1.3.1函數的單調性教學設計

（河北承德第一中學數學組郝晶）

一、教學內容分析：

函數的單調性是學生在掌握了函數的概念，函數的表示方法

等基礎知識后，學習的函數的第一個性質，主要刻畫了函數在其

定義域內某區間上圖像（上升或下降）的變化趨勢，為進一步學

習函數其它性質提供了方法依據,如在研究函數的值域、最大值、

最小值等性質中有著重要應用，而且在解決比較數的大小、解不

等式、證明不等式、數列的性質等數學問題時也有重要的應用。

同時它又是后續研究指數函數、對數函數以及三角函數性質的基

礎。所以函數的單調性在高中數學中具有核心知識地位和承上啟

下的重要作用。

二、教學目標設置：

（一）知識與技能：

1.用準確的數學語言歸納、抽象概括增函數和減函數的定義，并

能正確理解單調性的定義；

2.利用圖像和定義判斷函數的單調性，能正確書寫單調區間，并

能用單調性定義證明函數在給定區間上的單調性；

3.培養學生抽象概括能力、類比化歸能力及數形結合思想方法的

運用能力。

（二）過程與方法：

1.通過學生熟悉的現實問題創設情境，引出本節課題函數單調

性，同時借助多媒體的直觀演示，讓學生觀察圖像（上升？下

降？）變化趨勢，過渡到在區間上用自變量x和相應函數f（x）

的變化進行語言表述；

2.設置問題引導學生自主探究、嘗試、歸納、總結，師生互相討

論交流，最終形成嚴格的數學概念；

3.形成概念后，引導學生自主探究，通過生生互動，師生互動，

達到讓學生從多種形式認識概念的本質含義,從而加深學生對概

念的理解；鞏固練習問題（1）為了加深學生對單調性定義中自

變量取值“任意”性的理解，是一個很好的問題；問題（2）的

變式題體現了“逆向思維”，深化對定義的理解；問題（3）通過

教師的引導,針對于數學基礎較好、思維較為活躍的一部分學生,

對判斷方法進行適當的深入和拓展,加深學生對單調性定義的更

深層次的理解，同時也為在高三階段利用導函數研究函數的單調

性奠定了良好的知識基礎；

4.知識應用部分,首先師生合作完成用單調性定義證明一個一次

函數單調性,讓學生初步體會用符號語言刻畫單調性的代數描述

過程，然后由教師演示實驗（教材中的例題2）讓學生直觀感知

壓強和體積的關系,培養了學生數學建模思想和在物理問題中應

用數學知識解決問題的能力,最后讓學生運用本節課所學知識進

行單調性判定和證明,使學生能夠學以致用.

（三）情感態度與價值觀：

創設情境引出課題,讓學生充分認識到數學源于生活,又能應用

于生活,進而激發學生自主學習和主動探究的學習興趣；在探索

概念階段，讓學生經歷從直觀到抽象、從特殊到一般、從感性到

理性的認知過程，完成對單調性定義的三次認知的提升;在概念

應用階段，通過對定義法證明單調性過程的具體分析，以及證明

過程的嚴格板書,幫助學生掌握用定義證明函數單調性的方法和

步驟，培養學生清晰地思維、嚴謹的數學推理能力；最后先由學

生自己獨立完成再進行小組合作交流,展示自己用單調性定義證

明函數單調性的全過程,培養了學生運用所學知識解決實際問題

的能力，增強了學生學好數學的信心.

三、學生學情分析：

本班學生的數學基礎和學習能力存在差異，學生在認知過程中主

要存在兩個方面的困難：第一，把具體的、直觀形象的函數單調

性的特征抽象出來，用數學的符號語言進行描述，比如把定義域

內某區間上“隨著x的增大，相應的函數值/"）也隨著增大”（單

調遞增）這一特征用該區間上“任意的王＜/,都有/區）＜/氏）”

進行刻畫，其中最難理解的是為什么要在區間上“任意”取兩個

大小不等的平%2；第二，利用定義證明函數的單調性過程中，

對學生在代數方面嚴格推理能力的要求較高,教師應該給以適時

的點撥和糾正.

四、重難點：

重點：1.函數單調性的概念；2.判斷和證明函數的單調性.

難點：理解函數單調性的概念

五、教學策略分析：

1.多媒體演示創設情境，讓學生通過觀察氣溫變化曲線圖的變

化趨勢，完成對單調性直觀上的一種認識，為概念的引入提供了

必要性,并讓學生帶著問題（什么是函數的單調性？）進入新課;

2.問題串引導學生探究式學習法，小組合作和自主探究相結合,

問題作引導，引發積極思考；

3.實驗器材的恰當使用,提高了課堂的趣味性,豐富了學生的直

觀感受；

4.多媒體展示和學生板演相結合,提高課堂效率的同時兼顧解答

的規范性.

