《數學》復習人教A（新高考）-第1節隨機抽樣-教師復習驗收卷《數學》復習人教A（新高考）-第1節隨機抽樣-教師復習驗收卷/《數學》復習人教A（新高考）-第1節隨機抽樣-教師復習驗收卷第1節隨機抽樣知識梳理1．簡單隨機抽樣(1)定義：設一個總體含有N個個體,從中逐個不放回地抽取n個個體作為樣本(n≤N),如果每次抽取時總體內的各個個體被抽到的機會都相等,就把這種抽樣方法叫做簡單隨機抽樣．(2)最常用的簡單隨機抽樣的方法：抽簽法和隨機數法．2．分層抽樣(1)定義：在抽樣時,將總體分成互不交叉的層,然后按照一定的比例,從各層獨立地抽取一定數量的個體,將各層取出的個體合在一起作為樣本,這種抽樣方法叫做分層抽樣．(2)應用范圍：當總體是由差異明顯的幾個部分組成時,往往選用分層抽樣．1．不論哪種抽樣方法,總體中的每一個個體入樣的概率都是相同的．2．分層抽樣是按比例抽樣,每一層入樣的個體數為該層的個體數乘抽樣比．診斷自測1．判斷下列結論正誤(在括號內打"√”或"×”)(1)簡單隨機抽樣每個個體被抽到的機會不一樣,與先后有關．()(2)抽簽法中,先抽的人抽中的可能性大．()(3)簡單隨機抽樣是一種不放回抽樣．()(4)分層抽樣中,每個個體被抽到的可能性與層數及分層有關．()答案(1)×(2)×(3)√(4)×2．在"世界讀書日”前夕,為了了解某地5000名居民某天的閱讀時間,從中抽取了200名居民的閱讀時間進行統計分析．在這個問題中,5000名居民的閱讀時間的全體是()A．總體B．個體C．樣本的容量D．從總體中抽取的一個樣本答案A解析由題目條件知,5000名居民的閱讀時間的全體是總體;其中每1名居民的閱讀時間是個體;從5000名居民某天的閱讀時間中抽取的200名居民的閱讀時間是從總體中抽取的一個樣本,樣本容量是200.3．一個公司共有N名員工,下設一些部門,要采用等比例分層抽樣的方法從全體員工中抽取樣本容量為n的樣本,已知某部門有m名員工,那么從該部門抽取的員工人數是________．答案eq\f(nm,N)解析每個個體被抽到的概率是eq\f(n,N),設這個部門抽取了x個員工,則eq\f(x,m)＝eq\f(n,N),∴x＝eq\f(nm,N).4．(2020·上饒一模)總體由編號為00,01,02,…,48,49的50個個體組成,利用下面的隨機數表選取6個個體,選取方法是從隨機數表第6行的第9列和第10列數字開始從左到右依次選取兩個數字,則選出的第3個個體的編號為()附：第6行至第9行的隨機數表如下：26357900337091601620388277574950321149197306491676778733997467322748619871644148708628888519162074770111163024042979799196835125A．3B．16C．38D．20答案D解析按隨機數表法,從隨機數表第6行的第9列和第10列數字開始從左到右依次選取兩個數字,超出00～49及重復的不選,則編號依次為33,16,20,38,49,32,…,則選出的第3個個體的編號為20,故選D.5．(2020·百校大聯考)在新冠肺炎疫情期間,大多數學生都進行網上上課．我校高一、高二、高三共有學生1800名,為了了解同學們對"釘釘”授課軟件的意見,計劃采用分層抽樣的方法從這1800名學生中抽取一個容量為72的樣本．若從高一、高二、高三抽取的人數恰好是從小到大排列的連續偶數,則我校高三年級的人數為()A．800B．750C答案D解析設從高三年級抽取的學生人數為2x人,則從高二、高一年級抽取的人數分別為2x－2,2x－4.由題意可得2x＋(2x－2)＋(2x－4)＝72,∴x＝13.設我校高三年級的學生人數為N,且高三抽取26人,由分層抽樣,得eq\f(N,1800)＝eq\f(26,72),∴N＝650(人)．