廣西桂林、崇左、賀州市2022屆高三3月高考聯合調研考

試數學(文)試題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知集合A={TO,3},B={X|X2>1},則AAB=()

A.{-1,3}B.{0,3}C.{3}D.{-1}

2.已知復數z=l-3i,那么,=()

z

A13.n13?c13.r13.

C.------F——iD.一——一?-i

1010101010101010

3.“f=4”是“x=2”成立的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.設函數f(x)在R上存在導函數/(X),/(*)的圖象在點例處的切線方程

為y=gx+2,那么/'⑴()

A.2B.1C.gD.1

5.在AABC中，角A,B,C所對的邊分別為mb,c,3=30。，Z?sinA=l,則"=

()

A.1B.1C.2D.4

6.已知等差數列{《,}的公差為1,為其前〃項和，若$3=%，則%=()

A.-1B.1C.-2D.2

7.正方體中，已知E為CG的中點，那么異面直線BG與4E所成的

角等于()

A.30°B.45°C.60°D.90°

8.已知sin(’2%、=|,則cos(x+.B等于(

一十x)

、3;

3c43_4

A.一B.-c.D.

55.5~5

9.已知圓C過點4(0,2)且與直線y=-2相切，則圓心C的軌跡方程為()

A.x2=4yB.x2=8yC.x2=-4yD.x2=-Sy

22

10.設尸為直線y=?與雙曲線cJ-2=l(a>0/>0)左支的交點，耳是左焦

點，P耳垂直于方軸，則雙曲線的離心率是()

A.石B.巫C.叵D.逑

334

11.四面體PABC的四個頂點都在球。的球面上，

E4=8,BC=4,PB=PC=AB=AC,且平面總。，平面ABC,貝U球。的表面積為

A.64兀B.65萬C.66〃D.128萬

12.函數的導函數為方(x),對VxeR,者|5有2尸(x)>/(x)成立，若

〃ln4)=2,則不等式”x)>「的解集是()

A.(0,1)B.(ln4,+<?)C.(l,+oo)D.(0,ln4)

二、填空題

13.已知向量4=(X-1,2),5=(2,1),且乙，日，則實數x=.

14.函數滿足/'(1-x)=J則f(2)等于.

15.如果函數/(x)=d-6fex+3h在區間(0,1)內存在與x軸平行的切線，則實數〃的

取值范圍是.

16.從某建筑物的正南方向的A處測得該建筑物的頂部C的仰角是45。，從該建筑物的

北偏東30°的8處測得該建筑物的頂部C的仰角是30°,A,8之間的距離是35米，則

該建筑物的高為米.

三、解答題

17.記S”為等差數列｛%｝的前〃項和，已知公差dr0,57=35,且與，%,即成等

比數列.

(1)求數列｛《,｝的通項公式；

⑵若7,為數列的前"項和，求7”.

18.在平行四邊形488中，AB=3,BC=2,過點A作CO的垂線交C￡>的延長線

于點E,AE=6連接E8交A。于點F,如圖①，將AADE沿4。折起，使得點E

到達點P的位置，如圖②.

圖①圖②

(1)求證：451.平面3FP;

(2)若G為PB的中點，”為C。的中點，且平面ADP_L平面ABCD,求三棱錐

G-BCH的體積.

19.已知48兩所大學聯合開展大學生青年志愿者培訓活動，并在培訓結束后統一進

行了一次考核，考核成績在［&),85］的為合格等級，成績在［86,100］的為優秀等級.為了

解本次培訓活動的效果，48兩所大學從參加活動的學生中各隨機抽取了10名學生的

考核成績，并作出莖葉圖如下圖所示.

考核成績[60,85][86,100]

考核等級合格優秀

4大學B大學

4627

588927890

568547

12935

(1)分別計算48兩所大學被抽取的學生考核成績的平均值；

(2)由莖葉圖直接判斷A、B兩所大學參加活動的學生考核成績的穩定性；(不需寫過

程)

(3)現從樣本考核等級為優秀的學生中任取2人，求2人來自同一所大學的概率.

20.已知橢圓C:/+看=l(a>b>0)的焦距為4,其短軸的兩個端點與長軸的一個端

點構成正三角形.

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)設F為橢圓C的左焦點，T為直線x=-3上任意一點，過F作7F的垂線交橢圓C于

點P和Q.試判斷b是否平分線段尸。(其中。為坐標原點)，并求當昌取最小值時

點7的坐標.

21.已知函數/(x)=￡一(2a+l)x+alnx(Q￡R).

