表格中的空數(shù)據(jù)賦為0//

由該算法得到的修正數(shù)據(jù)見附表lo

步驟3：對表中的列作殘差,也即把原來相鄰的列作差得到新的增量表,表示第幾

個月期間的千車故障數(shù)。

步驟4：基于分析結(jié)果1,去掉Z=13的行.(見附表2)至此在以后的預(yù)測計算

中，0301批次以后的數(shù)據(jù)都向上挪一行，例如，預(yù)測0306批次時，2=17,預(yù)測0310

批次時/=21。

步驟5：表內(nèi)數(shù)據(jù)的橫向最小二乘擬合與縱向卡爾曼(kalman)濾波方法的聯(lián)合

預(yù)測

對于修正后的差分表，同一個批次在相鄰月份內(nèi)發(fā)生的千車故障率必然有

相關(guān)系數(shù),而且故障率可以認(rèn)為是線性關(guān)系，因此橫向采取線性最小二乘擬合未

知的故障數(shù),再在此基礎(chǔ)上運用縱向kalman濾波對擬合后的數(shù)據(jù)進(jìn)行除噪處理,

從而降低了數(shù)據(jù)的誤差。例如，對于(0212,13)未知“故障數(shù)”用

(0212,0)(0212,1)…(0212,12)數(shù)據(jù)線性最小二乘法擬合得到，然后通過對

(0201,13),(0202,13)-(0211,13),(0212,13)進(jìn)行kalaman濾波分析修正最小

二乘法擬合得到的(0212,13)值。

表三橫向最小二乘擬合與縱向卡爾曼濾波方法的聯(lián)合預(yù)測順序表

使用月數(shù)1211109876543210

銷售生產(chǎn)制表

月份月份時銷

售量

0303()2111399622.57213.72109.1776.65444.92844.03334.17831.7416.1121.63116.46610.3723.57

03040212403(11)655.14198.599.2565.50238.70848.92336.69218.60520.84830.5960.676367.44

030603022522(12)(1)729.55244.52127.2186.64573.61357.1142.84549.61226.611.59

030703032900(13)(2)273.0695.1649.15532.58923.78126.75823.93817.5891.03

030803041127(14)(3)74.5229.5613.0210.64410.6437.61333.040

03090305818(15)(4)55.61515.6927.84588.13755.41338.76671.22

031003061199(16)(5)17.525.844.185.4962.0040

()311()3071831(17)(6)35.47515.4758.4258.3250.55

031203081754(18)(7)13.686.842.280

040103092163(19)(8)2.070.230.46

040203102389(20)(9)00

040303112434(21)(10)0

()404()3121171(22)(11)

具體處理過程如下:

(1)從空表項的最上的一條對角線開始。用最小二乘法擬合0302批次使用月數(shù)

為10的數(shù)據(jù)(i=13,J=11)

(2)用縱向濾波對(i=13,/=11)的數(shù)據(jù)進(jìn)行除噪處理，得到修正值.

(3)i=i+l,j=j-\,重復(fù)進(jìn)行(1),(2)的步驟。直到該對角線填滿為止。

(4)對下面的對角線，重復(fù)進(jìn)行(1),(2),(3)的步驟直到，表中的空表項填

滿為止。(其數(shù)據(jù)處理的順序如表6.1中的數(shù)字所示)

至此,數(shù)據(jù)處理部分全部結(jié)束，得到的數(shù)據(jù)表中的數(shù)據(jù)稱之為對應(yīng)批次對應(yīng)

月的“故障數(shù)”(見附表三)，以下的數(shù)據(jù)建模和預(yù)測都是基于“故障數(shù)”的基礎(chǔ)

上。

原始千車故障數(shù)據(jù)表

據(jù)故

處隙

理段■■

去除斜三列后數(shù)據(jù)表

補

縱橫

全

向

向

數(shù)

k最

據(jù)a

l小

m

a二

n

乘

濾

和

波

差分預(yù)測數(shù)據(jù)表

圖二數(shù)據(jù)處理流程圖

6.灰色馬爾柯夫(markov)模型的建立

灰色系統(tǒng)理論建模的主要任務(wù)是根據(jù)社會、經(jīng)濟(jì)、技術(shù)等系統(tǒng)的行為特征

數(shù)據(jù)，找出因素本身或因素之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，從而了解系統(tǒng)的動態(tài)行為和發(fā)展趨

勢。灰色系統(tǒng)分析實質(zhì)上是將一些己知的數(shù)據(jù)序列，通過一定的方法處理，使其

由散亂狀態(tài)轉(zhuǎn)向規(guī)律化，然后利用微分方程擬合，并由外延進(jìn)行預(yù)測。其中己知

的數(shù)據(jù)稱為白色，需要預(yù)測的數(shù)據(jù)稱為灰色，而處理過程稱為白化，也就是對數(shù)