6．(2018·全國Ⅲ卷改編)某公司有大量客戶,且不同年齡段客戶對其服務的評價有較大差異．為了解客戶的評價,該公司準備進行抽樣調查,可供選擇的抽樣方法有簡單隨機抽樣和分層抽樣,則最合適的抽樣方法是________．答案分層抽樣解析因為不同年齡段的客戶對公司的服務評價有較大差異,所以需按年齡進行分層抽樣,才能了解到不同年齡段的客戶對公司服務的客觀評價．考點一簡單隨機抽樣及其應用1．下面的抽樣方法是簡單隨機抽樣的是()A．在某年明信片銷售活動中,規定每100萬張為一個開獎組,通過隨機抽取的方式確定號碼的后四位為2709的為三等獎B．某車間包裝一種產品,在自動包裝的傳送帶上,每隔30分鐘抽一包產品,稱其重量是否合格C．某學校分別從行政人員、教師、后勤人員中抽取2人、14人、4人了解對學校機構改革的意見D．用抽簽方法從10件產品中選取3件進行質量檢驗答案D解析A,B不是簡單隨機抽樣,因為抽取的個體間的間隔是固定的;C不是簡單隨機抽樣,因為總體中的個體有明顯的層次;D是簡單隨機抽樣．故選D.2．用簡單隨機抽樣的方法從含有10個個體的總體中,抽取一個容量為3的樣本,其中某一個體a"第一次被抽到”的可能性與"第二次被抽到”的可能性分別是()A.eq\f(1,10),eq\f(1,10)B.eq\f(3,10),eq\f(1,5)C.eq\f(1,5),.eq\f(3,10)D.eq\f(3,10),eq\f(3,10)答案A解析在抽樣過程中,個體a每一次被抽中的概率是相等的,因為總體容量為10,故個體a"第一次被抽到”的可能性與"第二次被抽到”的可能性均為eq\f(1,10),故選A.3．(多選題)(2021·聊城模擬)要考察某種品牌的850顆種子的發芽率,利用隨機數表法抽取50顆種子進行實驗．先將850顆種子按001,002,…,850進行編號,如果從隨機數表第2行第2列的數開始并向右讀,下列選項中屬于最先檢驗的4顆種子中一個的是________(下面抽取了隨機數表第1行至第3行)．()034743738636964736614698637162332616804560111410959774946774428114572042533237322707360751245179897316766227665650267107329079785313553858598897541410A．774B．946C答案ACD解析依據題意可知：向右讀數依次為：774,946,774,428,114,572,042,533,…所以最先檢驗的4顆種子符合條件的為：774,428,114,572,結合選項知選ACD.感悟升華1.簡單隨機抽樣需滿足：(1)被抽取的樣本總體的個體數有限;(2)逐個抽取;(3)是不放回抽取;(4)是等可能抽?。?．簡單隨機抽樣常有抽簽法(適用于總體中個體數較少的情況)、隨機數法(適用于個體數較多的情況)．考點二分層抽樣及其應用角度1求某層入樣的個體數【例1】某電視臺在網上就觀眾對其某一節目的喜愛程度進行調查,參加調查的一共有20000人,其中各種態度對應的人數如下表所示：最喜愛喜愛一般不喜歡4800720064001600電視臺為了了解觀眾的具體想法和意見,打算從中抽取100人進行詳細的調查,為此要進行分層抽樣,那么在分層抽樣時,每類人中應抽取的人數分別為()A．25,25,25,25B．48,72,64,16C．20,40,30,10D．24,36,32,8答案D解析法一因為抽樣比為eq\f(100,20000)＝eq\f(1,200),所以每類人中應抽取的人數分別為4800×eq\f(1,200)＝24,7200×eq\f(1,200)＝36,6400×eq\f(1,200)＝32,1600×eq\f(1,200)＝8.