全國初中數學競賽初賽試題(一)

一、選擇題(共8小題，每小題5分，共40分)

1.要使方程組的解是一對異號的數，則。的取值范圍是()

2x+3y=2

444

(A)—<a<3(B)a<—(C)a>3(D)a>3^a<—

333

2.一塊含有30。角的直角三角形(如圖)，它的斜邊AB=8cm,

里面空心ADEF的各邊與AA5C的對應邊平行，且各對應邊的

距離都是1cm,那么ADEF的周長是()

(A)5cm(B)6cm(C)(6-73)cm(D)(3+百)cm

3.將長為15cm的木棒截成長度為整數的三段，使它們構成一個三角形的三邊,

則不同的截法有()

(A)5種(B)6種(C)7種(D)8種

4.作拋物線A關于x軸對稱的拋物線B,再將拋物線B向左平移2個單位，向

上平移1個單位，得到的拋物線C的函數解析式是y=2(x+l/—1,則拋物線

A所對應的函數表達式是()

(A)j=-2(x+3)2-2(B)y=-2(x+3)2+2

(C)y=-2(x-l)2-2(D)y=-2(x+3)2+2

5.書架上有兩套同樣的教材，每套分上、下兩冊，在這四冊教材中隨機抽取兩

冊，恰好組成一套教材的概率是()A

(A)j(B)|(C)|(D)|

6.如圖，一枚棋子放在七邊形ABCDEFG的頂點處，卜/t

現順時針方向移動這枚棋子10次，移動規則是：第左次

依次移動左個頂點。如第一次移動1個頂點，棋子停在E

(第6題)

頂點B處，第二次移動2個頂點，棋子停在頂點D。依

這樣的規則，在這10次移動的過程中，棋子不可能分為兩停到的頂點是()

(A)C,E,F(B)C,E,G(C)C,E(D)E,F.

7.一元二次方程ax2+/>x+c=0（a，0）中，若a,〃都是偶數，C是奇數，則這個

方程（）

（A）有整數根（B）沒有整數根（C）沒有有理數根（D）沒有實數根

8.如圖所示的陰影部分由方格紙上3個小方格組成，我們稱這樣的圖案為L形,

那么在由4x5個小方格組成的方格紙上可以畫出不同位置的L形圖案個數是

（）

（A）16（B）32（C）48（D）64

二、填空題：（共有6個小題，每小題5分，滿分30分）

9.已知直角三角形的兩直角邊長分別為3cm,4cm,那么以兩直角邊為直徑的兩

圓公共弦的長為cm.