據(jù)序列的隨機(jī)性弱化。灰色系統(tǒng)模型主要用于數(shù)據(jù)量少，且數(shù)據(jù)不具有較強規(guī)律

性的分析問題當(dāng)中。

考慮到整車或某個部件的“千車故障數(shù)”是由一個多因素、多層次的復(fù)雜

系統(tǒng)所引起的，而在這個系統(tǒng)中，既有已知信息，也有未知或未確知信息(它是

本征性灰色系統(tǒng))，要準(zhǔn)確定量地描述該系統(tǒng)的相關(guān)模型是極其困難的。根據(jù)灰

色系統(tǒng)理論，我們可以不去研究這復(fù)雜系統(tǒng)的內(nèi)部因素及相互關(guān)系，而從“千車

故障數(shù)”的時間序列這個綜合灰色量本身去挖掘有用信息，利用它的動態(tài)記憶特

性，建立灰色模型，并以此建立模型對未來狀態(tài)作出預(yù)測。由于灰色預(yù)測是以

GM(1,1)模型為基礎(chǔ)所進(jìn)行的預(yù)測，其預(yù)測的幾何圖形是一條較為平滑的指數(shù)

型曲線，因而對波動性較大的事故數(shù)據(jù)列的擬合較差，預(yù)測精度較低。而馬爾柯

夫概率矩陣預(yù)測的研究對象是一條隨機(jī)變化的動態(tài)系統(tǒng)，它是根據(jù)狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)

移概率來預(yù)測未來系統(tǒng)發(fā)展的，這為波動性較大數(shù)據(jù)列的預(yù)測又提供一種可行而

且計算簡便的方法。灰色馬爾柯夫模型之所以能夠正確反映事故系統(tǒng)的內(nèi)在隨機(jī)

規(guī)律，其原因在于它不僅在數(shù)據(jù)上能很好地逼近，更重要的是它與原系統(tǒng)產(chǎn)生了

動態(tài)響應(yīng)。

通過以上分析，我們建立灰色馬爾柯夫模型。先由GM(1,1)兩次擬合參數(shù)模

型對未知的數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測，然后對預(yù)測數(shù)據(jù)進(jìn)行馬爾柯夫精確化，最終得出預(yù)測

結(jié)果。

6.1灰色理論建模基礎(chǔ)

灰色系統(tǒng)在建模時，必須采用一定的方式對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行生成處理，使生成

數(shù)據(jù)序列變成有規(guī)則序列。數(shù)據(jù)生成有兩個目的：

(1)為模型提供中間信息；

(2)弱化原隨機(jī)數(shù)列的隨機(jī)性。

常用的數(shù)據(jù)生成方式有累加生成(AccumulatedGeneratingOperation,簡寫

為AGO)和累減生成(InverseAccumulatedGeneratingOperation,簡寫為IAGO)。

設(shè)原始序列X?={”⑴,”)(〃)},則r次AGO的結(jié)果為

X。=卜⑺⑴,”)(2),其中”(%)=31(/)。血0實現(xiàn)的是累減計

/=|

算，它是AGO的逆運算。在GM模型中，一般只對數(shù)列作1—AGO。

灰色理論在AGO的基礎(chǔ)上，采用灰色微分方程模型得到生成模型，記為GM

(n,h),n是微分方程的階數(shù)，h是變量個數(shù)。在GM(n,h)模型中，當(dāng)hN2時，

所建GM模型不能作預(yù)測用，只能用于分析因子之間的相互關(guān)系。作預(yù)測用的GM

模型一般為GM(n,1)模型，其中最重要的也是在實際中應(yīng)用最多的是GM(1,

1)模型。下面為GM(1,1)模型原理：

其灰色微分方程為

⑴

人+aX。)=u

dt

待定系數(shù)。和〃分別稱為發(fā)展灰數(shù)和內(nèi)生控制灰數(shù)。它們可以利用最小二

乘法求解，其計算公式為

U

—g卜⑴⑵+X⑴⑴]1

二卜⑴⑶+/)(2)]1

其中，B=2丫.=卜(°)(2),/°)(3),?一,/°)(〃)了

_；[?”(〃)+x⑴1

在x⑴(o)=”)(o)的邊界條件下，特解為

土⑴(％+1)=(x(0)(1)--}e-ak+-k=0,1,2,...

aa

上式稱為生成模型，同樣當(dāng)左>1時，也是1階累加量的預(yù)測公式。在此模型下,

原始數(shù)據(jù)的預(yù)測公式為

x<0)(%+1)=(1—e")(x<°)(1)--)e-akk=0,1,2,...

