IMK：第一章隨機變量及其分布___________________

DIERZHANG2.2二項分布及其應用

2.2.1條件概率

卜課前自主預習

H知識導學

知識點6條件概率的定義

一般地，設A,B為兩個事件，且尸(A)>0,稱P(3|A)=今黑為在事件A發生

的條件下，事件3發生的條件概率.一般把讀作叫發生的條件下，B發

生的概率,變形公式(即乘法公式)：P(AB)=包P(A)-P(B|A).

知識點匚條件概率的性質

性質1：回QWP(B|A)W包1.

性質2：如果8和C是兩個互斥事件，那么P(BUCIA)=國產仍|A)+P(C|A).

H知識拓展

每一個隨機試驗，都是在一定條件下進行的，條件概率則是當試驗結果的一

部分已經知道，即在原隨機試驗的條件又加上一定的條件，已知事件A發生，在

此條件下事件發生，要求P(B|A),相當于把A看作新的基本事件，空間計算

“(A3)

事件AB發生的概率，即尸(即尸喘=墨=饋1

〃(。)

O自診小測

1.判一判(正確的打“J”，錯誤的打“X”)

(1)若事件A,B互斥,則P(B|A)=1.()

(2)事件A發生的條件下，事件8發生，相當于A,8同時發生.()

(3)P(B[A)^P(AB).()

答案(1)X(2)7(3"

2.做一做

12

(1)已知P(B|A)=g,P(A)=『則P(AB)等于.

(2)把一枚硬幣任意擲兩次，事件A=｛第一次出現正面)，事件8=(第二次出

現反面)，則P(B|A)=.

(3)甲、乙兩市都位于長江下游，根據一百多年來的氣象記錄，知道一年中下

雨天的比例甲市占20%,乙市占18%,兩地同時下雨占12%,記=(4)=0.20,P(B)

=0.18,P(AB)=0.12,則P(A|B)=,P(B|A)=.

答案⑴看⑵3⑶1!

］72

解析(1)P(AB)=P(B\A\P(A)=^X5=75-

(2)P(A)=g,P(AB)4則P(3|A)=5鑿=g.

(3)由條件概率的概念可知，

P(AB)0.122

P{A\B)=P(B)=0718=3'

P(AB)_Q12_3

P(8|A)=P(A)~7ij2~5-

l課堂互動探究、

探究1條件概率的計算

例15個乒乓球，其中3個新的，2個舊的，每次取一個，不放回地取兩次,

求：

(1)第一次取到新球的概率；

(2)第二次取到新球的概率；

(3)在第一次取到新球的條件下第二次取到新球的概率.

［解］記第一次取到新球為事件A,第二次取到新球為事件A

⑴P(A)=,.

3X2+2X33

⑵P?)=

5X45-

3X23

(3)解法一：因為尸(48)==7=/，

D入41v

3

所以P(那尸鬻毒《

5

解法二：因為"(A)=C4a=12,z?(AB)=CiCl=6,

所以尸的劃=嚅=壹4

拓展提升

計算條件概率的兩種方法

(1)在縮小后的樣本空間QA中計算事件B發生的概率，即P(B|A)=

事件A8所含基本事件的個數

事件A所含基本事件的個數；

(2)在原樣本空間。中，先計算P(AB),P(A),再按公式P(理4)=鏢1計算，

求得P{B\A).

［跟蹤訓練1］從一副撲克牌(去掉大、小王，共52張)中隨機取出1張，用A

表示“取出的牌是Q”，用8表示“取出的牌是紅桃”，求P(A|B).

解解法一：由于52張牌中有13張紅桃，則8發生(即取出的牌是紅桃)的

131

概率為產出)=五=不

而52張牌中，既是紅桃又是的牌只有一張，故P(AB)=專，.?.P(4B)=

P(AB)_1_1_1

P(B)=52^4=l3-

解法二：根據題意，即求”已知取出的牌是紅桃”的條件下，事件A：“取

出的牌是的概率.

n(AAB)1

/i(B)=13,從而尸(A|3)=.〃⑻=F

探究2有關幾何概型的條件概率

例2一個正方形被平均分成9個部分，向大正方形區域隨機地投擲一個點

(每次都能投中).設投中最左側3個小正方形區域的事件記為A,投中最上面3

個小正方形或正中間的1個小正方形區域的事件記為B,求P(AB),P(A\B).

［解］如圖，〃(Q)=9,

“(4)=3,〃(8)=4,

n(AB)=l,

n(AB)1

P(4|B)==4'

拓展提升

本例是面積型的幾何概型，利用小正方形的個數來等價轉化，將樣本空間縮

小為〃(3).