10.將一組數據按由小到大（或由大到小）的順序排列，處于最中間位置的數（當數

據的個數是奇數時），或最中間兩個數據的平均數（當數據的個數是偶數時）叫做這

組數據的中位數，現有一組數據共100個數，其中有15個數在中位數和平均數

之間，如果這組數據的中位數和平均數都不在這100個數中，那么這組數據中小

12.設直線？=區+左一1和直線y=（左+l）x+左（左是正整

數）及X軸圍成的三角形面積為sk,則S1+$2+$3…+$2006的值是

13.如圖，正方形ABCD和正方形CGEF的邊長分別是口

E

2和3,且點B、C、G在同一直線上，M是線段AE的

A廠

中點，連結MF,則MF的長為__________o

14.邊長為整數的等腰三角形一腰上的中線將其周長分為

1;2的兩部分，那么所有這些等腰三角形中，面積最小的BCG

（第13題）

三角形的面積是______________0

三、解答題（共4題，分值依次為12分、12分、12分和14分）

15.(12分)已知a,Z>,c都是整數，且a-28=4,aZ>+c2-1=0,求a+Z>+c的值。

16.做服裝生意的王老板經營甲、乙兩個店鋪，每個店鋪在同一段時間內都能售

出A,B兩種款式的服裝合計30件，并且每售出一件A款式和B款式服裝，

甲店鋪獲毛利潤分別為30元和40元，乙店鋪獲毛利潤分別為27元和36

元。某日王老板進貨A款式服裝35件，B款式服裝25件。怎樣分配給每

個店鋪各30件服裝，使得在保證乙店鋪毛利潤不小于950元的前提下，王

老板獲取的總毛利潤最大？最大的總毛利潤是多少？

17.如圖所示，<30沿著凸n邊形AiA2A3…AiAn的外側(圓和邊相切)作無

滑動的滾動一周回到原來的位置。

(1)當。O和凸n邊形的周長相等時，證明。O自身轉動了兩圈；

(2)當。O的周長是，凸n邊形的周長是時，請寫明此時。O自身轉動的圈

數。

18.已知二次函數y=/+2(加+》/+1。

(1)隨著m的變化，該二次函數圖象的頂點P是否都在某條拋物線上？如

果是，請求出該拋物線的表達式；如果不是，請說明理由；

(2)如果直線y=x+1經過二次函數y=x2+2(m+l)x-m+1圖象的頂點

P,求此時m的值。

全國初中數學競賽初賽試題(一)參考答案

一、選擇題

1.答案D

3d—4

解：解方程組，得,5要使方程組的解是一對異號的數,

6—2〃

3ci—4<0p3d-4>04、

只需＜6-2八。或,即〃<—或Q>3

6-2a<03

2.答案B

解：連結BE,分別過E,F作AC的平行線BC于點

M和N,則EM=1,BM=百，MN=4-6一1=3-百

二小三角形的周長是MN+2MN+V3MN=6cm

3.答案C

解：能組成三角形的只有(1,7,7)、(2,6,7)、(3,5,7)、(3,6,6)、

(4,4,7)、(4,5,6)、(5,5,5)七種

4.答案：D

解：將拋物線C再變回到拋物線A：即將拋物線y=2(x+l)2-l向下平移1個

單位，再向右平移2個單位，得到拋物線y=2(x-l)2-2,而拋物線y=2(x-l)2-2

關于x軸對稱的拋物線是y=-2(x-l)，2

5.答案：A

解：四冊教材任取兩冊共有6種不同的取法，取出的兩冊是一套教材的共有

4種不同的取法，故所求概率是34=3?

6.答案：A

解：經實驗或按下方法可求得頂點C,E和F棋子不可能停到

設頂點A,B,C,D,E,F,G分別是第0,1,2,3,4,5,6格，因棋

子移動了k次后走過的總格數是1+2+3+…+k=：左伏+1),應停在第

:左(左+1)—7p格，這是P是整數，且使0忘g左(上+1)-7“46,分別取k=l,

(第6題)

2,3,4,5,6,7時，夕伏+1）—7p=l,3,6,3,1,0,0,發現第2,4,

5格沒有停棋，若7<k10,設k=7+t（t=l,2,3）代入可得，

^k（k+l）-7p=7m+^t（t+l）,由此可知，停棋的情形與k=t時相同，故第

2,4,5格沒有停棋，即頂點C,E和F棋子不可能停到。

7.答案B

解：假設有整數根，不妨設它的根是2k或2k+l（k為整數），分別代入原方

程得方程兩邊的奇偶性不同的矛盾結果，所以排除A；若a,b,c分別取4,

8,3則排除C,D

8.答案C

解：每個2義2小方格圖形有4種不同的畫法，而位置不同

的2X2小方格圖形共有12個，故畫出不同位置的L形圖

形案個數是12X4=48

（第8題）

二、填空題

17

9.答案：y

解：不難證明其公共弦就是直角三角形斜邊上的高（設為h）,則5h=3X4,h=—

10.答案：35%或65%（答對一個給3分）

解：如果平均數小于中位數，那么小于平均數的數據有35個；如果平均數大于

中位數，那么小于平均數的數據有65個，所以這組數據中小于平均數的數據占

這100個數據的百分比是35%或65%

11.答案：Vio

解：不難驗證，a2=b2+c2,所以aABC是直角三角形，其中a是斜邊。

,.,■,bcc~+b2a~

bsinBD+csinCn=Z??—+c?—=------=—=a=<10

aaaa

1003

12.答案:

