課標分析

1.知識與能力目標：通過實例探究過程，體會用基本

不等式求最值問題。

2、過程與方法目標：通過實例探究過程，體會用基

本不等式求最值的三個限制條件：一正、二定、三等。

3、情感與態度目標：通過問題情境的創設，誘發學

生的求知欲；通過規律的推導體會特殊一一般一特殊

的認知規律，發展學生的數學探究能力；通過梯次的

變式訓練，培養學生克服困難的意志；通過積極參與

探究活動，培養學生的合作意識及數學表達能力。

學情分析

1、通過前面幾節的學習，學生對不等式有了初步的的了解，基本能

建立函數、方程及不等式之間的關系。

2、對基本不等式的前提及等號成立的限制條件是學生面臨的主

要問題。

3、具備通過觀察、操作并抽象概括等活動求一些函數的最值。

4、本節內容變換靈活，應用廣泛，條件有限制，考查了學生轉化歸

等數學思想，對學生能靈活應用數學知識解決問題的要求較高，是教

育學生學好數學用好數學的好素材。

3.4.2基本不等式的應用評測練習

一、選擇題

1.若x>4,則函數尸x+二*y(B)

A.有最大值一6

B.有最小值6

C.有最大值2

D.沒有最小值

解析：y=x—4+」"7+422\/(%—4)?」7+4=6.當且僅當x—4=，7時，即方

x-4x—4X-4

=5時取得最小值6.

2.設a、6為實數，且a+.6=3,則2"+2"的最小值為(B)

A.6B.472

C.272I).8

解析：2"+2"224?^=2卷=4點.

3.已知x,y是正數，且到，=4,則子取得最小值時，x的值是(B)

A.1B.2

C.272D.y/2

解析：十十年》2勺■\/^22如=2心,此時亍=聯，即x=y=2.

y]x7y-\]xy]y

4.小王從甲地到乙地往返的時速分別為a和從a<6),其全程的平均時速為片貝I(A)

A.a<v<>Jat>

B.v—y[ab

I-a~\-b

C.yjab<v<--

_、eerHi—,1r2s2abI-a+b2ab2ab

解析：設甲地到乙地距l圖r為ls,I則。=---=-T7，°:a〈b,/.yjab<——^――>777

s.sa+bY2a+b2b

一a十7b

2ab1~~-

不鏟7ab.

_________1a+b

5.若a>6>l,P=71ga?1gb,g](lga+lgA)，/?=lg,則(B)

A.R〈P<QB.P<Q<R

C.Q<P<RD.P<R<Q

解析：a>b>l,1ga>0,1gb>0.

由基本不等式易得尸v。，而gigm<lg中=尤權PVQ<R

二、填空題

6.已知x>0,y>0,1g2"+lg8'=lg2,貝什?+[■的最小值是_______.

xoy

解析，：由x>0,y>0,1g2*+lg8"=lg2得2""=2,即x+3y=l,/.^+~;=A

卜毛=2+2+楙22+21佟?怖=4,當且僅當x=3y時取等號.

3yx3yx3y

答案：4

7.已知x>0,y>0,3x+4尸5,2孫的最大值為,.

田田25

令木：方

8.不等式尸x(l—3x)(0<x<，的最大值是.

I113x+(1—3x)2]

解析：V0<%<-,，1—3x>0.，x(l—3x)=鼻(3工)(1—3x)<耳~="X

JoJ_乙_J

\__1_

，答案:上

三、解答題

5x~~~~4x~\~6

9.已知x2*求『(另=:一廿一的最小值.

2x一2

、5/、x—4x+5(x—2)"+1/、?1、、1,門

解析：???彳2不?,?x-2>0.???f(x)=--------=-----------;----=(入-2)+-^22.當且

2x—2,)一2x-Z

僅當即x=3時，等號成立.故當x=3時，A^),?=2.

x~21li

10.過點P(1,2)的直線/與x軸、y軸的正半軸分別交于48兩點，當的面積

最小時，求直線/的方程.

解析：設/(a,0),6(0,b),則a>0,b>0,則/的方程為^+]=1,又?，過戶點，

121

.,>"+7=1?三角形「的面積S=-ab.

abz

io.

由；+7=l=ab=6+2a22位方今ab28,當且僅當Z?=2a,即a=2,b=4時，&訪=4.

.xV

工/的方程為5+彳=1,即2x+y—4=0.