［跟蹤訓練2］如圖，四邊形ERGH是以。為圓心，半徑為1的圓的內接正

方形，將一顆豆子隨機地扔到該圓內，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH

內”，3表示事件“豆子落在扇形。"E(陰影部分)內”，則

(1)P(A)=；

⑵P(B|A)=.

答案聯(2)1

解析(1)由題意可得，事件A發生的概率

n/八S〉”,EFGH爽X也2

P(A)-z—K/2——.

TIX1I兀

(2)事件AB表示“豆子落在△E0“內”，則

G［XI?1

P(AR2

尸(附、_一^s國^。—一兀_X_12_—_2L兀.

1

,,,P(AB)五1

故P(B\A)=p(A)=2=］

71

探究3條件概率的實際應用

例3一張儲蓄卡的密碼共有6位數字，每位數字都可從0?9中任選一個.某

人在銀行自動提款機上取錢時，忘了密碼的最后一位數字.求：

(1)任意按最后一位數字，不超過2次就按對的概率；

(2)如果他記得密碼的最后一位是偶數，不超過2次就按對的概率.

［解］設第i次按對密碼為事件A/(z=l,2),則A=4U(AIA2)表示不超過2

次按對密碼.

(1)因為事件4與事件A叢2互斥，由概率的加法公式得P(A)=P(4)+P(AIA2)

zzz-1-4,--9-X--1-=-1

1010X95-

⑵用8表示最后一位按偶數的事件，則P(A|8)=P(4|B)+P((AIA2)|B)=5+

4X12

5X4=5。

拓展提升

若事件8,C互斥,則「(BUC|A)=P(陰A)+P(C|A),即為了求得比較復雜事

件的概率，往往可以先把它分解成兩個(或若干個)互斥的較簡單事件，求出這些

簡單事件的概率，再利用加法公式即得所求的復雜事件的概率.

[跟蹤訓練3]在某次考試中，要從20道題中隨機地抽出6道題，若考生至

少能答對其中4道題即可通過，至少能答對其中5道題就獲得優秀.已知某考生

能答對其中10道題，并且知道他在這次考試中已經通過，求他獲得優秀成績的概

率.

解記事件A為“該考生6道題全答對”，事件B為“該考生答對了其中5

道題，另1道題答錯”，事件C為“該考生答對了其中4道題，另2道題答錯”，

事件。為“該考生在這次考試中通過”，事件E為“該考生在這次考試中獲得優

秀”，貝ijA,B,。兩兩互斥，且。=AUBUC,E=AUB,可知

P(D)=P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)

_C?ododoCfoCTQ_12180

一巡)+CM+C%)-C%,

P(AD)=P(A),P(BD)=P(B),

P(E\D)=P(A[D)+P(B\D)

2102520

_P(A)p(8)_雷

-P(0+P(D)~12180+72180~58,

C%C%

故所求的概率為翌13.

JO

f-------------------------------1%1--------------------------------1

1.條件概率：p(陰4)=^^=喘.

2.概率P(B|A)與P(AB)的區別與聯系：P(A8)表示在樣本空間Q中，計算AB

發生的概率，而P3⑷表示在縮小的樣本空間0A中，計算8發生的概率.用古

AB中樣本點數中樣本點數

典概型公式,則P(B\A)=一。中樣本點數.

以中樣本點數P(A6)

3.利用公式P(BUaA)=P(3]A)+P(qA)求解有些條件概率問題較為簡捷，但

應注意這個性質是在“B與C互斥”這一前提下才具備的，因此不要忽視這一條

件而亂用這個公式.

卜隨堂達標自測

I3

1.已知P(8|A)=5，尸(AB)=d，則P(A)等于()

Zo

313c31

A-16B16C-4D4

答案C

3

解析由P(AB)=尸(A)P(8|A)可得P(A)=木

2.某地區氣象臺統計，該地區下雨的概率為吉,刮風的概率為吉，既刮風又

下雨的概率為七，則在下雨天里，刮風的概率為()

A*R13

A-225B-2C-8U4

答案C

解析設A為下雨，8為刮風，

421

由題意知P(A)=B，P(B)=記，P(AB)=^,

I

/W)103

P(用A)==

P(A)T=8,

15

故選C.

3.拋擲紅、黃兩枚質地均勻的骰子，當紅色骰子的點數為4或6時，兩枚骰

子的點數之積大于20的概率是()

1

A.4B3C2D5

答案B

解析拋擲紅、黃兩枚骰子共有6X6=36個基本事件，其中紅色骰子的點數

為4或6的有12個基本事件，此時兩枚骰子點數之積大于20包含

4X6,6X4,6X5,6X6,共4個基本事件，所求概率為;.