2007

解:方程組［I］富二的解為RI直線的交點是T⑴

小、

直線y=kx+k-l,y=（左+1）%+左與無軸的交點分別是

1-k-k_J_j_1

Sk,所以

k1+1-2IT+T

11

S1+S2+S3+…+S20061--

4-22334"20062007

11003

20072007

13.答案：—

2

解：連結DM并延長交EF于N,則△ADMgA

ENM,

FN=1,則FM是等腰直角4DFN的底邊上的（第13題）

高'所以FM=1

14.答案：孚

解:設這個等腰三角形的腰為x,底為y,分為的兩部分邊長分別為n和

2n,得

XxcIn4n

x+—=nx+—=2nx=——x=——

2或2解得<3或3

X.X5nn

-+y=2n;一+y=〃y=-y=—

12J33

??c2n5n

?2x——<——（此時不能構成三角形,舍去）

33

4〃

x=——

二.取＜3其中n是3的倍數

n

y=—

3

三角形的面積SA=LX^X對于叢"

23

SA=等取最小

當n20時，S△隨著n的增大而增大，故當n=3時,

三、解答題

15.解：將a=4+2b代入ab+c2T=0,得2b2+曲+(?-1=0,

.,-2±V6-2c2

.?b=----------

2

???b,C都是整數，.?.只能取F="2=\『二2卜=,

q=i匕=t心=1&=t

相對應ai=4,a2=4,a3=0,a4=0

故所求a+b+c的值有4個：5,3,-1,-3

16.解：設分配給甲店鋪A款式服裝x件(x取整數，且5WxW30),則分配給

甲店鋪B款裝(30-x)件，分配給乙店鋪A款服裝(35-x)件，分配給乙店鋪B

款式服裝[25-(30-x)]=(x-5)件，總毛利潤(設為y總)為：

Y總=30x+40(30-x)+27(35-x)+36(x-5)=-x+1965

乙店鋪的毛利潤(設為y乙)應滿足：

Y乙=27(35-x)+36(x-5)N950,得x220』

9

對于y總=-x+1965,y隨著x的增大而減小，要使y總最大，x必須取最小值，

又x220』，故取x=21,即分配給甲店鋪A、B兩種款式服裝分別為21件和9件，

9

分配給乙店鋪A,B兩種款式服裝分別為14件和16件，此時既保證了乙店鋪獲

毛利潤不小于950元，又保證了在此前提下王老板獲取的總毛利潤最大，

最大的總毛利潤為y總最大=—21+1965=1944(元)

的切線，OO滾動經過端點Ai后到。(F的位置，此時A1A2是。(T的切線，因

此OALAnAi,CTAJA1A2,當。O轉動至。(F時，則NY就是。O自身轉動

的角。

VZY+Z0=9O°,Za+ZP=90°,AZy+Za,即。0滾動經過頂點Al自

身轉動的角度恰好等于頂點A1的一個外角。對于頂點是銳角或直角的情況，類

似可證(注：只證明直角的情況)

?.?凸n邊形的外角和為360°

二00滾動經過n個頂點自身又轉動一圈

.I.00自身轉動的圈數是(9+1)圈

a

18.解：(1)該二次函數圖象的頂點P是在某條拋物線上，求該拋物線的函數

表達式如下：

利用配方，#y=(x+m+1)2-m2-3m,頂點坐標是P(-m-1,-n]2-3m)