⑴若〃x)在區間［1,2］上是單調函數，求實數。的取值范圍；

⑵函數g(x)=(l-a)x,若小0?1,日使得了(%)?8(%)成立.求實數。的取值范圍.

x=2cos(p

在平面直角坐標系中，已知點尸(曲線的參數方程為

22.xOv0,-6),Cy=2sin(p(。

為參數).以原點為極點，x軸非負半軸為極軸建立極坐標系，直線，的極坐標方程為

3

詼0+知.

2

(1)判斷點P與直線/的位置關系并說明理由;

11

(2)設直線/與曲線。交于A8兩個不同的點，求兩+網的值.

23.已知函數/(x)=|2x+4+|2x—4+2的最小值為3.

⑴求a+b的值;

(2)若求證：?+/>>3-log

35a1b)

參考答案:

1.A

【解析】

【分析】

解不等式求得集合B,由此求得AH以

【詳解】

x2>l,x2-1=(x+l)(x-l)>0,

解得或xNl,B=(-oo,-l]u[l,+oo),

所以AnB={-l,3}.

故選：A

2.A

【解析】

【分析】

利用復數的除法運算求得正確答案.

【詳解】

1_1l+3il+3i1_3_.

1一]_3i_(l-3i)(l+3i)-]()一歷Io'-

故選：A

3.B

【解析】

【分析】

由題￡=4得x=2或x=-2,進而得答案.

【詳解】

解：由A?=4得x=2或x=-2,

則“V=4”是“X=2”成立的必要不充分條件,

故選B.

【點睛】

本題考查充要條件，屬于基礎題.

4.C

【解析】

答案第1頁，共13頁

【分析】

根據切線的斜率求得了（I）.

【詳解】

由于/（X）的圖象在點M0J⑴）處的切線方程為y=gx+2,

所以/⑴

故選：C

5.C

【解析】

【分析】

直接運用正弦定理可得工=占，解得a=2

sinAsinB

【詳解】

/口abLilOsinAI

由正弦定理'得嬴4=布'所以"=飛擊="=2

故選:C

6.D

【解析】

【分析】

先求得為,然后求得出.

【詳解】

依題意3%+3=4+5嗎=1,%=1+1=2.

故選：D

7.B

【解析】

【分析】

作出異面直線BC與AE所成的角，結合余弦定理求得正確答案.

【詳解】

設正方體的邊長為2,連接4R，AE,

根據正方體的性質可知AD、"BC、,

答案第2頁，共13頁

所以NEAR是異面直線BG與AE所成的角,

A"=20,D、E=EAE=>/22+22+12=3,

8+9-572

所以cosNEAR=

2x272x32

由于0。4ZEADt<90°,所以NEAR=45°.

所以異面直線BG與AE所成的角為45。.

故選：B

8.C

【解析】

【分析】

運用誘導公式即可.

【詳解】

故選:C

9.B

【解析】

設圓心C(x,y),由圓心到A點距離等于圓心到切線的距離列式化簡可得.

答案第3頁，共13頁

【詳解】

設圓心C（x,y）,據題意有，^+（丫-2）2=卜+2|,

化簡有V=8y.

故選：B.

【點睛】

本題考查求軌跡方程，解題方法是直接法.

10.D

【解析】

【分析】

求得尸點的坐標，代入直線），=；x,化簡求得雙曲線的離心率.

3a

【詳解】

依題意可知P在第三象限，

r22b2

將x=_c代入—v-=1,解得y=---,

aba

所以,將其代入y=，X得-&=-^,c=3b,

Ia）3a“3a

9

2■?1->21->822。-

c-=a-+b-a-+-c~,-c--a-,—8-

99cr

利用離心率e=￡=3^.

a4

故選：D

11.B

【解析】

【詳解】

如圖，￡>,E分別為8CPA的中點，易知球心。點在線段"E上，因為

PB=PC=AB=AC,則POJ_8C,AOJ.8C,=又\?平面PBC_L平面ABC,平面

P8Cn平面A8C=BC,平面ABC,.??PDLAD,...q￡>=AQ=4點.因為E點是

24的中點，AED±PA,且DE=E4=PE=4.

設球心。的半徑為R,OE=x,則OD=4—x,在RtAOEA中，有心=16+/,在

RtzXO&J中,有人=4+（4-x）2,解得R2=半，所以5=4成2=65兀,故選B.

4

答案第4頁，共13頁

【點睛】本題主要考查球內接多面體，球的表面積，屬于中檔題，其中依據題意分析出球

心。必位于兩垂直平面的交線上，然后再利用勾股定理，即可求出球的半徑，進而可求出

球的表面積，此類題目主要靈活運用線面垂直的判定及性質，面面垂直的判定及性質是解

題的關鍵.