4.在區間(0,1)內隨機投擲一個點M(其坐標為x),若A=x0<r<|sB=

13

--

X44,則尸(B(A)等于.

答案2

1

2111

解析P(A)=T=2.'.'AC\B=%4<x<2

11

4-4-1

---

???/W尸而12

2-

5.1號箱中有2個白球和4個紅球，2號箱中有5個白球和3個紅球，現隨

機地從1號箱中取出一球放入2號箱，然后從2號箱中隨機取出一球，則從2號

箱中取出紅球的概率是多少？

解記事件A=“最后從2號箱中取出的是紅球”，事件8="從1號箱中

取出的是紅球”，

42—13+14-3

則P(3)=干=§,P(B)=1-P(B)=3,P(A|3)=干=g,P(A|B)=干=

1

y

———421111

從而尸(A)=P(AB)+P(AB)=P(A|B)P(B)+P(A|B)P(

B)=^yXT3+TJXTJ=—Z/

卜課后課時精練

A級：基礎鞏固練

一、選擇題

1.已知某產品的次品率為4%,其合格品中75%為一級品，則任選一件為一

級品的概率為()

A.75%B.96%C.72%D.78.125%

答案C

解析記“任選一件產品是合格品”為事件A,則P(A)=l-P(A)=l-4%

=96%.記“任選一件產品是一級品”為事件B.由于一級品必是合格品，所以事件

A包含事件B,故P(AB)=P(B).由合格品中75%為一級品知P(B|A)=75%；故

P(B)=P(AB)=P(A>P(B\A)=96%X75%=72%.

2.下列式子成立的是()

A.P(A\B)=P(B\A)

B.O<P(B|A)<1

C.P(AB)=P(AYP(B\A)

D.P(AQB\A)=P(B)

答案C

解析由「(卸4)=與哥得P(AB)=尸(B|A>P(A).

3.某種動物活到20歲的概率是0.8,活到25歲的概率是0.4,則現齡20歲

的這種動物活到25歲的概率是()

A.0.32B.0.5C.0.4D.0.8

答案B

解析記事件A表示“該動物活到20歲”，事件B表示“該動物活到25

歲”，由于該動物只有活到20歲才有活到25歲的可能，故事件A包括事件

從而有P(AB)=P(8)=0.4,所以現齡20歲的這種動物活到25歲的概率為P(B|A)

_/W)_0.4

-P(A)-0.82

4.從1,2,3,4,5中任取2個不同的數，事件A="取到的2個數之和為偶數”，

事件8="取到的2個數均為偶數”，則P(B|A)=()

1121

-

-BC-D-

A.8452

答案B

解析P(A)=里盧=1,P(A3)=1J=需，

?丹/外_迪1__L

..尸㈤A)一尸⑷一中

5.甲、乙、丙三人到三個景點旅游，每人只去一個景點，設事件A為“三

個人去的景點不相同”，B為“甲獨自去一個景點”，則概率P(A|B)等于()

4211

-

-B-C-D

A.9923

答案C

解析由題意可知，n(B)=C122=12,n(i4B)=A^=6.

〃(AB)6i

P(A|B)=

〃(B)n2-

二'填空題

6.高三畢業時，甲、乙、丙等五位同學站成一排合影留念，已知甲、乙二人

相鄰，則甲、丙相鄰的概率是.

1

答案4-

解析設“甲、乙二人相鄰”為事件A,“甲、丙二人相鄰”為事件B,則

所求概率為尸(鳳4).由于「(即尸器1,而P(A)=^=|,。(岫=誓==，

1

…Io1

所以P(B|A)=y=4.

5

7.當擲五枚硬幣時，已知至少出現兩個正面，則正好出現3個正面的概率為

答案卷

解析設A=｛至少出現兩個正面｝,8=｛正好出現3個正面｝,貝(尸(酣4)=

〃(AB)_Cg_10_5

n(A)-25-6_26-l3,

8.將三顆骰子各擲一次，記事件A表示“三個點數都不相同”，事件8表

示“至少出現一個3點”，則概率P(A|B)等于.

答案f

解析三顆骰子各擲一次，點數共有6X6X6=216種，事件3表示“三次都

沒有出現3點”，共有5X5X5=125種，事件AB表示出現一個3點，且三個點

數都不相同共CgA§=60種，則2(8)=1一2(8)=1一芥|=累，%4?)=黑=得,

Z10ZiOZ1010

所以即b)=需=*

三'解答題

9.集合A=｛123,4,5,6｝,甲、乙兩人各從A中任取一個數，若甲先取(不放

回)，乙后取，在甲