第第頁人教版九年級數學上冊《24.3正多邊形和圓》同步練習題-附答案學校:___________班級：___________姓名：___________考號：___________考點正多邊形與圓1.定義：正多邊形的圓的圓心叫做這個正多邊形的中心圓的半徑叫做正多邊形的半徑正多邊形每一邊所對的角叫做正多邊形的中心角到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距。2.公式：正多邊形的有關概念：邊長（a）中心（O）中心角（∠AOB）半徑（R））邊心距（r）如圖所示①．邊心距中心角關鍵點:三角形的內切圓與外接圓關系定義圓心實質半徑圖示外接圓經過三角形各頂點的圓外心三角形各邊垂直平分線的交點交點到三角形三個頂點的距離相等內切圓與三角形各邊都相切的圓內心三角形各內角平分線的交點交點到三角形各邊的距離相等名校提高練習:一選擇題：本題共10小題每小題3分共30分。在每小題給出的選項中只有一項是符合題目要求的。1.(2024·四川省瀘州市·月考試卷)已知圓內接正三角形的面積為3則該圓的內接正六邊形的邊心距是(

)A.2 B.1 C.3 D.2.同一個圓的內接正三角形正方形正六邊形的邊心距分別為r3r4r6則r3：r4：A.1:2:3 B.3:2:1 C.1：2：3.如圖若干個全等的正五邊形排成環狀圖中所示的是前3個正五邊形要完成這一圓環還需正五邊形的個數為(

)

A.10 B.9 C.8 D.74.(2024·貴州省黔東南苗族侗族自治州·月考試卷)正六邊形ABCDEF內接于⊙O正六邊形的周長是12則⊙O的半徑是(

)

A.3 B.2 C.225.(2024·山東省·單元測試)《幾何原本》中記載了用尺規作某種六邊形的方法其步驟是：①在⊙O上任取一點A連接AO并延長交⊙O于點B②以點B為圓心BO為半徑作圓弧分別交⊙O于CD兩點③連接CODO并延長分別交⊙O于點EF④順次連接BCCFFAAEEDDB得到六邊形AFCBDE.再連接ADEFADEF交于點G.則下列結論不正確的是(

)

A.GF=GD B.∠FGA=60° C.EFAE=6.(2024·江蘇省·同步練習)以半徑為2的圓的內接正三角形正方形正六邊形的邊心距為三邊作三角形則該三角形的面積是(

)A.22 B.32 C.7.(2024·江蘇省·同步練習)如圖正十二邊形A1A2…A12連接A3A7AA.60° B.65° C.70° D.75°8.(2024·江蘇省·同步練習)如圖若干個全等的正五邊形排成環狀．圖中所示的是前3個正五邊形要完成這一圓環還需正五邊形的個數為(

)

A.6 B.7 C.8 D.99.(2024·北京市市轄區·期末考試)如圖正方形ABCD的邊長為6且頂點ABCD都在⊙O上則⊙O的半徑為(

)．

A.3 B.6 C.32 10.(2024·廣東省廣州市·月考試卷)如圖已知⊙O的周長等于4πcm則圓內接正六邊形的邊長為(

)cm．

A.3 B.2 C.23二填空題：本題共6小題每小題3分共18分。11.(2024·江蘇省·同步練習)正六邊形的邊長為8cm則它的面積為______cm2。12.(2024·廣東省·月考試卷)已知一個正六邊形的邊心距為3則它的半徑為

。13.(2024·山東省煙臺市·期末考試)如圖正五邊形ABCDE內接于⊙O點P為DE上一點(點P與點D點E不重合)連接PCPDDG⊥PC垂足為G∠PDG等于

度．

14.(2024·寧夏回族自治區銀川市·模擬題)如圖ABCD為一個正多邊形的頂點O為正多邊形的中心若∠ADB=20°則這個正多邊形的邊數為______。

15.(2024·西藏自治區日喀則地區·模擬題)如圖已知正六邊形ABCDEF的外接圓半徑為2cm則正六邊形的邊心距是______cm。

16.(2024·廣東省湛江市·其他類型)正方形ABCD的邊長為4若剪去4個角后恰好是正八邊形則這個正八邊形的邊長為_________．

三解答題：本題共9小題共72分。解答應寫出文字說明證明過程或演算步驟。17.(2024·全國·同步練習)(本小題8分)

