北京市通州2024—2024高三上學期摸底考試數學試卷本試卷共4頁，共150分.考試時長120分鐘.考生務必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效.考試結束后，請將答題卡交回.第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.2.等差數列中，，，則通項為（）A. B. C. D.3.拋物線焦點坐標為（）A. B. C. D.4.已知向量，滿足，，則等于（）A. B.13 C. D.295.設為正整數，的綻開式中存在常數項，則的最小值為（）A.2 B.3 C.4 D.56.中，若，，，則等于（）A. B. C. D.7.“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件8.已知半徑為1的圓經過點，則其圓心到直線距離的最大值為（）A.1 B.2 C.3 D.49.要制作一個容積為的圓柱形封閉容器，要使所用材料最省，則圓柱的高和底面半徑應分別為（）A.， B.，C.， D.，10.設點是曲線上隨意一點，則點到原點距離的最大值、最小值分別為（）A.最大值，最小值 B.最大值，最小值1C.最大值2，最小值 D.最大值2，最小值1其次部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.復數的共軛復數______.12.已知雙曲線的一條漸近線的傾斜角為60°，則C的離心率為___________.13.已知函數，若函數存在最大值，則a的取值范圍為______.14.齊王與田忌賽馬，田忌的上等馬優于齊王的中等馬，劣于齊王的上等馬；田忌的中等馬優于齊王的下等馬，劣于齊王的中等馬；田忌的下等馬劣于齊王的下等馬.現雙方各出上、中、下等馬各一匹，分3組各進行一場競賽，勝2場及以上者獲勝.若雙方均不知對方馬的出場依次，則田忌獲勝的概率為______；若已知田忌的上等馬與齊王的中等馬分在一組，則田忌獲勝的概率為______.15.已知數列的前項和為，為數列的前項積，滿足，給出下列四個結論：①；②；③為等差數列；④.其中全部正確結論的序號是______.三、解答題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.已知函數的最小正周期為.（1）求的值；（2）把的圖象上全部點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再把得到的圖象向右平移個單位，得到函數的圖象，求函數的單調遞增區間.17.如圖，在四棱雉中，底面為矩形，平面平面，，，，分別是，的中點.（1）求證:平面；（2）再從條件①，條件②兩個中選擇一個作為已知，求平面與平面夾角的余弦值.條件①：；條件②：.注：假如選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.18.為了解兩個購物平臺買家的滿足度，某探討性學習小組采納隨機抽樣的方法，獲得A平臺問卷100份，B平臺問卷80份.問卷中，對平臺的滿足度等級為：好評、中評、差評，對應分數分別為：5分、3分、1分，數據統計如下：好評中評差評A平臺75205B平臺6488假設用頻率估計概率，且買家對平臺的滿足度評價相互獨立.（1）估計買家對A平臺的評價不是差評的概率；（2）從全部在A平臺購物的買家中隨機抽取2人，從全部在B平臺購物的買家中隨機抽取2人，估計這4人中恰有2人給出好評的概率；（3）依據上述數據，你若購物，選擇哪個平臺？說明理由.19.已知橢圓的左、右頂點分別為，且，離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）設是橢圓上不同于的一點，直線，與直線分別交于點.試推斷以為直徑的圓是否過定點，若過定點，求出定點坐標；若不過定點，請說明理由.20.已知函數.（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）求函數的單調區間；（3）當函數存在微小值時，求證：函數的微小值肯定小于0.21.約數，又稱因數.它的定義如下：若整數除以整數除得的商正好是整數而沒有余數，我們就稱為的倍數，稱為的約數.設正整數共有個正約數，即為.（1）當時，若正整數的個正約數構成等比數列，請寫出一個的值；（2）當時，若構成等比數列，求正整數；（3）記，求證：.

數學試卷參考答案一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.B2.A3.D4.C5.B6.A7.A8.C9.C10.B其次部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.##12.213.14.①.②.##0.515.①③④三、解答題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.（1）1.（2），.17.（1）證明見解析（2）18.（1）