法二最喜愛、喜愛、一般、不喜歡的比例為4800∶7200∶6400∶1600＝6∶9∶8∶2,所以每類人中應抽取的人數分別為eq\f(6,6＋9＋8＋2)×100＝24,eq\f(9,6＋9＋8＋2)×100＝36,eq\f(8,6＋9＋8＋2)×100＝32,eq\f(2,6＋9＋8＋2)×100＝8.角度2求總體或樣本容量【例2】(1)(2020·東北三省四校聯考)某中學有高中生960人,初中生480人,為了了解學生的身體狀況,采用分層抽樣的方法,從該校學生中抽取容量為n的樣本,其中高中生有24人,那么n等于()A．12B．18C．24D．36(2)(2021·重慶調研)甲、乙兩套設備生產的同類型產品共4800件,采用分層抽樣的方法從中抽取一個容量為80的樣本進行質量檢測．若樣本中有50件產品由甲設備生產,則乙設備生產的產品總數為________件．答案(1)D(2)1800解析(1)根據分層抽樣方法知eq\f(n,960＋480)＝eq\f(24,960),解得n＝36.(2)由題設,抽樣比為eq\f(80,4800)＝eq\f(1,60).設甲設備生產的產品為x件,則eq\f(x,60)＝50,∴x＝3000.故乙設備生產的產品總數為4800－3000＝1800.感悟升華1.求某層應抽個體數量：按該層所占總體的比例計算．2．已知某層個體數量,求總體容量或反之求解：根據分層抽樣就是按比例抽樣,列比例式進行計算．3．分層抽樣的計算應根據抽樣比構造方程求解,其中"抽樣比＝eq\f(樣本容量,總體容量)＝eq\f(各層樣本數量,各層個體數量)”．【訓練】(1)(2020·郴州二模)已知我市某居民小區戶主人數和戶主對戶型結構的滿意率分別如圖1和圖2所示,為了解該小區戶主對戶型結構的滿意程度,用分層抽樣的方法抽取30%的戶主進行調查,則樣本容量和抽取的戶主對四居室滿意的人數分別為()A．240,18B．200,20C．240,20D．200,18(2)(2021·合肥模擬)某商場有四類食品,其中糧食類、植物油類、動物性食品類及果蔬類分別有40種,10種,30種,20種,現從中抽取一個容量為20的樣本進行食品安全檢測,若采用分層抽樣的方法抽取樣本,則抽取的植物油類與果蔬類食品種數之和是________．答案(1)A(2)6解析(1)樣本容量n＝(250＋150＋400)×30%＝240,抽取的戶主對四居室滿意的人數為150×30%×40%＝18.(2)抽樣比為eq\f(20,40＋10＋30＋20)＝eq\f(1,5),則抽取的植物油類種數是10×eq\f(1,5)＝2,抽取的果蔬類食品種數是20×eq\f(1,5)＝4,所以抽取的植物油類與果蔬類食品種數之和是2＋4＝6.A級基礎鞏固一、選擇題1．(多選題)(2021·武漢調研)下列抽樣方法不是簡單隨機抽樣的是()A．從平面直角坐標系中抽取5個點作為樣本B．某可樂公司從倉庫中的1000箱可樂中一次性抽取20箱進行質量檢查C．某連隊從120名戰士中,挑選出50名最優秀的戰士去參加搶險救災活動D．從10個手機中逐個不放回地隨機抽取2個進行質量檢驗(假設10個手機已編號)答案AC解析對于A,平面直角坐標系中有無數個點,這與要求總體中的個體數有限不相符,故A中的抽樣方法不是簡單隨機抽樣;對于B,一次性抽取與逐個不放回地抽取是等價的,故B中的抽樣方法是簡單隨機抽樣;對于C,挑選的50名戰士是最優秀的,不符合簡單隨機抽樣的等可能性,故C中的抽樣方法不是簡單隨機抽樣;對于D,易知D中的抽樣方法是簡單隨機抽樣．2．(多選題)(2020·泰安質檢)某公司生產三種型號的轎車,產量分別為1500輛,6000輛和2000輛．為檢驗該公司的產品質量,公司質監部門要抽取57輛進行檢驗,則下列說法正確的是()A．