19版數學《高中全程復習方略》（提升版）人教A版第四章第一節導數的概念及其意義、導數的運算第四章一元函數的導數及其應用第一節導數的概念及其意義、導數的運算【課程標準】1.了解導數的概念、掌握基本初等函數的導數.2.通過函數圖象,理解導數的幾何意義.3.能夠用導數公式和導數的運算法則求簡單函數的導數,能求簡單的復合函數的導數.【考情分析】考點考法:高考命題常以導數的運算和幾何意義為重點考查內容,考查形式以選擇題、填空題為主,屬于中檔題.核心素養:數學抽象、數學運算、直觀想象【必備知識·逐點夯實】【知識梳理·歸納】1.導數的概念(1)函數y=f(x)在x=x0處的導數記作f'(x0)或y'|x(2)函數y=f(x)的導函數2.導數的幾何意義函數y=f(x)在x=x0處的導數的幾何意義就是曲線y=f(x)在點P(x0,f(x0))處的切線的斜率,相應的切線方程為y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).【微點撥】求曲線的切線時,要分清在點P處的切線與過點P的切線的區別,前者點P是切點,只有一條切線,而后者點P可以不是切點包括了前者.3.基本初等函數的導數公式基本初等函數導函數f(x)=c(c為常數)f'(x)=0f(x)=xα(α∈Q,且α≠0)f'(x)=αxf(x)=sinxf'(x)=cosxf(x)=cosxf'(x)=-sinxf(x)=ax(a>0,且a≠1)f'(x)=axlnaf(x)=exf'(x)=exf(x)=logax(a>0,且a≠1)f'(x)=1f(x)=lnxf'(x)=14.導數的運算法則若f'(x),g'(x)存在,則有[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x);[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x);[f(x)g(x)]'[cf(x)]'=cf'(x).5.復合函數的定義及其導數(1)一般地,對于兩個函數y=f(u)和u=g(x),如果通過中間變量u,y可以表示成x的函數,那么稱這個函數為函數y=f(u)與u=g(x)的復合函數,記作y=f(g(x)).(2)復合函數y=f(g(x))的導數和函數y=f(u),u=g(x)的導數間的關系為y'x=y'u·u'x,即y對x的導數等于y對u的導數與u對x的導數的乘積.【微點撥】在復合函數求導中要分清每一步求導是哪個變量對哪個變量的求導,不能混淆.【基礎小題·自測】類型辨析改編易錯高考題號13421.(多維辨析)(多選題)下列結論錯誤的是()A.f'(x0)是函數y=f(x)在x=x0附近的瞬時變化率B.函數f(x)=sin(-x)的導數f'(x)=cosxC.求f'(x0)時,可先求f(x0),再求f'(x0)D.曲線y=f(x)在某點處的切線與曲線y=f(x)過某點的切線意義是相同的【解析】選BCD.Bf(x)=sin(-x)=-sinx,則f'(x)=-cosx.×C求f'(x0)時,應先求f'(x),再代入求值,錯誤.×D“在某點”的切線是指以該點為切點的切線,因此此點橫坐標處的導數值為切線的斜率;而對于“過某點”的切線,則該點不一定是切點,要利用解方程組的思想求切線的方程,在曲線上某點處的切線只有一條,但過某點的切線可以不止一條.×2.(2023·全國甲卷)曲線y=exx+1在點(1,eA.y=e4x B.y=eC.y=e4x+e4 D.y=e2【解析】選C.設曲線y=exx+1在點(1,e2)處的切線方程為y-e2因為y=ex所以y'=ex(x所以k=e4所以y-e2=e4(所以曲線y=exx+1在點(1,e2)處的切線方程為y=e3.(選擇性必修二·P81T6·變形式)已知函數f(x)滿足f(x)=f'(π4)cosx-sinx,則f'(π4)=1-【解析】f'(x)=-f'(π4)sinx-cosx令x=π4,得f'(π4)=-22f'(π解得f'(π4)=1-24.(混淆在點P處的切線和過P點的切線)已知曲線y=aex+xlnx在點(1,ae)處的切線方程為y=2x+b,則a的值為1e;b的值為-1【解析】y'=aex+lnx+1,所以ae+1=2,【巧記結論·速算】1.奇函數的導數是偶函數,偶函數的導數是奇函數,周期函數的導數還是周期函數.2.函數y=f(x)的導數f'(x)反映了函數f(x)的瞬時變化趨勢,其正負號反映了變化的方向,其大小|f'(x)|反映了變化的快慢,|f'(x)|越大,曲線在這點處的切線越“陡”.【即時練】1.已知函數f(x)滿足以下三個條件:①f(x)的導函數f'(x)為奇函數;②f(0)≠0;③在區間[-2,-1]上單調遞增,則f(x)的一個解析式為f(x)=-x2+1(答案不唯一).