方法一：分別取1,得到三個頂點坐標是Pi(-L,O)、Pz(0,2)、P3C2,-4),

過這三個頂點的二次函數的表達式是y=-x2+x+2

將頂點坐標P(-mT,-m2-3m)代入y=-x2+x+2的左右兩邊，左邊=-m2-3m,右邊

=-(-mT)2+(-mT)+2=-m2-3m,.,.左邊=右邊，即無論m取何值，頂點P都在拋物

線y=-x?+x+2上，即所求拋物線的函數表達式是y=-x?+x+2(注：如果沒有“左

邊=右邊”的證明，那么解法一最多只能得4分)

方法二：令將m=-x-l代入-mYm,得

-(-x-1)Y(-x-1)=-X2+X+2

即所求拋物線的函數表達式是y=-x2+x+2上

(2)如果頂點P(-m-l,-m2-3m)在直線y=x+l上，貝！J-m2-3m=-m-l+l,

即m2=-2mm=0或m=-2

/.當直線y=x+l經過二次函數y=x2+2(m+1)x-m+1圖象的頂點P時，m的值是-2

或0

全國初中數學競賽預賽(二)

一、選擇題(本題共8小題，每小題6分，滿分48分)：下面各題給出的

選項中，只有一項是正確的，請將正確選項的代號填在題后的括號內.

1.化簡(工-工)+粵^得()

x+yy-xx-y

D4

444

2x-l5-3x

---------+1>x-------------

2.滿足不等式組32的所有整數的個數為（）

xcx-1

—<3+

[53

A.1B.2C.21D.22

3.兩個相似三角形，他們的周長分別是36和12.周長較大的三角形的最大

邊為15,周長較小的三角形的最小邊為3,則周長較大的三角形的面積是（）

A.52B.54C.56D.58

4.由一元二次方程x2+px+q=0的兩個根為p、q,則p、q等于()

A.0B.1C.1或-2D.0或1

5.如圖，ZiABC中，NB=40°,AC的垂直平分線交AC于D,交BC于E,且

ZEAB：NCAE=3：1,則NC等于

A.28°B.25°

C.22.5°D.20°

E

6.全班有70%的學生參加生物小組,75%的學生參加化學小組，85%的學生

參加物理小組，90%的學生參加數學小組,則四個小組去參加的學生至少占全班

的百分比是

()

A.10%B.15%C.20%D.25%

7.有純農藥一桶，倒出20升后用水補滿；然后又倒出10升，在用水補滿,

這是桶中純農藥與水的容積之比為3:5,則桶的容積為()

A.30升B.40升0.50升D.60升

8.三角形的三條外角平分線所在直線相交

構成的三角形()

A.一定是銳角三角形

B.一定是鈍角三角形

C.一定是直角三角形

D.與原三角形相似

二、填空題（本提供4小題，每小題8分，

滿分32分）：將答案直接填在對應題中的橫線上

9.如圖，在4ABC中，AB=AC,AD±BC,CG/7AB,BGA

分別交AD.AC于E,F.若嘉

于

10.方程||x-3|+3x|=1的解是

11.AD、BE、CF是△ABC的三條中線，若

BC—3,CA—b,AB—c,

貝IjAD2+BE2+CF2=.

12.有兩個二位數，它們的差是58,它們的平方數的末兩位數相同,則這

個二位數是.

三、解答題（本題共3小題，每小題20分，滿分60分）

13.AABC中，AB=1,AC=2,D是BC中點，AE平分NBAC交BC于E,且DF〃AE.

求CF的長.A/Z匚

14.某建筑公司承包了兩項工程，分別由兩個工程隊施工，根據工程進度情況,

建筑公司可隨時調整兩隊的人數，如果從甲隊調70人到乙隊，則乙隊人數為甲

隊人數的2倍，如果從乙隊調若干人去甲隊，則甲隊人數為乙隊人數的3倍，

問甲隊至少有多少人？

15.把數字1,2,3,9分別填入右圖的9個圈內，要求三角形ABC和三角

形DEF的每條邊上三個圈內數位之和等于18.A

I給出符合要求的填法Q

II共有多少種不同填法？證明你的結論

參考答案（二）

一、選擇題DCBCACBA

GFCFAB-AFAB,b-a

------------=--------1=-------

BFAFAFAFa

GF=(BE+EF)=(BE+-BE)I"