如圖已知⊙O的周長等于6πcm求圓內接正六邊形ABCDEF的面積。

18.(2024·澳門特別行政區·單元測試)(本小題8分)如圖正六邊形ABCDEF內接于⊙O⊙O半徑為4。

(1)求點O到CD的距離(2)求正六邊形ABCDEF的面積。19.(2024·江蘇省·同步練習)(本小題8分)如圖等邊三角形ABC內接于⊙OBD為⊙O內接正十二邊形的一邊CD=52?cm求

20.(2024·新疆維吾爾自治區·單元測試)(本小題8分)如圖圖①圖②圖③…圖分別是⊙O的內接正三角形ABC正四邊形ABCD正五邊形ABCDE…正n邊形ABCD…點MN分別從點BC開始以相同的速度在⊙O上逆時針運動。

(1)圖①中∠APN的度數是

圖②中∠APN的度數是

圖③中∠APN的度數是

。(2)試探索∠APN的度數與正多邊形邊數n的關系(直接寫出答案)。21.(2024·江蘇省·同步練習)(1)如圖①△ABC是⊙O的內接正三角形P為BC?上一動點連接PAPBPC.求證：PA=PB+PC．

(2)如圖②四邊形ABCD是⊙O的內接正方形P為BC?上一動點連接PAPBPC.求證：PA=PC+2(3)如圖③六邊形ABCDEF是⊙O的內接正六邊形P為BC?上一動點連接PAPBPC.請探究PAPBPC三者之間的數量關系直接寫出答案不必證明．

22.(2024·江蘇省·同步練習)(本小題8分)如圖24.3?4有一個亭子它的地基是半徑為4m的正六邊形求地基的周長和面積(結果保留小數點后一位)。

23.(2024·江蘇省·同步練習)(本小題8分)請用無刻度直尺按要求畫圖不寫畫法保留畫圖痕跡。

(1)如圖1已知⊙O的內接等邊三角形ABC畫一個⊙O的內接正六邊形(2)如圖2已知⊙O的內接正五邊形ABCDE先在⊙O上畫點P使∠PAB=126°再在⊙O內部畫一個點H使∠CHE=108°。24.(2024·安徽省蚌埠市·模擬題)(本小題8分)

如圖是正方形正五邊形正六邊形．

(1)觀察上圖各正多邊形相鄰兩對角線相交所形成的較大的角a4a5a6則a4=

°a5(2)按此規律記正n邊形相鄰兩對角線相交所形成的較大的角為an請用含n的式子表示an=

(其中n為不小于4(3)若an=150°25.(2024·浙江省·同步練習)(本小題8分)如圖1正五邊形ABCDE內接于⊙O閱讀以下作圖過程并回答下列問題：作法

如圖2。1.作直徑AF。2.以點F為圓心FO長為半徑作圓弧與⊙O相交于點MN。3.連結AMMNNA．

(1)求∠ABC的度數。(2)△AMN是正三角形嗎?請說明理由。(3)從點A開始以DN長為半徑在⊙O上依次截取點再依次連結這些分點得到正n邊形求n的值。參考答案1.【答案】B

【解析】

本題考查正多邊形和圓解答本題的關鍵是明確題意求出相應的圖形的邊心距．

根據題意可以求得半徑進而解答即可．

【解答】

解：如圖(1)O為△ABC的外心

AD為△ABC的邊BC上的高

則OD為邊心距

∴∠BAD=30°

又∵AO=BO

∴∠ABO=∠BAD=30°

∴∠OBD=60°?30°=30°．

在Rt△OBD中BO=2DO

即AO=2DO

∴OD∶OA∶AD=1∶2∶3．

在正三角形ABC中AD是高設BD=x

則AD=3BD=3x.

∵正三角形ABC面積為3

∴12BC?AD=3

∴12×2x?3x=3

∴x=1．

即BD=12.【答案】A

【解析】解：設圓的半徑為R則正三角形的邊心距為R四邊形的邊心距為R正六邊形的邊心距為R∴r3：r4：r6等于1故選：A經過圓心O作圓的內接正n邊形的一邊AB的垂線OC垂足是C.連接OA則在直角△OAC中∠O=180°n解決本題的關鍵是構造直角三角形得到用半徑表示的邊心距注意：正多邊形的計算一般要轉化為解直角三角形的問題來解決。3.【答案】D