【解析】由條件①知f(x)為偶函數,可設f(x)=ax2+c,因為f(0)≠0,所以c≠0,又f(x)在區間[-2,-1]上單調遞增,所以a<0,因此滿足條件的一個解析式為f(x)=-x2+1.2.(多選題)已知函數f(x)的圖象如圖所示,f'(x)是f(x)的導函數,則下列結論正確的是()A.f'(3)>f'(2) B.f'(3)<f'(2)C.f(3)-f(2)>f'(3) D.f(3)-f(2)<f'(2)【解析】選BCD.由題圖可知,f'(2)>f'(3)>0,故A錯誤,B正確.設A(2,f(2)),B(3,f(3)),則f(3)-f(2)=f(3)-f由題圖知f'(3)<kAB<f'(2),即f'(3)<f(3)-f(2)<f'(2),故C,D正確.【核心考點·分類突破】考點一導數的概念[例1](1)已知函數f(x)可導,則f(2+2ΔxA.f'(x) B.f'(2) C.f(x) D.f(2)【解析】選B.因為函數f(x)可導,所以f'(x)=f(x所以f(2+2Δx)-f(2)函數f(x)=x2在區間[1,2]上的平均變化率為3,在x=2處的導數為4.

【解析】函數f(x)=x2在區間[1,2]上的平均變化率為22-122-1=3;因為f'(x)=2x,所以(3)(多選題)環保部門要求相關企業加強污水治理,排放未達標的企業要限期整改,設企業的污水排放量W與時間t的關系為W=f(t),用-f(b)-f(a下列四個結論正確的是()A.在[t1,t2]這段時間內,甲企業的污水治理能力比乙企業強B.在t2時刻,甲企業的污水治理能力比乙企業強C.在t3時刻,甲、乙兩企業的污水排放都已達標D.甲企業在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]這三段時間中,在[0,t1]的污水治理能力最強【解析】選ABC.-f(b)-f(a)在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]這三段時間中,甲企業在[t1,t2]這段時間內,斜率最小,其相反數最大,即在[t1,t2]的污水治理能力最強,D錯誤;在t2時刻,甲切線的斜率比乙的小,所以甲切線的斜率的相反數比乙的大,甲企業的污水治理能力比乙企業強,B正確;在t3時刻,甲、乙兩企業的污水排放量都在污水達標排放量以下,所以都已達標,C正確.【解題技法】求函數y=f(x)在點x0處導數的步驟(1)求函數的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0);(2)求平均變化率ΔyΔx(3)得導數f'(x0)=,簡記作:一差、二比、三極限.【對點訓練】1.(多選題)某市開始全面實施垃圾分類,家庭廚余垃圾的分出量不斷增加.已知甲、乙兩個小區在[0,t]這段時間內的家庭廚余垃圾的分出量Q與時間t的關系如圖所示.下列四個結論正確的是()A.在[t1,t2]這段時間內,甲小區的平均分出量比乙小區的平均分出量大B.在[t2,t3]這段時間內,乙小區的平均分出量比甲小區的平均分出量大C.在t2時刻,甲小區的分出量比乙小區的分出量增長得慢D.甲小區在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]這三段時間中,在[t2,t3]的平均分出量最大【解析】選BC.對于A,在[t1,t2]這段時間內,甲的增長量小于乙的增長量,所以甲的平均分出量小于乙,說法錯誤.對于B,在[t2,t3]這段時間內,甲的增長量小于乙的增長量,所以乙的平均分出量大于甲,說法正確.對于C,在t2時刻,乙的圖象比甲的圖象陡,瞬時增長率大,說法正確.對于D,甲的圖象大致為一條直線,所以三個時間段的平均分出量相等,說法錯誤.2.如圖,函數f(x)的圖象是折線段f(x),其中A,B,C的坐標分別為(0,4),(2,0),(6,4),則f(1+Δx【解析】由題圖可得在x∈[0,2]上,函數圖象上每一點處的斜率都是4-00-2=-2.考點二導數的運算[例2](1)(多選題)下列求導正確的是()A.[(3x+5)3]'=9(3x+5)2B.