a

6.2GM(1,1)兩次擬合參數(shù)模型

上面得到了GM(1,1)模型的參數(shù)。和“

=(BrB)BrY,

uv

及生成模型

x(l>(^+l)=(x(o)(l)--)^+-

aa

為了提高模型精度，需要對參數(shù)進(jìn)行第二次擬合估計。

將生成模型寫成

X⑴(k+l)=Ae"+3

根據(jù)第一次估計的?值及原始1-AG0數(shù)列X⑴。)對A和3進(jìn)行估計。

由于

X⑴(1)=4。+8

X⑴⑵=Ae"+8

X('\n)=Ae-a(n-'}+B

寫成矩陣形式即為

xf)

其中

乂⑴=(X⑴(1),X⑴⑵，…,X⑴(〃))'

'e。「

G「?

??

-fl(M-l)1

\eV

由最小二乘法，有

LG)”X⑴

求出A和B后即可得到更精確的二次擬合參數(shù)模型：

X⑴(&+1)=Ae"+B

6.3水平方向的GM(1,1)兩次擬合參數(shù)模型

對于數(shù)據(jù)分析和處理后的的差分預(yù)測數(shù)據(jù)(附表)，其水平方向數(shù)據(jù)為每批

次對應(yīng)月的修正千車故障數(shù)。為了提高模型預(yù)測精度，需要對差分預(yù)測數(shù)據(jù)進(jìn)行

預(yù)處理(詳見7.1數(shù)據(jù)處理原則與機(jī)理)，然后用模型對預(yù)處理后的數(shù)據(jù)預(yù)測，

這里稱之為“故障數(shù)”。下面的模型建立都是針對“故障數(shù)”進(jìn)行的：

在對應(yīng)批次水平方向上構(gòu)造1—AG0模型，設(shè)得到的累加生成數(shù)列為

E⑴卜)，其中該批次的“故障數(shù)”對應(yīng)于灰色模型的原始序列小°”)。模型的公

式如下：

dt

利用最小二乘法求出。和“。該批次的“故障數(shù)”的一次擬合參數(shù)生成

模型為

￡%+1)=(即(1)，［“U

+—

a

將二次擬合參數(shù)模型寫為

E⑴(后+1)=Ae"+8

由最小二乘法求得A和8

()(GP”即

其中

￡⑴=(E⑴(11E⑴(2)…,E(l)(n))Z

(e°A

最后得到水平方向的GM(1,1)兩次擬合參數(shù)生成模型

E('\k+1)=Ae-ak+B

由該模型得到的結(jié)果作1TAG0即是對應(yīng)的“故障數(shù)”。

6.4馬爾柯夫模型

按照系統(tǒng)的發(fā)展，時間離散化為

n=0,1,2,-??,

對每個n,系統(tǒng)的狀態(tài)用隨機(jī)變量X”表示,設(shè)X“可以取k個離散值

=0,1,2,--,k)

且記?,(?)=P(X“=i),即狀態(tài)概率,從x“=i到Xll+l=j的概率記

P(X“M=〃X“=。，即轉(zhuǎn)移概率。如果X,用的取值只取決于X,,的取值及轉(zhuǎn)移概

率，而與X,i，X“_2,…的取值無關(guān)，那么這種離散狀態(tài)按照離散時間的隨機(jī)轉(zhuǎn)移

過程稱為馬氏鏈。由狀態(tài)轉(zhuǎn)移的無后效性和全概率公式可以寫出馬氏鏈的基本方

程為

k

+=i=1,2,…,人

i=\

并且q(〃)和pg應(yīng)滿足

k

Z《(〃)=l“=0,1,2,…

/=1

Pij>0i,j=1,2,--,k

k

EPij=Ti=l,2,…，k

j=i

引入狀態(tài)概率向量(行向量)和轉(zhuǎn)移概率矩陣

。(〃)=(卬(〃)，/(〃"?，4(〃))P={pJx*

則其基本方程可以表示為

a(〃+l)=a[n}P

即得到

?(/?)=a(Q)P"

值得注意的是：

狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣

尸⑵電嘰，

其中

(i,j=1,2,…,k),

式中M*)為狀態(tài)X,經(jīng)過m步轉(zhuǎn)移到狀態(tài)Xj的月數(shù)，M,為處于狀態(tài)i年數(shù)。

一般考慮p⑴，設(shè)現(xiàn)在的轎車“故障數(shù)”所處的狀態(tài)為X,，若maxP〃=Pg

k

則認(rèn)為下月的“故障數(shù)”將處于Xj狀態(tài)，但若第i行中有多個概率相近

時，則需要考慮P⑵,P⑶,…

劃分狀態(tài)轎車某部件千車故障數(shù)的月變化過程是一個隨機(jī)的非平穩(wěn)過程,不同

月狀態(tài)的邊界和內(nèi)涵是變化的，為此應(yīng)考慮一個適應(yīng)性的狀態(tài)劃分準(zhǔn)則，應(yīng)與發(fā)

生轎車故障的基本時序變化趨勢一致.以n階馬爾柯夫非平穩(wěn)隨機(jī)序列夕k)其狀

態(tài)劃分準(zhǔn)則以相對值為好：E”同色Jg.表示第i種狀態(tài)；環(huán),％即灰元，分

別表示第i種狀態(tài)的上下界.相對值的計算方法是：以實際值除以趨勢值再乘以

100%即得.