觀評記錄

本節課依據學生實際，遵循新課程理念,

通過“概念復習，導入新課一誘導嘗試，探

究新知一鞏固練習，深化新知一全課小結，

內化新知”四個活動展示教學流程。

教學設計始終以學生活動為中心，不斷

創造出障礙，引領學生進行深度嘗試探索。

鞏固練習由易到難，讓思維在問題解決中成

長，讓問題解決在思維中拓展。

本課例題典型，針對基本不等式成立的

三個限制條件，逐一設置陷阱，并逐個探求

突破。在民主和諧的課堂氛圍里，既培養了

學生自主學習、合作交流的學習習慣，也培

養了學生勇于探索、不斷創新的思維品質。

教材分析

本節課是在系統學習了不等關系和不等式性質，掌握

了不等式性質的基礎上展開的。作為重要的基本不等式之一,

為后續的學習奠定基礎。要進一步了解不等式的性質及其應

用，研究最值問題，此時基本不等式是必不可缺的。它在知

識體系中起了承上啟下的作用，同時在生活及生產實際中有

著廣泛的應用，因此它也是對學生進行情感價值教育的

好素材，所以基本不等式及其應用需要重點研究。

教學設計

基本不等式是高中數學的重要內容，它是研究

函數、幾何等內容的重要工具，本課主要分析了用基

本不等式求最值時幾個需要注意的問題。圍繞“正”、

“定”、“等”要做適當的恒等變形，不能隨心所欲亂

用基本不等式。針對學生實際，結合新課標要求，我

設計了如下教學過程：

活動一：要點復習，導入新課

1、什么是基本不等式？

2、基本不等式的常用

變形有哪些？

3、基本不等式成立的三個

限制條件是什么？

【設計意圖】：為圍繞“正數”、“定值”、“相等”需

進行適當變形做好伏筆。

活動二：誘導嘗試探究新知

1、化正型

例1、求函數＞=2x+J-1(XYO)的最大值

分析：..."YO,不符合基本不等式的使用條件,

需要把負數化為正數。

-2%>0,-—>0

2xHW-2yl

X

當且僅當-2x=T即一!時，取等號.

f(x)的最大值為-2&-1.

特別提醒:如果所求因式都是負數，通常采用添負號

變為正數的處理方法.

2.湊定型

(D構造積為定值，利用基本不等式求最值.

1

例2求函數+x(x>3)的最小值.

x-3

分析:一1'與X的積不為定值，故需變形使積為定值.

x-3

解：03,，x-3>0,」一>0.

x-3

/.y=x+—=x-3+—+3>2J(x-3)?—+3=2+3=5,

x3x—3jx—3

當且僅當X-3=」一，即X=40寸,ymin=5.

x-3

【設計意圖】學生一開始往往忽略自變量的正負，不

假思索就盲目套用基本不等式。實際上，好多情況都

暗示了變量取正值。一旦沒有特別暗示，需分類討論。

意在培養學生嚴謹的學風，縝密的數學思維模式。

⑵構造和為定值，利用基本不等式求最值

例3已知。<x〈g,求函數y=x(l-3x)的最大值.

分析：x+(l-3x)不是定值,3x+(l-3x)為定值.

解：l-3x>0.

°、101/3X+1—3X、21

..y—x(l—3x)——?3Qx(1_3x)V-(----------)——.

33212

11

當且僅當3x=l-3x，即X。時，兀=地

合理地拆分轉化，構造和為定值，或積為定值，是解

決這類問題的關鍵。

【設計意圖】求和的最小值，需要積為定值；求積的

最大值，需要和為定值。當題目當中僅僅具備“正值”

條件時，需要通過適當拆分、湊項構造和或積為定值,

考查了學生的變形能力。通過實例，讓學生能靈活掌

握這兩種變形能力。

3.整體代換型

例4已知x〉0,y>0,且2x+y=1,求的最小值.

解：1=2x+y>272x7，

JxyW—F、即—22^/^.

"20Vxy

—I—22J—22,2^2=4A/2.

xy\xy

即工+上最小值為4y/2

xy

以上解法正確嗎？師生共同分析錯誤原因后，教師板

書正確解法過程。

角窣：vx,y>Q,2x+y=l,

11_、,11、

，一+—=(2x+))?(一+1)

xyxy

=3+』+把之3+4乒=3+2日

xyy

y^2x_2-G

當且僅當x

xy即=-2-時，等號成立。

2x+y=1y=V2-1

所以原式最小值為3+2J5.

【設計意圖】對于條件最值問題，引導學生利用整體

代換思想，常常采用乘“1”的辦法。

活動三：鞏固練習，深化新知。

課堂練習

L下列問題的解法是否正確，如果錯誤，請指出錯

誤原因.

求函數y=x+/xwo）的值域

?/y=x+—>2/X--二2

解:xA

函數的值域是［2,8)

3

2.已知0c<5,求函數y=x(3-2x)

的最大值.

-I-1-------

3、XA-1,當X為何值時X+，有最小

值，最小值是多少？

40ftk>o,MM

xy

［設計意圖］通過三個類型的練習，讓學生進一步體

會基本不等式是求最值的有力工具，時刻不忘它成立

時的三個限制條件，當其中一個條件不具備時，應進

行適當的變形，靈活運用基本不等式。同時也是為了

規范解題過程，使學生進一步牢固掌握基本不等式求

最值的幾種情況。

活動四：全課小結，內化新知。

(1)自主小結：

①對自己一談本節課有哪些收獲？

②對同桌一談在學習本節課內容中應注意什

么？

③對老師一談本節課中還有哪些疑惑？

(2)教師概括小結，重點強調:通過變形、配湊“不

正變正，不定變定，不等變等。”

【設計意圖】通過這個環節，學生能真正將所學知

識內化為自己的東西，教師補充小結學生能更深刻

全面掌握本節內容。

效果分析

本節課擺脫了“滿堂灌”的傳統教法，

通過創設情境，采用引導探究的教學方法,

注重推理能力的培養，特別注意安排學生經

歷思考一解答一歸納的完整數學思維過程,

讓學生通過對基本不等式應用的學習，自主

探索與合作交流獲得新知，結果表明，學生

的積極性較高，課堂上學生不停地動手，動

腦，積極思考