Page19浙江省杭州市2024-2025學年高二數學上學期期中試題時量：120分滿分：150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的.1.已知，，則它們的距離為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用兩平行線間的距離公式求解即可，留意兩直線的一般式的要一樣.【詳解】由，得，所以與的距離為.故選：A.2.用分層抽樣的方法，從某中學3000人(其中高一年級1200人，高二年級1000人，高三年級800人)中抽取若干人.已知從高一抽取了18人，則從高二和高三年級共抽取的人數為（）A.24 B.27 C.30 D.32【答案】B【解析】【分析】由題意求出樣本容量，再利用分層抽樣的定義求解即可【詳解】解：設從三個年級中共抽取人，則，解得，則從高二和高三年級共抽取的人數為，故選：B3.已知O為空間隨意一點，A、B、C、P滿意隨意三點不共線，但四點共面，且，則m的值為（）A. B. C. D.1【答案】B【解析】【分析】由題設條件推得，再由四點共面可求得.【詳解】因為，所以由得，即，因為O為空間隨意一點，A、B、C、P滿意隨意三點不共線，但四點共面，所以，故.故選：B.4.已知直線，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】C【解析】【分析】由直線的位置關系與充分必要條件的概念求解，【詳解】令得，當時，，重合，當時，，故“”是“”的充要條件，故選：C5.如圖所示，在棱長為的正方體中，，分別為棱，的中點，為棱上的一點，且，則點到平面的距離為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】以為原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，利用向量法能求出點到平面的距離．詳解】以為原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則所以，，，設平面的法向量為，則令，則，，所以平面的一個法向量．點到平面的距離為．故選：D．6.一個質地勻稱的正四面體木塊的四個面上分別標有數字1，2，3，4.連續拋擲這個正四面體木塊兩次，并記錄每次正四面體木塊朝下的面上的數字，記事務A為“第一次向下的數字為2或3”，事務B為“兩次向下的數字之和為奇數”，則下列結論正確的是（）A. B.事務A與事務B互斥C.事務A與事務B相互獨立 D.【答案】C【解析】【分析】利用互斥事務、相互獨立事務意義及古典概率公式逐項計算推斷作答.【詳解】依題意，拋擲正四面體木塊，第一次向下的數字有1，2，3，4四個基本領件，則，A不正確；事務B含有的基本領件有8個：，其中事務發生時，事務A也發生，即事務A，B可以同時發生，B不正確；拋擲正四面體木塊兩次的全部基本領件有16個，，即事務A與事務B相互獨立，C正確；，D不正確.故選：C7.在平行六面體中，，，，，則與所成角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先利用基底表示向量，再利用向量的夾角公式求解.【詳解】解：，則，，，，，，所以，故選：D8.在正中，M為BC中點，P為平面內一動點，且滿意，則的最大值為（）A. B. C. D.1【答案】A【解析】【分析】建立直角坐標系，由求得點軌跡，再將轉化為關于的函數，利用直線斜率的幾何意義求得的范圍，進而求得的最大值，從而的最大值可求.【詳解】依題意，以為坐標原點，以為軸，以為軸建立直角坐標系如圖1，不妨設正三角形的邊長為2，則,設則，，，即，即，點軌跡為：，則，所以，當時,，即；當時,令,則表示與連線的斜率，如圖2，且，設直線與圓相切，直線化為，則圓心到直線距離,解得或，，故，則當時，取得最大值為，的最大值為；綜上：的最大值為.故選：A.【點睛】關鍵點睛：本題的關鍵有兩個，一個是建立直角坐標系，求得點軌跡方程，且將轉化為關于的函數，另一個是利用直線斜率的幾何意義求得的范圍.二、選擇題：本題共小4題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知空間向量，則下列選項中正確的是（）A.當時， B.當時，C.當時， D.當時，【答案】BCD【解析】【分析】A選項，依據垂直得到數量積為0，列出方程，求出，A錯誤；B選項，依據向量平行列出方程組，求出；C選項，依據向量運算法則計算出，利用模長公式列出方程，求出；D選項，先利用向量夾角余弦公式計算出兩向量夾角的余弦，進而計算出正弦值.【詳解】當時，，解得：，故A錯誤；令，則，，故B正確；，所以，解得：，故C正確；當，，因為，，故D正確．故選：BCD10.