12.B

【解析】

【分析】

(、fix')

構造函數g(x)=y,利用導數可判斷g(x)的單調性，再根據/0n4)=2,求得

巨

g(ln4)=l,再根據不等式〃x)>1og(x)>log(x)>g(ln4)，結合函數的單調性，即

可求出結果.

【詳解】

???VxeR,都有2/。)>/(力成立，.?.廣⑺―9(x)>0,

.1

令8(力=與，則于是有g1x)=(翌］=/-)一?/°)>0,

e2Ie。)e?

所以g(x)在R上單調遞增，

V/(In4)=2,Ag(ln4)=l,

「不等式f(x)>e2og(x)>log(x)>g(ln4)，

x>ln4,即不等式/(x)>/的解集是(ln4,+<?).

故選：B.

13.0

【解析】

【詳解】

答案第5頁，共13頁

試題分析：'."=(X-1,2),5=(2,1),且萬_L5，.?.箱6=2(X—1)+2=0,解得x=0,故答案

為0.

考點：向量的垂直.

14.-1

【解析】

【分析】

根據已知條件求得/(2).

【詳解】

依題意，/(l-x)=p

/(2)=/(l-(-l))=±=-l.

-1

故答案為：-1

5陷

【解析】

【分析】

由f'(x)=0分離常數b,結合二次函數的性質求得人的取值范圍.

【詳解】

/(X)=3X2-6/>,

依題意可知，3x°-63=0在區間(0,1)內有解，

b=^-x2,y在(0,1)內遞增，所以6=

故答案為：(。,￡|

16.5不

【解析】

【分析】

設該建筑物的高|oc|=〃(。為該建筑物的底部)，由題意可得|Q4|=a,|。目=6人，利用

余弦定理求得〃的值.

【詳解】

答案第6頁，共13頁

解：設該建筑物的高|。。=力(。為該建筑物的底部)，由題意可得|。4|=力，|。同=6八,

網=35,ZAOB=\5Q°,K!j|>4B|2=\OAf+|OB|2-2\OA\\OB\cosZAOB,即

352=h2+3h2-243h2x-+，解得h=55.

k>

【點睛】

本題考查利用余弦定理解三角形，屬于基礎題.

17.⑴。“="+1

⑵=2("+2)

【解析】

【分析】

Q)根據已知，利用基本量法求得首項和公差，即可求得數列的通項公式；

(2)利用裂項相消法求和即可.

(1)

_7x6,__

74H-------cl—35

解：由題意可得,2,

(q+44)2=(4+1乂4+10d)

又因為dwO,所以：'二2,

所以4,="+1;

⑵

1111

解：因為藪二=(〃+1)(〃+2)=調而_宙'

「11111111n

所以=-----1----------+…-I-----------------------=----------------=-一(r

"以“2334”+1H+22n+22(n+2)-

18.(1)證明見解析

⑵a

16

【解析】

【分析】

(1)通過證明月尸，AD,BF1AD來證得，平面BFP.

答案第7頁，共13頁

(2)先證明PF，平面ABC。，然后根據錐體體積公式，求得三棱錐G-8C”的體積.

(1)

折疊前，在RtAfi4￡中，AB=3,AE=y/3,

ZA￡B=60°且BE=26,

?.?△ADE是直角三角形，DE=y/AD2-AE2=1>CE=4,

在ABCE中，CE=4,BE=2>/3,BC=2,CE2=BE2+BC2,

:.BE1.BC,又BC〃A￡>,.-.BEYAD,EF=-AE=—.

22

折疊后，PFAD,BFA.AD,PFcBF=F,

平面BFP.

(2)

???平面A￡)P_L平面ABC。，且平面ADPc平面=PFu平面A￡>P,

且由(1)知f_L平面4BCD由(1)得PF=2

2

由于G是PB的中點，所以G到平面ABCD的距離是P到平面ABCD的距離的一半.

設G到平面AB8的距離為h,則力=工PF=且.

24

13

,:CH=-DC=±,

22

c1「口13rr3G

M2224

.”_1c_13石石_3

GW3234416

19.(1)石=80,需=80

(2)A所大學學生的成績比B所大學學生的成績穩定

若

【解析】

【分析】

(1)根據平均數的求法求得平均數.

(2)根據數據的穩定性確定正確答案.

(3)利用列舉法，結合古典概型的概率計算公式，計算出所求概率.