應采用分層隨機抽樣抽取B．應采用抽簽法抽取C．三種型號的轎車依次應抽取9輛,36輛,12輛D．這三種型號的轎車,每一輛被抽到的概率都是相等的答案ACD解析因為是三種型號的轎車,個體差異明顯,所以采用分層抽樣,選項A正確;因為總體量較大,故不宜采用抽簽法,選項B錯誤;抽樣比為eq\f(57,1500＋6000＋2000)＝eq\f(3,500),三種型號的轎車依次應抽取9輛,36輛,12輛,選項C正確．分層抽樣中,每一個個體被抽到的可能性相同．故選項D正確．故答案為ACD.3．(2020·首都師范大學附屬中學月考)從某班50名同學中選出5人參加戶外活動,利用隨機數表法抽取樣本時,先將50名同學按01,02,…,50進行編號,然后從隨機數表的第1行第5列和第6列數字開始從左往右依次選取兩個數字,則選出的第5個個體的編號為()(注：表為隨機數表的第1行與第2行)0347437386369647366146986371629774246792428114572042533237321676A.24B．36C答案A解析由題知,從隨機數表的第1行第5列和第6列數字開始,由表可知依次選取43,36,47,46,24.4．(多選題)(2021·襄陽聯考)某中學高一年級有20個班,每班50人;高二年級有30個班,每班45人．甲就讀于高一,乙就讀于高二．學校計劃從這兩個年級中共抽取235人進行視力調查,下列說法中正確的有()A．應該采用分層隨機抽樣法B．高一、高二年級應分別抽取100人和135人C．乙被抽到的可能性比甲大D．該問題中的總體是高一、高二年級的全體學生的視力答案ABD解析由于各年級的年齡段不一樣,因此應采用分層抽樣法．由于比例為eq\f(235,20×50＋30×45)＝eq\f(1,10),因此高一年級1000人中應抽取100人,高二年級1350人中應抽取135人,甲、乙被抽到的可能性都是eq\f(1,10),因此只有C不正確,故應選ABD.5.如圖是調查某學校高三年級男女學生是否喜歡數學的等高條形圖,陰影部分的高表示喜歡數學的頻率．已知該年級男、女生各500名(所有學生都參加了調查),現從所有喜歡數學的學生中按分層抽樣的方式抽取32人,則抽取的男生人數為()A．16B．32C答案C解析由題中等高條形圖可知喜歡數學的女生和男生的人數比為1∶3,,所以抽取的男生人數為24.故選C.6．某中學400名教師的年齡分布情況如圖,現要從中抽取40名教師作樣本,若用分層抽樣方法,則40歲以下年齡段應抽取()A．40人B．200人C．20人D．10人答案C解析由題圖知,40歲以下年齡段的人數為400×50%＝200,若采用分層抽樣應抽取200×eq\f(40,400)＝20(人)．7．(多選題)(2021·淄博模擬)港珠澳大橋是中國境內一座連接中國香港、廣東珠海和中國澳門的橋隧工程,因其超大的建筑規模、空前的施工難度以及頂尖的建造技術聞名世界,為內地前往香港的游客提供了便捷的交通途徑,某旅行社分年齡統計了大橋落地以后,由香港大橋實現內地前往香港的老中青旅客的比例分別為5∶2∶3,現使用分層抽樣的方法從這些旅客中隨機抽取n名,若青年旅客抽到60人,則()A．老年旅客抽到100人B．中年旅客抽到20人C．n＝200D．被抽到的老年旅客以及中年旅客人數之和超過200人答案AC解析由題意,香港大橋實現內地前往香港的老中青旅客的比例分別為5∶2∶3,若青年旅客抽到60人,現使用分層抽樣的方法從這些旅客中隨機抽取n名,所以eq\f(60,n)＝eq\f(3,5＋2＋3),解得n＝200人,則老年旅客抽到60×eq\f(5,3)＝100人,中年旅客抽到60×eq\f(2,3)＝40人,則老年旅客和中年旅客人數之和為160.8．