某小組有2名男生和3名女生，從中任選2名同學去參與唱歌競賽，在下列各組事務中，是互斥事務的是（）A.恰有1名女生和恰有2名女生 B.至少有1名男生和至少有1名女生C.至少有1名女生和全是女生 D.至少有1名女生和全是男生【答案】AD【解析】【分析】逐個選項分析事務之間是否有同時發生的可能性再推斷即可.【詳解】A中兩個事務是互斥事務,恰有一名女生即選出的兩名學生中有一名男生一名女生,它與恰有2名女生不行能同時發生，A是；B中兩個事務不是互斥事務,兩個事務均可能有一名男生和一名女生，B不是；C中兩個事務不是互斥事務,至少一名女生包含全是女生的狀況，C不是；D中兩個事務是互斥事務,至少有一名女生與全是男生明顯不行能同時發生，D是.故選：AD11.已知圓和兩點，，若圓上存在點，使得，則的可能取值為（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】由圓的方程求得圓心坐標與半徑，可得圓心到的距離為5，得到圓上的點到點的距離的最大值為6，最小值為4，再由，可得，從而得到的取值范圍，結合選項得答案【詳解】解：圓的圓心，半徑為1，因為圓心到的距離為5，所以圓上的點到點的距離的最大值為6，最小值為4，因為圓上存在點，使得，所以以為直徑的圓與圓有交點，所以，所以，所以選項BC符合題意，故選：BC【點睛】關鍵點點睛：此題考查直線與圓、圓與圓位置關系的應用，解題的關鍵是求出圓上的點到點的距離的最大值為6，最小值為4，再由圓上存在點，使得，得以為直徑的圓與圓有交點，從而可求出，考查轉化思想，屬于中檔題12.已知實數x，y滿意，記，則z的值可能是（）A.0 B. C. D.1【答案】BCD【解析】【分析】通過三角換元后借助于協助角公式結合已知即可求得的范圍.詳解】因為，設故有解所以，故即所以或，易知故選：BCD【點睛】利用三角換元有效的削減了運算量進而使得問題更加清楚.對協助角公式有一個更加深化的理解，利用方程的等價轉化簡化問題.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.直線過且與圓相切，則直線的方程為_____________.【答案】或【解析】【分析】由直線與圓相切得，分類探討直線斜率存在與否兩種狀況，利用點線距離公式求得相應參數，由此求得直線的方程.【詳解】依題意，得圓的圓心為，半徑為，當直線斜率不存在時，直線方程為，此時圓心到直線的距離為，故，即直線與圓相切，滿意題意；當直線斜率存在時，設直線方程為，即，此時，解得，所以直線方程為，即；綜上：直線方程為或.故答案為：或.14.如圖，大小為的二面角的棱上有兩個點A，B，線段PM與NQ分別在這個二面角的兩個面內，并且都垂直于棱l.若，，，則_____________.【答案】【解析】【分析】利用空間向量的線性運算可得，再依據向量所成角，結合數量積公式平方即可得解.【詳解】依據題意，，由二面角大小為，可得，，所以，故答案為：15.某電池廠有A，B兩條生產線制造同一型號可充電電池.現采納樣本量比例安排的分層隨機抽樣，從某天兩條生產線上的成品中隨機抽取樣本，并測量產品可充電次數的平均數及方差，結果如下：項目抽取成品數樣本平均數樣本方差A生產線產品82104B生產線產品122004則20個產品組成的總樣本的平均數為__________，方差為__________.【答案】①.204②.28【解析】【分析】先由平均數的定義求得，再利用方差與平均數的公式分別求得，進而求得.【詳解】依題意，設A生產線產品的樣本為，平均數為，B生產線產品的樣本為，平均數為，兩生產線的樣本為，平均數為，則，又，，所以，所以.故答案為：.16.關于x的不等式恒成立，則k的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】先由題設條件求得，再將不等式轉化為上半圓上隨意一點到直線的距離小于或等于，結合圖像，可得，由此可得k的取值范圍.【詳解】由題意可得，得，則原不等式可轉化為在上恒成立，設直線，上半圓，即，半徑為，則由點線距離公式可知，表示上半圓上隨意一點到直線的距離小于或等于，且直線過定點，如圖，設圓心（原點）到直線的距離為，由于上半圓上的點到直線的最大距離為，所以，即，即，解得或，所以k的取值范圍為.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知的三個頂點分別為、、.（1）求AC的垂直平分線的一般式方程；（2）求的面積.【答案】（1）；（2）5.【解析】【分析】（1）求得的中點坐標，結合直線垂直求得垂直平分線的斜率，即可求得直線方程；（2）依據的長度以及點到直線的距離，即可求得三角形面積.【小問1詳解】依據中點坐標公式，中點的坐標，又，所以垂直平分線的斜率為，所以其方程為，即.【小問2詳解】依據（1）中所求可得直線的方程為：，整理得：，又點到直線的距離，故三角形的面積.18.