(1)

答案第8頁，共13頁

—64+75+78+78+79+72+85+86+91+92800℃

x.=-------------------------------------=——=80,

*1010

—67+62+70+79+78+87+84+85+95+93800

B1010

(2)

由莖葉圖可知，A的數據比8的數據集中，

所以A所大學學生的成績比8所大學學生的成績穩定.

(3)

記事件M為“從樣本考核等級為優秀的學生中任取2人，2人來自同一所大學”，

A校考核等級為優秀的學生共有3人，分別記為a,b,c,

B校考核等級為優秀的學生共有3人，分別記為A,B,C,

從這6人中任取2人，所有的基本事件個數為岫，ac,aA,aB,aC,be,bA,bB,bC,

cA,cB,cC,AB,AC,BC共15種，

而事件M包含的基本事件是"，ac,be,AB,AC,BC共6種，

因此尸=

20.(1)—+^-=1

62

(2)07平分線段PQ,點T的坐標為(一3,1)或(一3,—1)

【解析】

【分析】

(1)依題意得到方程組，求出/、b-,即可得解；

(2)設T(—3,r),P(%,y),。(々,%)，PQ的中點為N(七,%),直線PQ的方程為

x=my-2,當根=0時，求出T的坐標,當〃?H0時，聯立直線與橢圓方程，消元、列出韋

達定理，即可得到N的坐標，即可得到J、””即可得到0,N,7三點共線，從而OT平

TFm2+3

分線段PQ，再由弦長公式得到歸口、|7外即可得至嗜?;所向,令

X=7/M2+1(X>1),即可得到腳二9=(x+2］再利用基本不等式計算可得；

答案第9頁，共13頁

c=2

解：依題意有a=同,解得

a2-b2=c2=4

22

所以橢圓C的標準方程為三+2=1

62

⑵

解：設T(Tf),尸(演,乂)，Q(x2,y2),PQ的中點為N5,%),由尸(-2,0),可設直線

P。的方程為x=-2,

①當加=0時，直線PQ的方程為x=-2,此時7(—3,0),顯然OT平分線段尸。.

②當時，PQ的斜率即2=’，

m

x=my-2

由，Yy1=（〃『+3）/一4,町，一2=0,

62

A=16療+8（加2+3）=24（/M2+l）＞0

4m

十日到十必2m.._32m2八-6-62m

于是％=T=y從而％=沖。-2=記值一2="'N

m2+3m2+3

f-011

則直線ON的斜率%,=-；，又由PQL7T知，直線"的斜率,尸"=與五二一=藐二一了,

31*—

m

解得t=m.

從而自7=工=—：=%.，即％"=QN，所以。，N,T三點共線，從而。T平分線段PQ.

由兩點間距離公式得=由弦長公式得

|「。|=|X-%|62+1="（%+%『-4＞防,Vm2+1=

m2+3

(當且僅當f=2時,取”=,,

答案第10頁，共13頁

萬才最小時，由％2=2=病+］,得根=1或m=-l,此時點T的坐標為(一3,1)

號)，所以當

或(-3,-1).

21.或

e(e-2)

(2)

Ie-l」

【解析】

【分析】

(1)對函數求導后，由題意可得導函數尸(x)的零點x=“落在區間(1,2)內時，函數在區

間［1,2］上不單調，從而可求得結果，

(2)將問題轉化為f—2x+a(lnx—x”0在區間［l,e］上有解，工zN,在區間［l,e］上

x-lnx

有解，構造函數/7(力=皂旦，利用導數求出其最大值即可

x-lnx

(1)

r(x)=(2x-?(i),

當導函數尸(X)的零點x=a落在區間(1,2)內時，

所以函數/(X)在區間［L2］上就不是單調函數，

所以實數”的取值范圍是或

(2)

由題意知,不等式〃x”g(x)在區間［l,e］上有解,

即f-2x+a(lnx-x)NO在區間［l,e］上有解.

令9(x)=x-lnx,xe［l,e］,則=,

XX

：.9(x)=x-lnx在［l,e］上單調遞增,

/.(p(x)>(p(y)=1,:.x-lnx>0

，公三二在區間［l,e］上有解

x-lnx

(x-l)(x+2-21nx)

令〃(x)=x_2x,則〃(x)=

x-］nx(x-lnx)2

答案第11頁，共13頁

xe[l,e],:.x+2>2>2\nx9

??.”（x）NO,力（力單調遞增，

時，Mx）a=〃（e）=e（:：）

e（e-2）

..a，，

e-1

所以實數a的取值范圍是（口,小鐘

Ie-1」

【點睛】

此題考查導數的綜