(x3lnx)'=3x2lnx+x2C.(2sinxx2)D.(2x+cosx)'=2xln2-sinx【解析】選ABD.對于A,[(3x+5)3]'=3(3x+5)2(3x+5)'=9(3x+5)2,故A正確;對于B,(x3lnx)'=(x3)'lnx+x3(lnx)'=3x2lnx+x2,故B正確;對于C,(2sinxx2)'=(對于D,(2x+cosx)'=(2x)'+(cosx)'=2xln2-sinx,故D正確.(2)已知函數f(x)的導函數為f'(x),且滿足f(x)=x3+x2f'(1)+2x-1,則f'(2)=()A.1 B.-9 C.-6 D.4【解析】選C.因為f(x)=x3+x2f'(1)+2x-1,所以f'(x)=3x2+2xf'(1)+2,把x=1代入f'(x),得f'(1)=3×12+2f'(1)+2,解得f'(1)=-5,所以f'(x)=3x2-10x+2,所以f'(2)=-6.(3)求下列函數的導數:①y=(3x3-4x)(2x+1);②y=lnx③y=11-2x2;④y=cos(3x【解析】①方法一:y=(3x3-4x)(2x+1)=6x4+3x3-8x2-4x,所以y'=24x3+9x2-16x-4.方法二:y'=(3x3-4x)'·(2x+1)+(3x3-4x)(2x+1)'=(9x2-4)(2x+1)+(3x3-4x)·2=24x3+9x2-16x-4.②y'=(lnxx2+2xx2)'=(lnxx2)'+(=1-③設y=u-12,u=1-2則y'x=y'u·u'x=(u-12)'·(1-2x=-12u-=-12(1-2x2)-3=2x(1-2x2)-④y'=-sin(3x2-π6)(3x2-π6=-6xsin(3x2-π6)【解題技法】導數的運算技巧(1)連乘積形式函數式求導:先展開化為多項式的形式,再求導.(2)分式形式函數式求導:觀察函數的結構特征,先化為整式函數或較為簡單的分式函數,再求導.(3)對數形式函數式求導:先化為和、差的形式,再求導.(4)根式形式函數式求導:先化為分數指數冪的形式,再求導.(5)三角形式函數式求導:先利用三角函數公式轉化為和或差的形式,再求導.【對點訓練】1.(多選題)下列求導運算正確的是()A.若f(x)=sin(2x+3),則f'(x)=2cos(2x+3)B.若f(x)=e-2x+1,則f'(x)=e-2x+1C.若f(x)=xex,則f'(xD.若f(x)=xlnx,則f'(x)=lnx+1【解析】選ACD.f(x)=sin(2x+3),f'(x)=cos(2x+3)·(2x+3)'=2cos(2x+3),故A正確;f(x)=e-2x+1,則f'(x)=-2e-2x+1,故B錯誤;f(x)=xex,f'(x)=exf(x)=xlnx,f'(x)=(x)'lnx+x(lnx)'=lnx+1,故D正確.2.已知f(x)=x(2022+lnx),若f'(x0)=2023,則x0=()A.e2 B.1 C.ln2 D.e【解析】選B.f'(x)=2022+lnx+x·1x=2023+lnx,故由f'(x0)=2023,得2023+lnx02023,則lnx0=0,解得x0=1.3.函數f(x)的導函數為f'(x),若f(x)=x2+f'(π3)sinx,則f(π6)=π【解析】因為f'(x)=2x+f'(π3)cosx所以f'(π3)=2π3+12f'所以f'(π3)=4π所以f(x)=x2+4π3sinx所以f(π6)=π2364.求下列函數的導數:(1)y=x(x2+1x+1x3);(2)y=x2(3)y=x2x;(4)y=ln【解析】(1)因為y=x3+1x所以y'=3x2-2x(2)y'=(x2)'sinx+x2(sinx)'=2xsinx+x2cosx.(3)因為y=x2x=2所以y'=(2x32)'(4)y'=(=1x(x考點三導數的幾何意義角度1求切線方程[例3](1)金榜原創·易錯對對碰已知曲線f(x)=x3-4x2+5x-4.①曲線在點(2,f(2))處的切線方程為x-y-4=0;

②曲線過點(2,f(2))的切線方程為x-y-4=0或y+2=0.