如圖，在四棱錐中，底面ABCD，四邊形ABCD為正方形，，E，F分別是AD，PB的中點．（1）證明：平面PCD．（2）求直線PA與平面CEF所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由平行四邊形可得線線平行，進而由線面平行的判定定理即可求證，（2）建立空間直角坐標系，由向量法即可求解線面角.【小問1詳解】如圖，設M為PC的中點，連接FM，MD．因為F，M分別為PB，PC的中點，所以．在正方形ABCD中，，所以．所以四邊形DEFM為平行四邊形，．因為平面PCD，平面PCD，所以平面PCD．【小問2詳解】以D為原點，以DA，DC，DP所在的直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．不妨設，則，．設平面CEF的法向量為，則即令，則．設直線PA與平面CEF所成角為，則，故直線PA與平面CEF所成角的正弦值為．19.為進一步增加疫情防控期間群眾的防控意識，使廣闊群眾充分了解新冠肺炎疫情防護學問，提高預防實力，做到科學防護，科學預防.某組織通過網絡進行新冠肺炎疫情防控科普學問問答.共有100人參與了這次問答，將他們的成果（滿分100分）分成，，，，，這六組，制成如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求圖中a的值，并估計這100人問答成果的中位數和平均數；（同一組數據用該組數據的中點值代替）（2）用分層隨機抽樣的方法從問答成果在內的人中抽取一個容量為5的樣本，再從樣本中隨意抽取2人，求這2人的問答成果均在內的概率.【答案】（1），中位數為，平均數為72（2）【解析】【分析】（1）依據頻率分布直方圖的性質以及中位數和平均數的概念，進行計算即可得解；（2）依據分層抽樣在[60，70）內的有人，分別記為A，B；問答成果在[70，80）內的有人分別記為a，b，C，從中隨意抽取2人，列出試驗的樣本空間，再利用概率公式，進行計算即可得解.【小問1詳解】由圖可知，，解得.設中位數為x，則，所以.這100人問答成果的平均數約為.【小問2詳解】用分層隨機抽樣的方法從問答成果在[60，80）內的人中抽取一個容量為5的樣本，則問答成果在[60，70）內的有人，分別記為A，B；問答成果在[70，80）內的有人分別記為a，b，C.從中隨意抽取2人，則試驗的樣本空間{（A，B），（A，a），（A，b），（A，c），（B，a），（B，b），（B，c），（a，b），（a，c），（b，c）}，共有10個樣本點.設事務A為2人的問答成果均在[70，80）內的概率，則，所以這2人的間答成果均在[70，80）內的概率.20.如圖，在三棱柱中，平面，，，且為線段的中點，連接，，.（1）證明：；（2）求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）通過證明面，即可由線面垂直證明線線垂直；（2）以為坐標原點建立空間直角坐標系，寫出對應點和向量的坐標，求得兩個平面的法向量，再求兩平面夾角的余弦值即可.【小問1詳解】證明：因為平面，平面，所以；因為，所以；因為，面，所以面；又因為平面，所以.【小問2詳解】以為原點，建立空間直角坐標系如下所示：則，，，，，，，，，，，.設平面的法向量為，則，所以，不妨取；設平面的法向量為，則，所以，不妨取；設平面與平面夾角為，則，即平面與平面夾角的余弦值為.21.已知某聞名高校今年綜合評價招生分兩步進行：第一步是材料初審，若材料初審不合格，則不能進入其次步面試；若材料初審合格，則進入其次步面試.只有面試合格者，才能獲得該高校綜合評價的錄用資格，且材料初審與面試之間相互獨立，現有甲?乙?丙三名考生報名參與該高校的綜合評價，假設甲?乙?丙三名考生材料初審合格的概率分別是，面試合格的概率分別是.（1）求甲?乙兩位考生中有且只有一位考生獲得該高校綜合評價錄用資格的概率；（2）求三人中至少有一人獲得該高校綜合評價錄用資格的概率；（3）求甲?乙?丙三名考生獲得該高校綜合評價錄用資格的人數為1人或2人的概率.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）甲?乙兩位考生中有且只有一位獲得錄用資格，求即可.（2）只需求三人中至少有一人獲得該高校綜合評價錄用資格的對立事務的概率即可.（3）由獨立事務乘法公式即可求解.【小問1詳解】設事務A表示“甲獲得該高校綜合評價錄用資格”，事務表示“乙獲得該高校綜合評價錄用資格”，則，甲?乙兩位考生中有且只有一位考生獲得該高校綜合評價錄用資格的概率為：.【小問2詳解】設事務表示“丙獲得該高校綜合評價錄用資格”，則，三人中至少有一人獲得該高校綜合評價錄用資格的對立事務是三人都沒有獲得該高校綜合評價錄用資格，三人中至少有一