b-a+ab

BE-BEBE

3

10.-2或-111.-(a-+b-+c2)12.79和21

三、解答題

13.解：分別過E作EH_LAB于H,EGLAC于G,因AE平分NBAC,所以有EH=EG

BE=S.=ABJ

從而有

CE--AC-5

r-L用CFCD1BC1BE+EC1H113

又由DF〃AE,得一=—=----=---------(+1)=(+1)=

CACE2CE2CE2CE224

333

所以CF=-xCA=-x2=-

442

14.解：設甲隊有x人，則乙隊有［2(x-70)-70］人,即乙隊有(2x-210)人

設從乙隊調y人去甲隊，甲隊人數為乙隊人數的3倍，則

3(2x-210-y)=x+y,

即x=126+gy

由y>0知y至少為5,即x=126+4=130.所以甲隊至少有130人.

15.解：I右圖給出了一個符合要求的填法;II共有6種不同填法

把填入A,B,C三處圈內的三個

數之和記為x；D,E,F三處圈內的三個

數之和記為y；其余三個圈所填的數位

之和為z.顯然有x+y+z=1+2+…+9=45

①

圖中六條邊，每條邊上三個圈中之數

的和為18,所以有

z+3y+2x=6X18=108②

②-①，得

X+2y=108-45=63③

把AB,BC,CA每一邊上三個圈中的數的

F

和相加，則可得

2x+y=3X18=54④

聯立③，④，解得x=15,y=24,繼而之z=6.

在1,2,3,9中三個數之和為24的僅為7,8,9,所以在D,E,F三處圈內，

只能填7,8,9三個數，共有6種不同填法.顯然，當這三個圈中指數一旦確定,

根據題目要求，其余六個圈內指數也隨之確定，從而的結論，共有6種不同的

填

全國初中數學競賽試題(三)參考答案

一、選擇題(共5小題，每小題6分，滿分30分。以下每道小題均給出了

代號為A,B,C,D的四個選項，其中有且只有一個選項是正確的。請將正確

選項的代號填入題后的括號里。不填、多填或錯填均得0分)

1.在高速公路上，從3千米處開始，每隔4千米經過一個限速標志牌；并

且從10千米處開始，每隔9千米經過一個速度監控儀.剛好在19千米處第一次

同時經過這兩種設施，那么第二次同時經過這兩種設施的千米數是()

(A)36(B)37(C)55(D)90

答：C.

解：因為4和9的最小公倍數為36,19+36=55,所以第二次同時經過這兩

種設施的千米數是在55千米處.

故選C.

2.已知用=1+逝"，n=l—V2,且(7"?2—14m+01)(3〃2—672-7)=8,貝(Ja

的值等于()

(A)-5(B)5(C)-9(D)9

答：C.

解：由已知可得加?一2機=1,n~-2n=l.又

(7"/-14機+”)(3〃2-6〃-7)=8,所以(7+a)(3-7)=8解得a=-9

故選C.

3.RtaABC的三個頂點A,B,C均在拋物線y=V上，并且斜邊AB平

行于x軸.若斜邊上的高為h,則()

(A)h<l(B)h=l(C)l<h<2(D)h>2

答：B.

解：設點A的坐標為(a,a?),點C的坐標為(c,c2)(|c|<|a|),則點B

的坐標為

(-a,a2),由勾股定理，得AC2=(c—q)2+(c2一。2尸，

BC2=(c+a)2+(c2-a2)2,AC~+BC2=AB2

所以(?2-c2)2=?2-c2.

由于/>02,所以a?—c2=l,故斜邊AB上高h=a?-c?=l

故選B.