【解析】①因為f'(x)=3x2-8x+5,所以f'(2)=1,又f(2)=-2,所以曲線f(x)在點(2,f(2))處的切線方程為y-(-2)=x-2,即x-y-4=0.②設切點坐標為(x0,x03-4x02因為f'(x0)=3x02-8x所以切線方程為y-(-2)=(3x02-8x0+5)(又切線過點(x0,x03-4x02所以x03-4x02+5x0-2=(3x02-8整理得(x0-2)2(x0-1)=0,解得x0=2或x0=1,所以經過點(2,-2)的曲線f(x)的切線方程為x-y-4=0或y+2=0.(2)(2023·臨沂模擬)函數f(x)=xln(-x),則曲線y=f(x)在x=-e處的切線方程為2x-y+e=0.

【解析】易得切點為(-e,-e),f'(x)=ln(-x)+1,則f'(-e)=2,所以切線方程為y-(-e)=2(x+e),即2x-y+e=0.(3)(2022·新高考Ⅱ卷)曲線y=ln|x|過坐標原點的兩條切線的方程分別為y=1ex,y=-1e【解析】因為y=ln|x|,當x>0時y=lnx,設切點為(x0,lnx0),由y'=1x,所以y'|x=x0=1x0,所以切線方程為y-lnx0=又切線過坐標原點,所以-lnx0=1x0(-x0),解得x0=e,所以切線方程為y-1=1e(x-e),即y=當x<0時y=ln(-x),設切點為(x1,ln(-x1)),由y'=1x,所以y'|x=x1=1x1,所以切線方程為y-ln(-x1)=又切線過坐標原點,所以-ln(-x1)=1x1(-x1),解得x1=-e,所以切線方程為y-1=1-e(x+e),即【解題技法】求曲線過點P的切線方程的方法(1)當點P(x0,y0)是切點時,切線方程為y-y0=f'(x0)(x-x0);(2)當點P(x0,y0)不是切點時,可分以下幾步完成:第一步:設出切點坐標P'(x1,f(x1));第二步:寫出過點P'(x1,f(x1))的切線方程y-f(x1)=f'(x1)(x-x1);第三步:將點P的坐標(x0,y0)代入切線方程求出x1;第四步:將x1的值代入方程y-f(x1)=f'(x1)(x-x1)可得過點P(x0,y0)的切線方程.角度2求切點坐標[例4](1)已知曲線y=x22-3lnx的一條切線的斜率為2,則切點的橫坐標為(A.3 B.2 C.1 D.1【解析】選A.設切點坐標為(x0,y0),且x0>0,由y'=x-3x,得切線斜率k=x0-3x0=2,所以x(2)(2023·貴陽模擬)設函數f(x)=x3+(a-1)x2+ax,若f(x)為奇函數,且曲線y=f(x)在點P(x0,f(x0))處的切線與直線x+y=0垂直,則切點P(x0,f(x0))的坐標為(0,0).

【解析】因為f(x)=x3+(a-1)x2+ax,所以f'(x)=3x2+2(a-1)x+a.又f(x)為奇函數,所以f(-x)=-f(x)恒成立,即-x3+(a-1)x2-ax=-x3-(a-1)x2-ax恒成立,所以a=1,f'(x)=3x2+1,令3x02+1=1,得x0=0,f(x0)=0,所以切點P(x0,f(x0【解題技法】求切點坐標的思路(1)已知切線方程(或斜率)求切點的一般思路是先求函數的導數,再讓導數等于切線的斜率,從而求出切點的橫坐標,將橫坐標代入函數解析式求出切點的縱坐標.(2)已知曲線外一點求切點的一般思路是先設出切點坐標,列出切線方程,將切點代入曲線方程,已知點代入切線方程聯立方程組求出切點坐標.角度3求參數的值(范圍)[例5](1)(2023·重慶模擬)已知a為非零實數,直線y=x+1與曲線y=aln(x+1)相切,則a=e.