六、教學過程：

（一）創設情境,引入新知

第一,先觀察一個圖形（函數）

（通過多媒體給出承德今年8月8日氣溫變化曲線圖）

師：同學們和我一起來觀察承德今年8月8日的氣溫曲線圖，如

果用函數觀點來分析，設時間為t,溫度為T,這條曲線表達的是

關于這兩個變量的函數關系嗎？為什么？

（學生回答，教師結合學生回答追問：如果設時間t為自變量，

能從圖中得出自變量的變化范圍嗎？師追問：這個函數的定義域

及它的對應關系）

【設計意圖】回歸函數定義，教師總結：該曲線反映了氣溫T

隨時間t的變化規律，在區間［0,24］內每給一個時間t的值，根

據圖象都有唯一確定的溫度T與之對應，是一個函數.

師：觀察圖象，結合已學過的函數觀點，你能說出這一天的氣溫

變化規律嗎？

（學生獨立思考5秒后回答）

預案:⑴當天的最高氣溫,最低氣溫及何時達到;⑵某些時段溫度

升高,某些時段溫度降低

（師追問：最高氣溫和最低氣溫是在什么范圍研究的？結合學生

回答給以及時評價；如果在定義域內一部分一部分地研究，你又

會發現什么規律？學生補充）

師：歸納關鍵點：研究函數性質要在整個定義域內研究；在定義

域內的某個區間上，隨著時間t的增加，對應溫度升高、降低的

變化規律就是函數的單調性一一引出課題，板書課題）

師：除了氣溫在某一范圍的變化規律，你還能舉出生活中具有單

調性質的實例嗎？

預案：⑴承德橡膠壩水庫一年中水位隨時間的變化;⑵某段時間

學生身高的變化.

師歸納:拋開實際背景,從函數觀點看,它們都反映了在定義域內

的某區間上，隨著自變量的變化，函數值變大或變小的規律（即

函數的單調性）；同學們在初中就已學會用文字來描述函數的單

調性,這節課我們就來學習一種更為方便的定義形式一一用符號

語言對單調性進行代數刻畫.

【設計意圖】生活情境引入新課,可以激發學生的學習興趣,讓學

生感悟數學來源于生活,運用數學知識可以解決生活中的實際問

題，并向學生提出這節課的學習目標.

（二）探索歸納，建構定義

第二,進一步研究

觀察下列函數圖象，（師：根據我們剛剛對“函數單調性的初步

討論”）說出函數的變化規律.

①/（X）=X②/（X）=-X+1③/（X）=/（圖象見課件）

(學生回答圖象變化趨勢并描述函數的變化規律，參照學案內

容)

【設計意圖】

1.由圖象認識增函數與減函數，直觀且易于學生接受;2.為單調

函數定義中關鍵詞“區間上”作鋪墊；3.讓學生初步體會數形結

合的思想.

探究一：

問題1：根據上面的描述，對比函數=x與/(x)=V在區間

(-8,+8)上的變化規律,說出它們的不同點？(學生獨立思考5秒后

回答)

預案：函數/(x)=x在整個定義域上都是增函數，八幻=爐是在定

義域內的區間(0,+8)上是增函數

師追問:如果要定義增函數,應該選擇在定義域上還是在定義域

內的區間上呢？(學生答)

師歸納:單調性應與定義域內的區間相對應.

問題2：請歸納函數/(x)=x,/(x)=2x+l在其定義域上和函數

/(x)=v在區間(0,+8)上的共同特征,并試著用符號語言表述“函

數在定義域內某區間D上是增函數”.(學生獨立思考5秒后

回答出共同特征后,進入小組合作探究一一如何用符號語言表述

“函數/(X)在定義域內某區間D上是增函數”)

預案:增函數的共同特征:在定義域內某區間D上,函數值隨自變

量的增大而增大；(此處不同小組進行符號表述，但學生描述可

能不準確，如：在區間D上，取兩個自變量值為,々，當司氣時,

有人為)</氏)，則稱函數y=/(x)在區間D上是增函數.)

【設計意圖】由特殊到一般，歸納得到增函數定義.(此時定義還

需進一步完善)

第三步:產生認知沖突：

討論：”在函數/（x）=/的定義域（-8,+8）上，取兩個自變量值

QT，W=2,由玉＜々，計算得到相應的函數值則稱

函數/（幻=尤2在（_8,+8）上是增函數”，這種說法對嗎？為什

么？（學生獨立思考5秒后回答）

預案：⑴在定義域（-8,+8）上不是增函數（舉反例如玉=-3,

%=2）；⑵在（0,+oo）上和々取特殊值;⑶演,占取特殊值不具有代表

性，任意取,才能代表區間上的所有值.

師生合作:歸納得到增函數定義（此處增函數定義得到完善，師

完善板書）

【設計意圖】定義中和々取值的“任意性”是關鍵點，也是學生理

解的難點問題，為了幫助學生對4％2“任意性”的理解，教師應

給以適時的點撥：區間上的值有無數多個，是取不完的，因此應

該取任意值，不可由特殊值來代替.