4.一個正方形紙片，用剪刀沿一條不過任何頂點的直線將其剪成兩部分；

拿出其中一部分，再沿一條不過任何頂點的直線將其剪成兩部分；又從得到的

三部分中拿出其中之一，還是沿一條不過任何頂點的直線將其剪成兩部分……

如此下去，最后得到了34個六十二邊形和一些多邊形紙片，則至少要剪的刀數

是()

(A)2004(B)2005(C)2006(D)2007

答：B.

解：根據題意，用剪刀沿不過頂點的直線剪成兩部分時，每剪開一次，使

得各部分的內角和增加360。.于是，剪過k次后，可得(k+1)個多邊形，這些

多邊形的內角和為(k+l)X360。.

因為這(k+1)個多邊形中有34個六十二邊形，它們的內角和為34X(62-

2)X180°=34X60X180°,其余多邊形有(k+1)—34=k—33(個)，而這些多邊

形的內角和不少于(k—33)X180°.所以(k+1)X360°234X60X180°+(k

-33)X180°,解得k22005.

當我們按如下方式剪2005刀時，可以得到符合條件的結論.先從正方形上

剪下1個三角形，得到1個三角形和1個五邊形；再在五邊形上剪下1個三角形，

得到2個三角形和1個六邊形……如此下去，剪了58刀后，得到58個三角形和

1個六十二邊形.再取33個三角形，在每個三角形上剪一刀，又可得到33個三

角形和33個四邊形，對這33個四邊形，按上述正方形的剪法，再各剪58刀，

便34個六十二邊形和33X58個三角形.于是共剪了

58+33+33X58=2005(刀).

故選B.

5.如圖，正方形ABCD內接于。O,點P在劣弧AB上，連結DP,交AC

于點Q.若QP=QO,則空的值為()八/

QA%----------------

(A)273-1/\/\

(B)2百

(C)73+V2

P

(D)V3+2(第5題圖)

答：D.

解：如圖，設。O的半徑為r,QO=m,則QP=m,QC=r.

QA=r—m./卜、

在。O中，根據相交弦定理，得QA?QC=QP?Qi/\

(第5題圖)

y-yyy

即(r—m)(r+m)=m?QD,所以QD=---------.

m

連結DO,由勾股定理，#QD2=DO2+QO2,

(2_2rz

即—-----=r2+m2,解得機二—r

、mJ3

r+mV3+1

所以,QC=V3+2

QAr—mV3-1

故選D.

二、填空題（共5小題，每小題6分，滿分30分）

6.已知a,b,c為整數，且a+b=2006,c—a=2005.若a〈b,則a+b+c

的最大值為.

答：5013.

解：由。+/?=2006,c-a=2005,得a+b+c=a+4011.

因為a+6=2006,a<b,a為整數，所以，a的最大值為1002.

于是，a+b+c的最大值為5013.

7.如圖，面積為的正方形DEFG內接于

面積為1的正三角形ABC,其中a,b,c為整數，

且b不能被任何質數的平方整除，則寧的值

b

等于.

（第7題圖）

出20

答「

解:設正方形DEFG的邊長為x,正三角形ABC的邊長為m,則川

由△ADGSAABC,可得±=解得x=（2/一3）機

m

于是X2=(2A/3-3)2m2=2873-48,

由題意，＜7=28,b=3,c=48,所以—-=

b3

8.正五邊形廣場ABCDE的周長為2000米.甲、乙兩人分別從A、C兩

點同時出發，沿A-B-C-D-E-A-…方向繞廣場行走，甲的速度為50米/

分，乙的速度為46米/分.那么出發后經過分鐘，甲、乙兩人第一次行

走在同一條邊上.

答：104.

解：設甲走完x條邊時，甲、乙兩人第一次開始行走在同一條邊上，此時

400r

甲走了400x米，乙走了46X^^=368x米.于是368(x-1)+800-400(x-

1)>400,

400y13

所以，12.5^x<13.5.故x=13,此時/=------=104.