【解析】設切點坐標為(t,aln(t+1)),對函數y=aln(x+1)求導得y'=ax所以at+1=1,aln(2)(2022·新高考Ⅰ卷)若曲線y=(x+a)ex有兩條過坐標原點的切線,則a的取值范圍是(-∞,-4)∪(0,+∞).

【解析】因為y=(x+a)ex,所以y'=(x+1+a)ex,設切點為(x0,y0),則y0=(x0+a)ex0,切線斜率k=(x0+1+a)ex0,切線方程為:y-(x0+a)ex0=(x0+1+a)e所以-(x0+a)ex0=(x0+1+a)ex0整理得x02+ax0-因為切線有兩條,所以Δ=a2+4a>0,解得a<-4或a>0,故a的取值范圍是(-∞,-4)∪(0,+∞).【解題技法】利用導數的幾何意義求參數的方法利用切點的坐標、切線的斜率、切線的方程等得到關于參數的方程(組)或者參數滿足的不等式(組),進而求出參數的值或取值范圍.提醒:(1)注意曲線上橫坐標的取值范圍;(2)謹記切點既在切線上又在曲線上.【對點訓練】1.(2023·大同模擬)已知函數f(x)=2e2lnx+x2,則曲線y=f(x)在點(e,f(e))處的切線方程為()A.4ex-y+e2=0 B.4ex-y-e2=0C.4ex+y+e2=0 D.4ex+y-e2=0【解析】選B.因為f(x)=2e2lnx+x2,所以f'(x)=2e2x所以f(e)=2e2lne+e2=3e2,f'(e)=4e,所以曲線y=f(x)在點(e,f(e))處的切線方程為y-3e2=4e(x-e),即4ex-y-e2=0.2.(2023·瀘州模擬)已知曲線y=acosxx在點(π,-aπ)處的切線方程為y=2π2x+A.4π B.-2 C.-4π D【解析】選D.令y=f(x)=acos則f'(x)=-a曲線在點(π,-aπ)處的切線的斜率為f'(π)=aπ2=2π3.設a∈R,函數f(x)=ex+aex是偶函數,若曲線y=f(x)的一條切線的斜率是32【解析】由f(x)為偶函數,易得a=1.所以f(x)=ex+e-x,f'(x)=ex-e-x.設切點為(x0,y0),則f'(x0)=ex0-e-x0=3【重難突破】兩曲線的公切線問題的求法解決兩曲線的公切線問題的兩種方法(1)利用其中一曲線在某點處的切線與另一曲線相切,列出關系式求解.(2)設公切線l在y=f(x)上的切點P1(x1,f(x1)),在y=g(x)上的切點P2(x2,g(x2)),則f'(x1)=g'(x2)=f(類型一求兩曲線的公切線[例1](2023·湘潭模擬)已知直線l是曲線y=ex-1與y=lnx+1的公共切線,則l的方程為y=ex-1或y=x.

【解析】直線l與曲線y=ex-1相切,設切點為(a,ea-1),y'=ex,切線的斜率為ea,切線方程為y-ea+1=ea(x-a),即y=eax-aea+ea-1.直線l與y=lnx+1相切,設切點為(b,lnb+1),y'=1x,切線的斜率為1b,切線方程為y-lnb-1=1b(x-b),即y=1bx+lnb.直線l是曲線y=ex-1與y解得a=1,所以l的方程為y=ex-1或y=x.類型二切點相同的公切線問題[例2](2023·金華模擬)已知函數f(x)=ax2與g(x)=lnx的圖象在公共點處有共同的切線,則實數a的值為12e【解析】設公共點為P(x0,y0)(x0>0),則ax02=lnx由f(x)=ax2,得f'(x)=2ax,由g(x)=lnx,得g'(x)=1x因為函數f(x)與g(x)的圖象在公共點P(x0,y0)處有共同的切線,所以f'(x0)=g'(x0),即2ax0=1x0,得a=所以12x02·x即lnx0=12,得x0=e所以a=12x02=類型三切點不同的公切線問題[例3]若直線y=kx+b是曲線y=lnx+2的切線,也是曲線y=ln(x+1)的切線,則b=1-ln2.