【解析】

本題考查了多邊形的內角和公式延長正五邊形的兩邊相交于一點并求出這個角的度數是解題的關鍵注意需要減去已有的3個正五邊形．

先根據多邊形的內角和公式(n?2)?180°求出正五邊形的每一個內角的度數再延長五邊形的兩邊相交于一點并根據四邊形的內角和求出這個角的度數然后根據周角等于360°求出完成這一圓環需要的正五邊形的個數然后減去3【解答】

解：∵五邊形的內角和為(5?2)∴正五邊形的每一個內角為540°÷5=108°如圖延長正五邊形的兩邊相交于點O則∠1=360°?108°×3=360°?324°=36°360°÷36°=10。∵已經有3個五邊形∴10?3=7即完成這一圓環還需7個五邊形。故選D．

4.【答案】B

【解析】解：連接OBOC

∵多邊形ABCDEF是正六邊形

∴∠BOC=60°

∵OB=OC

∴△OBC是等邊三角形

∴OB=BC

∵正六邊形的周長是12

∴BC=2

∴⊙O的半徑是2

故選B．

連接OAOB根據等邊三角形的性質可得⊙O的半徑進而可得出結論．

本題考查正多邊形和圓的關系。5.【答案】C

【解析】

本題考查作圖?復雜作圖：畫正多邊形等邊三角形的判定和性質菱形的判定和性質圓周角定理正多邊形與圓的關系等知識解題的關鍵是證明四邊形AEOF四邊形AODE都是菱形屬于中考常考題型．

根據圓周角定理和等腰三角形判定即可判斷A證明∠AGF=∠AOF=60°可判斷B證明EF=3AE可判斷C證明∠FAD=90°即可判定D．

【解答】

解：在正六邊形AEDBCF中∠AOF=∠AOE=∠EOD=60°AF=DE

∴AF=DE

∴∠ADF=∠EFD

∴GF=GD故A正確

∵OF=OA=OE=OD

∴△AOF△AOE△EOD都是等邊三角形

∴AF=AE=OE=OFOA=AE=ED=OD

∴四邊形AEOF四邊形AODE都是菱形

∴AD⊥OEEF⊥OA∠AFE=∠EAD=30°

∴∠FAD=90°

∴AF⊥AD∠FGA=60°故BD正確

∵AF=AE∠FAE=120°

∴EF=36.【答案】A

【解析】略7.【答案】D

【解析】略8.【答案】B

【解析】略9.【答案】C

【解析】此題考查了正多邊形和圓連接BDABCD是正方形則∠BAD=90°利用圓周角定理可得BD是⊙O的直徑再用勾股定理即可求解解題的關鍵是熟練掌握圓周角定理和勾股定理的應用。【詳解】如圖連接BD。∵四邊形ABCD是正方形∴∠BAD=90°∴BD是⊙O的直徑。在Rt?ABD中由勾股定理得BD=∴⊙O的半徑為3故選：C。10.【答案】B

【解析】解：∵BC為⊙O的內接正六邊形的邊長

∵∠BOC=360°6=60°OB=OC

∴△OBC為等邊三角形

∵⊙O的周長等于4πcm

∴⊙O的半徑等于2cm

∴BC=OB=2cm

故選B．

首先求出∠BOC=60°結合OB=OC得到△OBC為等邊三角形即可解決問題．

該題考查了正多邊形和圓的位置關系及其應用問題靈活運用正多邊形和圓的位置關系判斷△OBC為等邊三角形11.【答案】96【解析】

此題考查了正多邊形的有關計算.解答此題的關鍵是根據題意畫出圖形把正六邊形的面積化為求三角形的面積解答.先根據題意畫出圖形作出輔助線根據∠COD的度數判斷出其形狀求出小三角形的面積即可解答．

