弟一早

波函數和Schrodinger方程

薛定謬

ErwinSchrodinger

(1887-1961)

§2-1波函數的統計解釋

波和它所描寫的粒子之間到底是什么關系？

■波由粒子組成

-波是大量粒子運動的表現（如水波）-那么粒子流的衍射現

象應該是粒子之間的相互作用形成的.

?但是減少入射粒子流密度F讓粒子近似地一個個從粒子源

射出后仍有衍射現象

＞這種說法錯誤

§Z1波函數的統計解釋

A粒子由波組成，粒子二波包？『自由粒X

子對應的波是平面波，間傳播，粒子充滿平面波在整個空

整個空間？

,許多平面波的疊加對應粒子？＞在

傳播過程中發生色散，群遨如成

＞相速,,

，發生色散，粒子解體=-----3

§2.1波函數的統計解釋

波恩：波函數的統計解釋最正統

經典粒子經典波

能量動量^

確定的軌道<

）無確定軌道

<出現幾率的周期性分布4

§2.1波函數的統計解釋

MaxBom真正將量子粒子的微粒性和波動性統一起來。

■粒子用一波函數翼九〃來描述，

?在t時刻，在戶7廣+涉范圍內’接收到粒子多少是與1刊

如寸而成正比

，如果乎（己。是歸一化的，則表示接收到粒子的幾率

■當發射粒子非常稀疏時，接收器上接收到的珥子幾乎是〃

雜亂無章#的，但當時間足夠長時，接收到的電子數分布

為I平疔麻

回波函數的統計解釋

■波函數甲。/沙是對物理景的波動描述。

■其意義是十在r->rWr處發現粒子的幾率正比于

|W,r)|2rfr

，波函數不代表物理實體，是一個幾率波；

■波函數不能告訴你，t時刻測量時，粒子在什么位置，在

任何位置都有一定的可能性

?i平氏，）（越大，說明在1■處出現的幾率越大，而不能

確定測量的結果：到底出現在哪里

波函數的統計解釋

■如果有很多個全同的體系，在t時刻測屋粒子的位置可能的結

果是.，…...........

久*******…《八4-Jr

叫一..........弓+成

■則測得粒子在弓-弓+小的幾率為

尸（弓）=少=陋命）r而

訕波函數的統計解釋

*_________________________________________________________

.波函數給出體系一個完全的描述（例如，測量粒子的能量時，可給出預言可能測得那些能量值和測得

該能量值的幾率等）

-因此，可以說波函數描述了體系所處的量子狀態.以中頃描述體系*就稱體系處于印溫）態，或稱中

（FW為體系的態函數

4波函數基本性質

■的平方可積

〉除了個別孤立奇點外，波函數連續單值有界

/在勢能有限大小的間斷處，波函數在該處的導數仍連續

甲，（。一0,門二礦｛工r+o,F）

-不確定性：

i）示同一個態（歸一化）

ii）位相不確定性:不影響幾率

＞量子:幾率性，計算平均值

1波函數的歸一化

■在『一〉『+#處發現粒子的幾率正比于威襯?，｝

「布比例系數為C,

J”心T八局％

Y(r,7)=x/cA(/,0j\Hr,t){dr=J

:歸一化1

.粉鈔拒—二二歸一化因子'I

?歸一化后，|T(rJ)Frfr才表示幾率

場函數_________

:霹何歸一偵心…K

?波函數在多粒子體系中的推廣甲偶上上…武⑴

?粒子1位于Ej—弓n—>h+^―>弓-

的幾率是

2

drdr

卜§2,2態疊加原理

?波函數的統讓解釋是粒子波粒二象性的表現（粒子的位置，動量取值的概率由波函數給出）

-微觀粒子的波粒二象性還可以通過態疊加原理表現出來

■波函數的線性疊加

■如果平L日勺■…甲「是體系的一個可能態，則隼是體

系的奇能態，并稱①為吼態的線性登加態.

§2.2態疊加原理

?經典物理波遵從疊加原理

?惠更斯原理；空間任意一點的P的光強可以由前一時刻波前上所有點傳播來的光波在P點

線性疊加而得

,干涉，衍射

tt§2-2態疊加原理

量子力學的疊加原理，波函數是可能性

和概率

〈干涉項的概率性

＞是粒子運動狀態概率波自身的干涉，不

是不同粒子之間的干涉

*菠疊加原理2-2態疊加原理

＞如果甲中2是體系可能的狀態則①=ciVi+6甲衛也是這個體系可能的狀態

＞在①中'體系處于的，平久態的幾率分別是W和I寸

閩.=|c沖］+CNJ=0+3冰明+哼婦=+|cwj+EC?/N2+C】EWN\干

涉項

4§2,2態疊加原理

＞波疊加原理的表述

＞如果平，陽…q號:是體系的一個可能態測勘=*叫)是體系的可能

態,并稱中為Vn態的線性疊加態.