【解析】y=lnx+2的切線為y=1x1·x+lnx1+1(設切點橫坐標為xy=ln(x+1)的切線為y=1x2+1x+ln(x2+1)-x2所以1解得x1=12,x2=-1所以b=lnx1+1=1-ln2.【對點訓練】1.若曲線f(x)=acosx與曲線g(x)=x2+bx+1在交點(0,m)處有公切線,則a+b=()A.-1 B.0 C.1 D.2【解析】選C.依題意得,f'(x)=-asinx,g'(x)=2x+b,于是有f'(0)=g'(0),即-asin0=2×0+b,解得b=0.又m=f(0)=g(0),即m=a=1,所以a+b=1.2.(一題多法)已知曲線y=x+lnx在點(1,1)處的切線與曲線y=ax2+(a+2)x+1相切,則a=8.

【解析】方法一:因為y=x+lnx,所以y'=1+1x,y'|x=1所以曲線y=x+lnx在點(1,1)處的切線方程為y-1=2(x-1),即y=2x-1.因為y=2x-1與曲線y=ax2+(a+2)x+1相切,所以a≠0(當a=0時曲線變為y=2x+1與已知直線平行).由y消去y,得ax2+ax+2=0.由Δ=a2-8a=0,解得a=8.方法二:同方法一得切線方程為y=2x-1.設y=2x-1與曲線y=ax2+(a+2)x+1相切于點(x0,ax02+(a+2)x0因為y'=2ax+a+2,所以y'|x=x0=2ax0由2解得x3.若曲線C1:y=ax2(a>0)與曲線C2:y=ex存在公共切線,則a的取值范圍為[e24【解析】由y=ax2(a>0)得y'=2ax,由y=ex得y'=ex.設公切線與曲線C1切于點(x1,ax12),與曲線C2切于點(x2,ex2),則2ax1=ex2=ex2-ax因為a>0,所以x1>0,記f(x)=ex2+1則f'(x)=ex當x∈(0,2)時,f'(x)<0,f(x)單調遞減;當x∈(2,+∞)時,f'(x)>0,f(x)單調遞增.所以當x=2時,f(x)min=e2所以a的取值范圍為[e24第二節三角函數的同角關系、誘導公式【課程標準】1.理解同角三角函數的基本關系式sin2α+cos2α=1,sinαcosα2.掌握誘導公式,并會簡單應用.【考情分析】考點考法:高考命題常以角為載體,考查同角三角函數間的關系,誘導公式;三角函數求值是高考熱點,常以選擇題或填空題的形式出現.核心素養:數學抽象、數學運算【必備知識·逐點夯實】【知識梳理·歸納】1.同角三角函數的基本關系(1)平方關系:__sin2α+cos2α=1__.