【解答】

解：如圖所示

正六邊形ABCD中連接OCOD過O作OE⊥CD

∵此多邊形是正六邊形

∴∠COD=360°6=60°

∵OC=OD

∴△COD是等邊三角形

∵CD=8cm

∴CE=DE=4cm

∴OE=CE?tan60°=4×3=43cm12.【答案】2

【解析】

本題主要考查正多邊形的計算問題常用的思路是轉化為直角三角形根據勾股定理計算屬于常規題．

設正六邊形的中心是O一邊是AB過O作OG⊥AB與G在直角△OAG中根據勾股定理即可求得OA．

【解答】

解：如圖在Rt△AOG中OG=3∠AOG=30°

∴OA=2AG

∵OG2+AG2=OA2

∴(13.【答案】54

【解析】

連接OCOD.求出∠COD的度數再根據圓周角定理得出∠CPD的度數由三角形內角和定理即可得出結果．

本題考查正多邊形和圓圓周角定理等知識解題的關鍵是熟練掌握正五邊形的性質和圓周角定理屬于中考常考題型．

【解答】

解：連接OCOD如圖所示：

∵ABCDE是正五邊形

∴∠COD=360°5=72°

∴∠CPD=12∠COD=36°

∵DG⊥PC

∴∠PGD=90°

∴∠PDG=90°?∠CPD=90°?36°=54°14.【答案】九

【解析】解：如圖設正多邊形的外接圓為⊙O連接OAOB

∵∠ADB=20°

∴∠AOB=2∠ADB=40°

而360°÷40°=9

∴這個正多邊形為正九邊形

故答案為：九．

根據圓周角定理可得正多邊形的邊AB所對的圓心角∠AOB=40°再根據正多邊形的一條邊所對的圓心角的度數與邊數之間的關系可得答案．

本題考查正多邊形與圓圓周角掌握圓周角定理是解決問題的關鍵理解正多邊形的邊數與相應的圓心角之間的關系是解決問題的前提。15.【答案】3【解析】解：已知正六邊形ABCDEF的外接圓半徑為2cm連接OA作OM⊥AB得到∠AOM=30°因而AM=12OA=1cm

∴OM=3AM=3cm．

正六邊形的邊心距是3cm．

故答案為：3．16.【答案】4【解析】解：設正八邊形的邊長為x則剪掉的等腰直角三角形的直角邊為22x

∵正方形的邊長為4cm

∴22x+x+22x=4

解得x=42+1=42?4

∴正八邊形的邊長為4217.【答案】解：過點O作OH⊥AB于點H連接OAOB

∴AH=12AB

∵⊙O的周長等于6πcm

∴⊙O的半徑為：3cm

∵∠AOB=16×360°=60°OA=OB

∴△OAB是等邊三角形

∴AB=OA=3cm

∴AH=32【解析】首先過點O作OH⊥AB于點H連接OAOB由⊙O的周長等于6πcm可得⊙O的半徑又由圓的內接多邊形的性質即可求得答案．

此題考查了正多邊形與圓的性質．此題難度適中注意掌握數形結合思想的應用。18.【答案】【小題1】解：連接OCOD作OH⊥CD于H

∵半徑OC=4∵六邊形ABCDEF是正六邊形∴∠COD=∴∠COH=30°∴圓心O到CD的距離OH=【小題2】正六邊形ABCDEF的面積=1

【解析】1.

本題考查的是正多邊形與圓銳角三角函數的應用掌握正六邊形的性質垂徑定理是解題的關鍵。連接連接OCOD作OH⊥CD于H根據余弦的定義計算即可2.

根據正六邊形的性質三角形的面積公式計算。19.【答案】連接OBOCOD.∵等邊三角形ABC內接于⊙OBD為⊙O內接正十二邊形的一邊∴∠BOC=13×360°=120°∠BOD=112×【解析】見答案20.【答案】【小題1】60°

90°108°【小題2】∠APN=(n?2)?

【解析】1.

略

2.

略21.【答案】【小題1】如圖①延長BP至點E使PE=PC連接CE.∵ABPC四點在同一個圓上∴∠BAC+∠BPC=180°.∵∠BPC+∠CPE=180°∴∠BAC=∠CPE.∵△ABC為正三角形∴∠BAC=∠ACB=60°.∴∠CPE=60°.又∵PE=PC∴△PCE是正三角形．∴∠PCE=60°.∵∠BCE=60°+∠BCP∠ACP=60°+∠BCP∴∠BCE=∠ACP.∵△ABC△PCE為正三角形∴CE=CPBC=AC.∴△BEC≌△APC.∴PA=EB=PB+PC【小題2】如圖②過點B作BE⊥PB交PA于點E連接AC.∵∠ABE+∠EBC=∠EBC+∠CBP=90°∴∠ABE=∠CBP.∵四邊形ABCD是正方形∴AB=CB∠ACB=45°.∴∠APB=∠ACB=45°.∴在Rt△EBP中∠BEP=∠APB=45°.∴BE=BP.∴根據勾股定理易得PE=2PB.又∵AB=CB【小題3】PA=PC+