(2020·北京東城區模擬)某機構對青年觀眾是否喜歡跨年晚會進行了調查,人數如表所示：不喜歡喜歡男性青年觀眾3010女性青年觀眾3050現要在所有參與調查的人中用分層抽樣的方法抽取n人做進一步的調研,若在"不喜歡”的男性青年觀眾中抽取了6人,則n＝()A．12B．16C．24D．32答案C解析由分層抽樣的性質得：eq\f(6,30)＝eq\f(n,30＋30＋10＋50),解得n＝24.故選C.二、填空題9．假設要考察某公司生產的500克袋裝牛奶的三聚氰胺是否超標,現從800袋牛奶中抽取60袋進行檢驗,利用隨機數表抽取樣本時,將800袋牛奶按000,001,…,799進行編號,若從隨機數表第7行第8列的數開始向右讀,則得到的第4個樣本個體的編號是________(下面摘取了隨機數表第7行至第9行)．874217533157245506887704744767217633502583921206766301637859169556671998105071751286735807443952387933211234297864560782524207443815510013429966027954答案068解析由隨機數表知,前4個樣本的個體編號分別是331,572,455,068.10．某工廠甲、乙、丙三個車間生產了同一種產品,數量分別為120件,80件,60件．為了解它們的產品質量是否存在顯著差異,用分層抽樣方法抽取了一個容量為n的樣本進行調查,其中從丙車間的產品中抽取了3件,則n＝________．答案13解析依題意得eq\f(3,60)＝eq\f(n,120＋80＋60),故n＝13.11．(2020·海南質檢)《九章算術》第三章"衰分”中有如下問題："今有甲持錢五百六十,乙持錢三百五十,丙持錢一百八十,凡三人俱出關,關稅百錢,欲以錢數多少衰出之,問各幾何?”其意為："今有甲帶了560錢,乙帶了350錢,丙帶了180錢,三人一起出關,共需要交關稅100錢,依照錢的多少按比例出錢”,則乙應出(所得結果四舍五入,保留整數)錢數為________．答案32解析因為甲持560錢,乙持350錢,丙持180錢,甲、乙、丙三人一起出關,關稅共100錢．要按照各人帶錢多少的比例進行關稅．則乙應付：eq\f(100,560＋350＋180)×350＝32eq\f(12,109)≈32錢．12．某企業三月中旬生產A,B,C三種產品共3000件,根據分層抽樣的結果,企業統計員制作了如下的統計表格．由于不小心,表格中A,C產品的有關數據已被污染看不清楚,統計員記得A產品的樣本容量比C產品的樣本容量多10件,根據以上信息,可得C產品的數量是________．產品類別ABC產品數量(件)1300樣本容量(件)130答案800解析設A,C產品數量分別為x件、y件,則由題意可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＋1300＝3000,,(x－y)×\f(130,1300)＝10,))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝900,,y＝800.))B級能力提升13．我國古代數學算經十書之一的《九章算術》有一衰分問題：今有北鄉八千一百人,西鄉七千四百八十八人,南鄉六千九百一十二人,凡三鄉,發役三百人,則北鄉遣()A．104人B．108人C．112人D．120人答案B解析由題意知,抽樣比為eq\f(300,8100＋7488＋6912)＝eq\f(1,75),所以北鄉遣eq\f(1,75)×8100＝108(人)．14．下列抽取樣本的方式屬于簡單隨機抽樣的個數為()①從無限多個個體中抽取100個個體作為樣本．②盒子里共有80個零件,從