(2)商數關系:sinαcosα=tanα(α≠π2+kπ,k2.三角函數的誘導公式(k∈Z)公式角正弦余弦正切一2kπ+αsinαcosαtanα二π+α-sinα-cosαtanα三-α-sinαcosα-tanα四π-αsinα-cosα-tanα五π2-cosαsinα六π2+cosα-sinα【微點撥】誘導公式的記憶口訣:“奇變偶不變,符號看象限.”其中的奇、偶是指π2的奇數倍和偶數倍,變與不變是指函數名稱的變化.【基礎小題·自測】類型辨析改編易錯題號12,341.(多維辨析)(多選題)下列說法錯誤的有()A.使sin(π+α)=-sinα成立的條件是α為銳角B.若α∈R,則sin(π2-α)=sinC.若α∈R,則sin2α+cos2α=1D.若α∈R,則tanα=sinα【解析】選ABD.因為α∈R,sin(π+α)=-sinα成立,所以選項A錯誤;因為α∈R,sin(π2-α)=cosα,所以選項B錯誤;由同角三角函數間的關系可知,選項C正確;因為tanα=sinαcosα在α≠π2+kπ(2.(必修第一冊P183例6變題型)已知α是第四象限角,且sinα=-12,則cosα=3【解析】已知α是第四象限角,且sinα=-12所以cosα=1-sin3.(必修第一冊P186T15變結論)已知tanα=-2,則2sinα+cosαA.-4 B.-12 C.-1 D.-【解析】選C.2sinα+cosαcosα-4.(記錯公式)下列等式恒成立的是()A.cos(-α)=-cosαB.sin(360°-α)=sinαC.tan(2π-α)=tan(π+α)D.cos(π+α)=cos(π-α)【解析】選D.因為cos(-α)=cosα;sin(360°-α)=-sinα;tan(2π-α)=-tanα,tan(π+α)=tanα;cos(π+α)=-cosα,cos(π-α)=-cosα.【巧記結論·速算】sin2α=1-cos2α=(1+cosα)(1-cosα);cos2α=1-sin2α=(1+sinα)(1-sinα);(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα.【即時練】若sinα+cosα=22,則sinαcosα等于(A.-12 B.-14 C.2【解析】選B.因為sinα+cosα=22所以(sinα+cosα)2=12即sin2α+cos2α+2sinαcosα=12即1+2sinαcosα=12所以sinαcosα=-14【核心考點·分類突破】考點一同角三角函數間的關系[例1](1)已知sinα+cosα=-713,α∈(π2,π),則sinα-cosα=(A.1213 B.-1213 C.1713 D【解析】選C.因為sinα+cosα=-713所以(sinα+cosα)2=(-713)2,即sin2α+cos2α+2sinαcosα=(-713)2,2sinαcosα=-所以sin2α+cos2α-2sinαcosα=289169即(sinα-cosα)2=289169因為α∈(π2,π),所以sinα-cosα>0,sinα-cosα=17(2)已知sinθ+cosθ=15,θ∈(π2,π),則tanθ=-【解析】因為θ∈(π2,π),且sinθ+cosθ=1平方可得sinθcosθ=-1225,且sinθ>0,cosθ結合sin2θ+cos2θ=1,可得sinθ=45,cosθ=-3所以tanθ=sinθcosθ(3)已知tanα=2,則3sinα-2cos【解析】因為tanα=2,所以3sinα-2cosαsinα+cos【解題技法】應用同角三角函數間的關系的兩點注意(1)注意方程思想的應用:對于sinα+cosα,sinαcosα,sinα-cosα這三個式子,利用(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα,可以知一求二.(2)注意公式逆用及變形應用:1=sin2α+cos2α,sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α.【對點訓練】1.若cosα=13,α∈(-π2,0),則tanα等于(A.-24 B.24 C.-22 D.【解析】選C.由已知得,sinα=-1-cos2α=-1-19=-2.已知sinαcosα=-16,π4<α<3π4,則sinα-cosα【解析】由于sinαcosα=-16,π4<α<所以sinα>0,cosα<0,故sinα-cosα>0,所以sinα-cosα=(sin1-2sinαcosα【加練備選】設sin23°=m,則tan67°=()A.-m1-m2 C.1m2-m 【解析】選D.因為sin23°=m,所以cos67°=m,所以sin67°=1-所以tan67°=1-因為sin23°=m>0,所以tan67°=1-m2考點二誘導公式及其應用[例2]已知f(x)=cos((1)化簡f(x);(2)若x是第三象限角,且cos(x-3π2)=15,求f((3)求f(-31π3)【解析】(1)f(x)=cos(π+x)cos((2)x為第三象限角,cos(x-3π2)=cos(3π2-x)=-sinx=所以sinx=-15,cosx=-1-sin2x=-265,f((3)f(-31π3)=-tan(-31π3)=tan31π3=tan(10π+π3)=tan【解題技法】1.誘導公式用法的一般思路(1)化負為正,化大為小,化到銳角為終了.(2)角中含有加減π2的整數倍時,用誘導公式去掉π22.常見的互余和互補的角(1)常見的互余的角:π3-α與π6+α;π3+α與π6-α;π4+α與(2)常見的互補的角:π3+θ與2π3-θ;π4+θ與3π43.求解與三角形內角有關的三角函數問題,要充分利用三角形內角和為π的性質進行轉化.提醒:利用誘導公式求解含