本問題可以劃為三個狀態(tài)見下表.

狀態(tài)實際值除以趨勢值的比重(酚

下降月-200~85

平穩(wěn)月85~115

上升月115~200

設(shè)預(yù)測的“故障數(shù)”所處的狀態(tài)為X,。則取其狀態(tài)中點

明等)+之詈紂

為預(yù)測的結(jié)果。

7.模型求解

7.1數(shù)據(jù)處理原則與機(jī)理

7.1.1幾個概念

令x為序列，

X=(x(l),X⑵,…,x(")I

x(A:),x[k-1)ex,

則稱AGX或△(&)),

“伏)=|闞-#-1)，

為X在攵點的差異信息。

%(%)為X的級比，

(,\x(Z-l)

巴k)=F'

若有ak)，

2(%)=|1-%(左)，

則稱為序列X的級比偏差。

7.1.2數(shù)據(jù)處理原則

灰色建模序列x的級比。(左)必須落在可行域ItG中，

ItG=(O.1353,7.389)

才能作GM(1,1)建模。而為了獲得精度高的GM(1,1)模型，級比o?(幻被限制在ItG

中靠近1的子區(qū)間ItGM中，

ItGMuItG,

ItGM=(l-￡,l+￡),

￡是指定的足夠小的實數(shù)。因此灰色建模數(shù)據(jù)處理的原則是：

經(jīng)過處理后的序列級比巴.(幻應(yīng)盡量靠近1,也就是3V(幻應(yīng)盡可能小。

7.1.3數(shù)據(jù)處理機(jī)理

在數(shù)據(jù)處理原則中已指出：數(shù)據(jù)處理原則是盡量減小級比偏差但

由于

A3

因此數(shù)據(jù)處理的機(jī)理是：

選擇合適的處理序列y,使差異信息A、.(k)與變換y(Z)之比盡可能小。

在此通過平移變換對數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，平移變換的機(jī)理是選取合適的平移

值，以保證變換后的序列具有一定的級比偏差。(此處級比偏差￡選0.035)

7.2模型求解

1預(yù)測0205批次使用18月時的千車故障數(shù)

選取6到12月的“故障數(shù)”建立GM(1,1)兩次擬合參數(shù)模型，求得

平移值0=131.5123

a=-0.0160A=8.3668xlO3B=-8.2279xlO3

數(shù)據(jù)的模擬模型為

E⑴(k+1)=8.3668xlO3e00'60*-8.2279x103-131.5123(k+1)

得出模擬值：

7.39553.14365.31087.51299.750312.023814.333916.6812

取使用5個月在第五個月出現(xiàn)千車故障數(shù)的趨勢值為6.6346o

得出相對值：

0.89711.33331.15630.90620.94120.88541.10241.0470

圖三0205批次相對值分布圖

根據(jù)狀態(tài)劃分和計算狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣可知：0205批次使用月數(shù)13到18的預(yù)

測“故障數(shù)”的趨勢值為：

y(13)=6.6346xeFM)x0.5x(0.85+1.15)=5.74

3(14)=6.6346xe-x05x(0.85+1.15)=5.65

歹(15)=6.6346xeL助x0.5x(0.85+1.15)=5.56

7(16)=6.6346xecu)x05x(085+1.15)=5.48

V(17)=6.6346x6(4°心12)x05x(085+1.15)=5.39

7(18)=6.6346x^(-°0l6xl3)x0.5x(0.85+1.15)=5.30

模擬值與趨勢值相加得0205批次使用月數(shù)13到18的預(yù)測“故障數(shù)”最終預(yù)測

結(jié)果：

y(13)=19.0662+5.74=24.80

y(14)=21.4897+5.65=27.14

y(15)=23.9521+5.56=29.51

y(16)=26.4541+5.48=31.93

><17)=28.9965+5.39=34.39

X18)=31.5797+5.30=36.88

0205批次使用月數(shù)18時的修正的千車故障數(shù)為：284.480

轉(zhuǎn)換成表中的原始的累計千車故障數(shù)為：284