'在甲中，體系處于甲1,說一Vn態的幾率分別是K1F,必

巳..|Cn『

，任何時候觀測到的都是一整個粒子，而不是IC#個粒子;

〉八相干

■線性疊加：疊加次序不重要

心些布函數

?以確定P運動粒子的波函數

1

V(r)------e*

甲產Ww(2做嚴

-＜

,按照態疊加原理，粒子的狀態可由不同P值的平面波的線性疊加

=Jffc(P

t>Vp(rWpAdp7

坐標表象和動量表象

W(r)O(r,t)dE=JJJw；(f)c(p,thjrAHdp.dp.dp.dr=

8rr1i?ir

e*?drdp

J：c(P,,)U：叩；仃)甲應)質如」匚曲?L)匚

二匚c(p,tHPpl郵六①'。’

■UKSBBBSS^U

c(P，”=Jej“r,t)(lr

iC(pit)i2：t時刻粒子具有動量p的幾率

目1...偵1地乾叫r,t)的粒子，動最無彳弗定值

如顯后題肝rUJcgl

互為傅立葉變換，是波函數的

■坐標為什變迎；坐標沒象

兩種不同的描述方式

」B§23薛定譴方程

經典力學

，牛頓方程

＞線性方程

，二階全微分方程，只有一個獨立變量t

〉唯一性

『方程系數不含狀態參數，有普適性

量子力學？方程

§23薛定謬方程

>

量子力學

■線性方程（態疊加原理的直接要求）/系數不含狀態參數（動量，能量）

x,y,z均為變量偏微分方程>解唯一性

進入方程式

>hTO,牛頓方程

§§2?3薛定譚方程

［由波函數已知的自由粒子導出方程的可能形式自由粒子￡=祟;她打旌甲（禮

Ad心-的

已知解=>方程式（不唯一）

§2.3薛定將方程

由波函數巳知的自由粒子導出方春的可能形式

i再一二ET

■2123t

-fi2V3T=p沖

E=-----=p-Hk

2m

8t2m

一夔寸w=pn->(p?p)W=(-iftV)?(-MV)Wp(-

iftV)±.動量算符)力學量用

清〃5：算符表

§2.3薛定謬方程

自由粒子ift—

St2m

如果有勢場E=21u(r)

2m+

巾骨冬55eor*i

A量子力學基本假定

,方程得到的結論和實驗比較進行驗證

?波函數不用正弦、余弦形式戶表征量子體系特征的量n進入了方程

L§2?3薛定鱷方程

4-般情況：誘詈=-壬V*+U(r)W二1禎

A2

推廣:iA=*￡—V[Y+U(rrrdPj,t)T=HT

貞M

汁咨『同一力學量的經典表示，可得不同的量子

,力學算符表示

§1=_L_LpxP_L2m2mVxxxVx

、一蘿0-1

2m(5?+4?

】I2?3薛定謬方程

汽嗚量在直角坐標中先用分量表示「再代入算符表示；

■如果出現的物理量為APpf(x,y,z)M取

(2)+F(x冒⑵即

■只在直角坐標中適用「先用直角坐標表示，然后用動量算符

替換動量分量，最后再換到其他坐標

Fn.Jl(史口￡+_L生)

2m2mdp2pdpp2dK2

壬％號導X

§空23薛定謬方程

尊宗潺方程的兩個橢俅

■只在直角坐標中適用

-將H分成三部

■與坐標無關的動量二次式

?只依賴于坐標的函數

■?PJ咎y?z)+f(x,y,z)PJ

i

*§2.4粒子流密度和粒子數守恒

，在非相對論的情況下，實物粒子既不產生也不湮滅，所以在整個空間發現粒子的幾率不隨時間

變，即

a_

_di|v|2dr=0

-因為有波函數統計解釋,因此概率流守恒定律自動包含在薛定檄方程中

§2-4粒子流密度和粒子數守恒

w(r,t)=V(P,t.FF(f4)

Ow(Kt)_*(r,t)迥(nt)

—*(I",”_*甲廳，U

rli

絲二名于例業*竺二W—通板

St2)n訪Qi2mih

甑里尸墾(YV濁—甲礦g)二一VfTVT-TVT*)由2m2m

J=—(TWA-AVT)

2m

迎應+V-J=O粒子數守恒定律

dt

±§2.4粒子流密度和粒子數守恒

AA

J即=2jw(fttMT=-JV-Jdt=—J■ds=—JHds

矢量J在體積V的界面s上

法向分信的面積分

J為概率流密度矢量

體積v中增加的概率=v外部穿過邊界S流進v的概率

i§2.4粒子流密度和粒子數守恒k

什么在空間找到粒子數的總幾率與［無關？

A

J竺令首Jw(fa)dx=-jVJdT=?0ds-Jnds

無限遠處波函數為0J■ds-ft

在整個空間內，找到粒

音_1川雋口如=￡「中?平曲=0子的概率與時間無關

所以波函數可以歸一化!