（三）嚴格定義，理解概念

（多媒體給出定義）增函數：一般地，設函數f（x）的定義域為I

如果對于定義域I內某個區間D上的任意兩個自變量的值和%,當

玉時，都有了。）＜/（々），則稱函數/（幻在區間D上是增函數

（increasingfunction）.

師：有了增函數的定義，請你具體談談你對“/（》）=，在區間（0,+8）上

是增函數”是怎樣理解的？（幻燈片給出該問題）

預案：對定義域：研究函數性質，首先應該在定義域內研究；對區

間：針對（0,+8）這個區間，單調性與定義域內區間相對應，是局部概

念;兩個自變量的取值的任意性,代表了區間上所有值；自變量變化

與相應函數值變化的一致性.

【設計意圖】深化對定義的理解.

師：有了對函數性質的這些認識，對比增函數的定義，你能給出減函

數的定義嗎？

【設計意圖】讓學生通過類比，歸納概括出減函數定義.

（師:用多媒體給出減函數定義：一般地，設函數門處的定義域為I

如果對于定義域I內某個區間D上的任意兩個自變量的值和看,當

王時，都有了區）＞/（/），則稱函數/'（X）在區間D上是減函數

（decreasingfunction））

（師用多媒體給出：如果函數y=/（x）在區間D上是增函數或減函數，

那么就說y=在這一區間具有（嚴格的）單調性，區間D叫做y=/⑴

的單調區間.）

教師應提出：函數/（x）=x在整個定義域內都是單調的,而函數/（X）=/

在其定義域（-8,+00）內不單調，只在區間（0,+8）上單調。

問題3：回到前面引課時的氣溫曲線，說出函數的單調區間，并指明

函數在相應區間上是增函數還是減函數.

【設計意圖】讓學生正確表達單調區間以及函數在相應區間上的單

調性.

（師：檢測學生對定義的理解情況.）

鞏固練習：判斷下列說法是否正確，并結合定義說明理由.

⑴定義域為[0,+?＞）的函數/（X）,滿足了（“）＜.八〃+1）,“=0,1,2,3,…，則函數/（x）在

[0,+8）上是增函數.（）

（2）對于定義域內的區間D,若任意王當王＞士時，都有/5）＞/（/）,則函

數/（X）在D上是增函數.（）

變式：函數"X）在D上增函數，若任意X],%eD,/（%!）>/（%2）>則有玉/

（3）對于定義域內的區間D,任意和馬GD,都有（F-馬）"區）-/（9）]>0,則函

數在D上是增函數.（）

【設計意圖】深化學生對定義的理解，進一步鞏固概念.

師總結一一有了定義，我們對函數的單調性有了什么新的認識：單調

性反映了在定義域內某個區間上隨自變量的變化，函數的變化規律；

描述法比較形象的反映了函數的這一特征，但不夠精確；單調性的定

義從代數形式進行刻畫，更簡練，更精確；

我們借助圖象可以直觀感知單調性,但無法操作，而且并不是所有函

數的圖象都很簡單，如果我們目前畫不出圖象怎么辦（教師舉例

/（%）=，+%）而單調性的定義，則為我們用代數法嚴格證明單調性提

供了依據.

（四）知識應用

探究二：

例1:用定義證明：函數f（x）=2x+l在其定義域上是增函數.

（師生合作完成如下步驟:⑴用區間表示定義域；⑵取值（突出“任意性”）

兩個不等的自變量值和%,（預案：以下有學生完成:不妨設王<々；將自變

量值。小代入到解析式得到相應函數值/區），/（%）（師問：如何比較了（內），

/區）的大小呢？）希望獲得了區），/⑷）的什么關系，結論是什么.）

（師：用多媒體展示完整的證明過程和證明步驟）

【設計意圖】讓學生學會如何分析問題，并初步體會用定義法證明單調性

的過程中邏輯的嚴密性和言必有據；增強了學生運用代數法描述單調性的

信心.

教師演示（小實驗）：向上拉動活塞，在實驗儀器中用手指封住一定

量的氣體，記下此時儀器上的刻度，用力向下壓活塞并記下此時儀器

上顯示的刻度，結合手指的感覺，猜想壓強P隨體積V的變化規律.

（師:多媒體給出例題）

探究三：

例題2：物理學中的玻意耳定律p（v）=［（其中左＞0,且攵為常數），告訴

我們，對于一定量的氣體，當體積V減小時，壓強P將增大.試用函

數的單調性證明之.（先由學生獨立5秒后,思考突破本題難點）

預案:⑴定義域⑵由題意,要證明P（V）在（0,+8）上是減函數⑶學生獨

立書寫證明過程⑷學生進行組內討論⑸最后展示本組結果:學生板演

后，其他小組糾錯，講解自己的證明過程）

【設計意圖】不同小組展示，糾正用定義證明過程中出現的錯誤，

讓學生明確如何從條件和已知出發獲得想要的結論和用定義證明單

調性的步驟.

能力提升：“函數/（》）='在定義域（一8,0）50,+8）上是減函數”這個說

X

法正確嗎？并說明理由