專題27開普勒定律萬有引力定律1．[2024·廣東省廣州市華南師大附中月考](多選)2023年9月21日，在距離地球400公里的中國空間站，“天宮課堂”第四課正式開講．其中一個是球形火焰實驗，在空間站中蠟燭的火焰近似球形如圖甲所示，而在地面上蠟燭的火焰呈錐形如圖乙所示．因為在地面上燃燒后的熱氣上升、冷氣下降，所以火焰呈錐形．而在空間站里，空氣分子完全失重，幾乎消除冷熱空氣對流，燃燒后的氣體向各個方向運動的趨勢相同，所以火焰呈近似球形．已知某同步衛星距離地球表面約35900km.下列說法正確的是()A．中國空間站的線速度小于7.9km/sB．中國空間站繞地球一圈的周期會大于24小時C．在中國空間站中，空氣完全不受重力作用D．在地面上一個自由下落的封閉升降機里點燃蠟燭，火焰將呈球形答案：AD解析：7.9km/s是地球第一宇宙速度，是最小發射速度，最大環繞速度，所以中國空間站的線速度小于7.9km/s，A正確；由萬有引力提供向心力可得，Geq\f(Mm,r2)＝m(eq\f(2π,T))2r，解得T＝eq\r(\f(4π2r3,GM))，可知r越大，T越大．同步衛星的周期是24小時，所以中國空間站繞地球一圈的周期會小于24小時，B錯誤；在中國空間站中，空氣同樣受重力作用，重力提供向心力，C錯誤；在地面上一個自由下落的封閉升降機里點燃蠟燭，因為處于完全失重狀態，所以火焰將呈球形，D正確．2．[2024·江蘇省淮安市月考]宇航員王亞平在“天宮1號”飛船內進行了我國首次太空授課，演示了一些完全失重狀態下的物理現象．若飛船質量為m，距地面高度為h，地球質量為M，半徑為R，引力常量為G，則飛船受的萬有引力大小為()A．0B．eq\f(GM,（R＋h）2)C．eq\f(GMm,（R＋h）2)D．eq\f(GM,h2)答案：C解析：飛船在距地面高度為h處，則萬有引力F＝eq\f(GMm,（R＋h）2)，C正確．3．[2024·重慶市期中考試]牛頓時代，人們在對物體間引力作用的研究中認識到，月球與地球間的作用力和地球對樹上蘋果的吸引力是同種性質的力．已知月球中心與地球中心的間距為r，地球(視為均勻球體)半徑為R，月球繞地球做勻速圓周運動的向心加速度大小為a，蘋果在地球表面自由下落的加速度大小為g，忽略地球自轉，則eq\f(a,g)為()A．eq\f(r2,R2)B．eq\f(r3,R3)C．eq\f(R2,r2)D．eq\f(R3,r3)答案：C解析：設地球質量為M，根據牛頓第二定律Geq\f(Mm月,r2)＝m月a，Geq\f(Mm蘋,R2)＝m蘋g，聯立可得eq\f(a,g)＝eq\f(R2,r2)，C正確．4．[2024·重慶市強基聯盟聯考]兩個完全相同的實心均質大鐵球緊靠在一起，它們之間的萬有引力為F.若將兩個用同種材料制成的半徑是大鐵球eq\f(1,2)倍的實心均質小鐵球緊靠在一起，則兩小鐵球之間的萬有引力為()A．4FB．2FC．eq\f(1,8)FD．eq\f(1,16)F答案：D解析：設兩個大小相同的實心大鐵球的質量都為m，半徑為r，根據萬有引力公式得F＝Geq\f(m2,（2r）2)，根據m＝ρeq\f(4,3)πr3可知，半徑變為原來的eq\f(1,2)倍，質量變為原來的eq\f(1,8)倍，所以將兩個半徑為大鐵球eq\f(1,2)倍的實心小鐵球緊靠在一起時，萬有引力F′＝Geq\f(（\f(1,8)m）2,（r）2)＝Geq\f(m2,16r2)＝eq\f(1,16)F，D正確．5.[2024·貴州省望謨民族中學模擬]如圖所示，發射地球同步衛星時的轉移軌道為橢圓軌道，衛星從橢圓軌道的近地點M運動到遠地點N的過程中()A．萬有引力變大B．速率變小C．機械能變大D．衛星與地心的連線單位時間內掃過的面積變小答案：B解析：衛星從橢圓軌道的近地點M運動到遠地點N的過程中，根據萬有引力定律可知，距離變大，萬有引力減小，A錯誤；從近點到遠點，引力做負功，則衛星的速率變小，B正確；因為只有地球引力做功，則機械能不變，C錯誤；根據開普勒第二定律可知，衛星與地心的連線單位時間內掃過的面積不變，D錯誤．6.(多選)一個質量均勻分布的球體，半徑為2r，在其內部挖去一個半徑為r的球形空穴，其表面與球面相切，如下圖所示．已知挖去小球的質量為m，在球心和空穴中心連線上，距球心d＝6r處有一質量為m2的質點，若被挖去的小球挖去前對m2的萬有引力為F1，剩余部分對m2的萬有引力為F2，則()A．F2＝Geq\f(41mm2,196r2)B．F2＝Geq\f(41mm2,225r2)C．eq\f(F1,F2)＝eq\f(12,41)D．eq\f(F1,F2)＝eq\f(9,41)答案：BD解析：被挖部分對質點的引力為F1＝Geq\f(mm2,（5r）2)＝eq\f(Gmm2,25r2)，由其內部挖去一個半徑為r的球形空穴，挖去小球的質量為m，可知球體密度為ρ＝eq\f(m,\f(4,3)πr3).設挖去之前的球的質量為M，則M＝ρV＝(eq\f(m,\f(4,3)πr3))×eq\f(4π（2r）3,3)＝8m，故挖去前的球體對質點的引力為F總＝Geq\f(Mm2,（6r）2)＝Geq\f(8mm2,（6r）2)＝eq\f(2Gmm2,9r2)，挖去后剩余部分的引力為F2＝F總－F1＝eq\f(2Gmm2,9r2)－eq\f(Gmm2,25r2)＝eq\f(41Gmm2,225r2)，所以eq\f(F1,F2)＝eq\f(9,41)，B、D正確．7．[2024·湖北省六校新高考聯盟聯考]地球的公轉軌道接近圓，天文學中計量天體之間距離時常將地球和太陽的平均距離記為一天文單位，以1AU表示，彗星的運動軌道是一個非常扁的橢圓．