50

229

9.已知0<a<l,且滿足a+—+ci-\----+…+ci~\----=18,貝!|[10旬的

3030

值等于.(同表示不超過x的最大整數)

答：6.

122912

解：因為0vaH----vaT------<…<〃H<2,所以aH-----aH-----,

3030303030

。+竺］等于o或1.由題設知，其中有18個等于1,所以

1211121329

aH---—--aH-----aH---=-0-,ClH---—--ClH---=--???=aH-----

303030303030

所以0<。+口<1,l^a+—<2.

3030

故18W30aV19,于是6W10a〈g,所以［10a］=6.

10.小明家電話號碼原為六位數，第一次升位是在首位號碼和第二位號碼

之間加上數字8,成為一個七位數的電話號碼；第二次升位是在首位號碼前加上

數字2,成為一個八位數的電話號碼.小明發現，他家兩次升位后的電話號碼的

八位數，恰是原來電話號碼的六位數的81倍，則小明家原來的電話號碼

是.

答：282500.

解：設原來電話號碼的六位數為Me慮九則經過兩次升位后電話號碼的八

位數為

2a8bcdef.根據題意，有81Xabcdef=2a8bcdef.

記x=bxl()4+cxl()3+dxl()2+exlO+/,于是

81xaxl05+81x=208xl05+tzxl06+x,

解得x=1250X(208—71a).

因為OWxVlO)所以OW1250X(208—71a)<IO)故」

7171

因為a為整數，所以a=2.于是x=1250X(208—71X2)=82500.

所以，小明家原來的電話號碼為282500.

三、解答題(共4題，每小題15分，滿分60分)

h

11.已知x=2,a,方為互質的正整數(即a,6是正整數，且它們的最

a

大公約數為1),且aW8,—1<x<—1.

(1)試寫出一個滿足條件的x；

(2)求所有滿足條件的x.

解：(l)x=」滿足條件..........

2

5分

(2)因為x=—a,為互質的正整數，且所以

a9

V2-1<-<V3-1,即(V2-l)tz<Z?<(V3-l)tz.

a

當a=l時，(72-1)x1<^<(V3-l)xl,這樣的正整數6不存在.

當a=2時，(V2-l)x2!<^<(V3-1)X2,故6=1,此時x=』.

2

當a=3時，(V2-l)x3i<Z?<(V3-l)x3,故6=2,此時x=|.

當a=4時，(V2-l)x4\<b<(V3-1)x4,與a互質的正整數b不存在.

當a=5時，(JI-l)x5；<Z?<(V3-l)x5,故6=3,此時x=g.

當a=6時，(72-1)X€><b<(V3-1)x6,與a互質的正整數6不存在.

當a=7時，(JI一1)x7<&<(V3-l)x7,故6=3,4,5此時x=三，一，

當a=8時，(VI—l)x8<6<(g—l)x8,故6=5,此時x=9

8

所以，滿足條件的所有分數為:，j%5

8

15分

12.設a,b,。為互不相等的實數，且滿足關系式

b'+c2=2cr+16a+14①

be=a2—4a—5②

求a的取值范圍.

解法一：由①一2X②得（。一=24（。+1）>0,所以a>—1.

當a>-l時，=2。2+16。+14=2（。+1）（。+7）>0............................

10分

又當時，由①，②得c2=tz2+16o+14,③

ac=a2-4a-5

④

將④兩邊平方,結合③得“2(/+16。+14)=(/_4a—5)2

化簡得24a3+8/一40。-25=0,故(6。+5)(4〃-2。-5)=0,

解得a=—9,或.=1±Vil.

64

所以，a的取值范圍為a>—l且。。一9,。。山史..................

64

15分

2,

解法二：因為/十/二2cl2+16〃+149be—ct—4〃—5,所以

2

(Z?+c)?=2/+16〃+14+2(i—4〃—5)—4〃2+8a+4=4(〃+1)9