譬皿二。X質量：量子力學中的質量守恒

X電量；量子力學中的電量守恒

上§2.4粒子流密度和粒子數守恒

?由于概率密度和概率流密度連續■波

函數的標準條件

?有限

?連續

.單值

§2.5定態薛定謬方程

-定志：U=U(E=U(r)，不顯含t

3n'

成一中(rj)=(_L+邛胄翊(『」)2bju(F)mti

Ot2m

可用分離變數法求特解中

(F,t)=w(F)f(t)

時間的函數_F—位置的函數

尤

=Ce卜2m

不含時間的薛定詩方程，或稱為能址本征方程。

加念福定態薛定謬方程

人v2＞|/+=Ei|i

=

＞角頻率確定s:

，E為體系所處狀態的能量

＞能最具有確定的值——定態

廠定態中概率密度和概率流密度都與時間無關

2…

1定態薛定涕方程于本征值也

的

本征方程Hy=E

算符H的本征值

■由于波函數為幾率波’W一些特殊的邊界整能滿足

方程的解就只有某些H值，分立的1瓦H/而測量

值只能是這方程有非零解所對應的值

f§2.5定態薛定謬方程

-彳轅在初始時刻(1=0)處于一定能量的本征態

Wm則在以后任何時刻，體系都處于這一本征態

上，即胃仃」)二甲「訴一學，它隨時間變化僅表現在e

指數上

■體系的幾率密度不隨時間變化'凡率流密度矢的散度為D

(即無幾率源).2

w=|E(F,t)r=|Vn(r)|絲=

OnV.]=O

3t

?幾率流密度矢，不隨時間變化

■JL■JE.

J=x(gWWW)二蕓(vVif-I|/Vv)

2m2m

，§2.5定態薛定譚方程

■任何不含t的力學量在該態的平均值不隨時間變化。

A=jT；/ra)A(f.p)YiJrJ)dr=Jv;Jr)A(r.p)vn(r)dr

-任何不顯含1的力學量在該態中取值的幾率不隨時間變化.

nit

vj］二Asm人x,門為iE偶數=口€68竺八招n為【卜-奇數2a

嶺)

、§2.6—維無限深勢阱-

?a0ax

：<a=f沖|x<a

2mdx2

U(x)=oo,|x>aw=o

|x|之a

令Hh)d+3=°

W-Asin

..n兀

...Vn=At'sin——(x+a),

由波函數連續性--.2a

Fn片2

在兇時E=---------

n8ma2

波函數歸一化在兇之a時，y=0

1-HU：.

Wii=7=斜時三；攜，

Wn=AsinA(x+aK

2a

心2?6一維無限深勢阱E尸涔

......................................................onia

■平是駐波：由兩個沿相反方向傳播平面波疊加而成

,粒子被束縛在阱中：束縛態.能級分立

?能量最低的態為基態

,本征函數的奇偶性由勢能

函數的對稱性決定虬

＞平圳有IVJL個節點

七§2*6一維無限深勢阱

■思考

-如果勢阱的寬度突然或者緩慢變化粒子的

波函數如何變化？

例題：一維無限深方勢阱中粒子的動量分布*尋"=可甲<x<a

X<O,N七玷

2mdx

平V-Asinkxd-Brosax

連續性條件平二A$inkxAsinka=0,

ka=mi

歸一：甲二歸給田理工基態n=L

例：電子處于基態，阱壁突然變化后電子處于基態的幾率

0

UTT、

--i=sin—(x+a),

Va2a

w.=,"gin(X+L)

Va/2a

阱壁突然變化，狀態來不及變化=J"仲:dx

-W2

8

=9T吩1COS加X1S，.n兀，,X，+a)3dX64

一J陽z2^72a^2a=五留在基態的幾率=9兀:

W§2.7線性諧振子

A

?勢場在平衡位置附近展開U(x)-k(x-xo)

*任何連續諧振子體系無窮多個諧振子集合

?輻射場。簡諧波的疊加

?原子核表面振動，理想固體（無窮個振子）

-真正可以嚴格求解的物理勢（不是間斷勢）

?描述全同粒子體系合產生，湮滅算符

*§2?7線性諧振子

?勢能mtoW

■在平衡點附近的運動

?經典力學中諧振子的運動是簡諧振動

X=asin(?t+8)

■量子力學中？

§2.7線性諧振子

4hr_v'u_r+_—_iT_ia)_W_=K_yx_.—_+_(E_—into'x2345iw=02m22m2

,_2E

ccx無量綱變量人一忌

令pj2

切普■+{%—=)甲=。

思路

J■看方程在兩邊邊界上的漸進行為、±8

■使函數在中間取值范圍內有與漸近行為相同的形式

&-8,符一^二。牛土^2正號舍去

解3八恩

d

路活+秘旬

使函數在中間取值范圍內有與漸近行為相同的形式甲

(&)=e-SH(導

H(切需在&有限時有限，在§趨于