天文學家哈雷曾經跟蹤過一顆彗星，并預言這顆彗星將每隔一定時間就會再次出現.1948年觀察到它離地球最遠，1986年離地球最近，則彗星近日點和遠日點之間的距離最接近于()A．10AUB．20AUC．40AUD．80AU答案：C解析：1948年觀察到它離地球最遠，1986年離地球最近，所以它的周期為T＝2×(1986－1948)年＝76年，根據開普勒第三定律，eq\f(Teq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(地)),Req\o\al(\s\up1(3),\s\do1(地)))＝eq\f(T2,（\f(1,2)d）3)，解得d≈40AU，C正確．8.[2024·浙江省寧波十校聯盟一模]北京時間2023年7月20日21時40分，經過約8小時的出艙活動，神舟十六號航天員景海鵬、朱楊柱、桂海潮密切協同，在空間站機械臂支持下，圓滿完成出艙活動全部既定任務．已知核心艙組合體離地高度約391.9千米．以下說法正確的是()A．航天員相對太空艙靜止時，所受合外力為零B．由于太空艙在繞地圓周運動，出艙后航天員會很快遠離太空艙C．航天員在8小時的出艙活動中，將繞地球轉過eq\f(1,3)周D．航天員出艙后，環繞地球的速度約為7.7km/s答案：D解析：航天員相對太空艙靜止時，依然繞地球做圓周運動，所受合外力不為零，故A錯誤；由于太空艙在繞地球圓周運動，出艙后航天員在太空艙表面工作，隨太空艙一起繞地球圓周運動，不會遠離太空艙，B錯誤；太空艙繞地球圓周運動的周期大約為1.5小時，航天員在8小時的出艙活動中，將繞地球轉過5周多，C錯誤；航天員出艙后，隨太空艙一起繞地球圓周運動，環繞地球的速度約為7.7km/s，D正確．9．[2024·河南省部分學校摸底測]木星有79顆衛星，其中木衛三是太陽系中已知的唯一一顆擁有磁圈和一層稀薄的含氧大氣層的衛星，這引起了科學家的高度重視．若木衛三繞木星做勻速圓周運動的半徑為r，周期為T，木星表面的重力加速度為g，木星的半徑為R，引力常量為G，忽略木星的自轉及衛星之間的相互作用力，則下列說法正確的是()A．木星的質量為eq\f(4π2r3,GT2)、平均密度為eq\f(4g,3πGR)B．木星的質量為eq\f(gR2,G)、平均密度為eq\f(3πr3,GT2R3)C．木衛三的質量為eq\f(4π2r3,GT2)、平均密度為eq\f(4g,3πGR)D．木衛三的質量為eq\f(gR2,G)、平均密度為eq\f(3πr3,GT2R3)答案：B解析：木星表面的重力加速度為g，木星半徑為R，由Geq\f(Mm,R2)＝mg得木星質量M＝eq\f(gR2,G)，木星的平均密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3g,4πGR).木衛三繞木星做勻速圓周運動的半徑為r，周期為T，由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2r,T2)得木星的質量M＝eq\f(4π2r3,GT2)，則木星的平均密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3πr3,GT2R3).綜上所述，B正確．10．[2024·黑龍江省一輪復習聯考]已知“祝融號”火星車在地球表面受到的重力大小為G1，在火星表面受到的重力大小為G2；地球與火星均可視為質量分布均勻的球體，其半徑分別為R1、R2.若不考慮自轉的影響且火星車的質量不變，則地球與火星的密度之比為()A．eq\f(G1R1,G2R2)B．eq\f(G1R2,G2R1)C．eq\f(G2R2,G1R1)D．eq\f(G1Req\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)),G2Req\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)))答案：B解析：在星球表面，萬有引力近似等于重力，有Geq\f(M地m,Req\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)))＝G1，Geq\f(M火m,Req\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)))＝G2，又V1＝eq\f(4,3)πReq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(1))，V2＝eq\f(4,3)πReq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(2))，ρ1＝eq\f(M地,V1)，ρ2＝eq\f(M火,V2)，聯立解得eq\f(ρ1,ρ2)＝eq\f(G1R2,G2R1)，B正確．11.某天文愛好者在觀測某行星時，測得繞該行星的衛星做圓周運動的半徑r的三次方與運動周期T的平方滿足如圖所示的關系，圖中a、b、R已知，且R為該行星的半徑．(1)求該行星的第一宇宙速度；(2)若在該行星上高為h處水平拋出一個物體，落到行星表面時水平位移也為h，則拋出的初速度為多大？答案：(1)2πeq\r(\f(a,bR))(2)eq\f(π,R)eq\r(\f(2ah,b))解析：(1)衛星在軌運行時，根據牛頓第二定律Geq\f(Mm,r2)＝mr(eq\f(2π,T))2由圖像可知eq\f(r3,T2)＝eq\f(a,b)則eq\f(r3,T2)＝eq\f(GM,4π2)＝eq\f(a,b)，G