2026屆普通高等學校招生全國統一考試青桐鳴高一聯考數學（北師大版）全卷滿分150分，考試時間120分鐘.注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名、班級、考場號、座位號、考生號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．已知為虛數單位，復數滿足，則（

）A． B．C． D．2．已知，則（

）A．2 B． C． D．3．已知復數，（，為虛數單位），且，則（

）A． B．C． D．4．在平行四邊形中，為的中點，設，，則（

）A． B．C． D．5．已知角的頂點與坐標原點重合，始邊與軸的非負半軸重合，終邊經過點，則（

）A． B． C． D．6．在中，，點為邊上一點，且，則（

）A．3 B．2 C． D．7．如圖，在菱形中，，，，，分別是邊，，，的中點，以點為圓心，以，為半徑作出兩段圓弧，與分別交于點，，分別以，，為圓心，用同樣方法作出如圖陰影部分的扇環，其中.若扇環的周長為，則扇環的面積為（

）

A． B． C． D．8．已知，，，均為非零向量，與的夾角為，與的夾角為，滿足，，則，的夾角（

）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.9．已知為虛數單位，復數，，則下列說法正確的是（

）A． B．的共軛復數為C．的虛部為 D．在復平面內，復數對應的點位于第二象限10．已知函數的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（

）A．B．C．直線為圖象的一條對稱軸D．將圖象上的所有點向左平移個單位長度得到的圖象11．已知兩個非零的平面向量與，定義新運算，，則下列說法正確的是（

）A．B．對于任意與不共線的非零向量，都有C．對于任意的非零實數，都有D．若，，則三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．若向量與單位向量的方向相同，則.13．如圖，已知山體與山體的底部在同一水平面上，且兩個山體的高線與均與水平面垂直，，在山體的最高點處測得山頂的仰角為，測得山底A的俯角為，則m.14．已知為鈍角，且，角，，滿足，則.四、解答題：共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．已知為虛數單位，復數為純虛數，為的共軛復數.(1)求的值；(2)求的值.16．在平面直角坐標系中，已知向量，.(1)求向量在向量上的投影向量；(2)若點滿足，與的夾角為，求的值.17．已知.(1)求的值；(2)求的值.18．已知的圖象關于點對稱，且在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，.(1)求的解析式；(2)若，求滿足不等式的解集.19．如果三角形的一個內角等于另外一個內角的二倍，我們稱這樣的三角形為二倍角三角形.設的內角，，的對邊分別為，，，已知.(1)證明：為二倍角三角形；(2)若為銳角三角形，且，求的取值范圍.1．A【分析】由復數除法運算可解.【詳解】根據題意，，則.故選：A2．D【分析】利用同角基本關系式，可得，從而得解.【詳解】由，又，故選：D3．D【分析】根據題意，結合復數相等的充要條件，列出方程組，即可求解.【詳解】由復數，（，為虛數單位），因為，可得，則，解得.故選：D.4．A【分析】先利用向量的減法表示，再利用向量的加法表示.【詳解】如圖：因為，.故選：A5．C【分析】根據三角函數的定義及二倍角公式即得.【詳解】因為角的終邊經過點，所以，，，于是．故選：C.6．D【分析】根據題意，求得，再由向量的運算法則，得到，結合向量的數量積的運算法則，即可求解.【詳解】由，可得，因為點為邊上一點，且，可得，所以，所以.故選：D.7．B【分析】先根據扇環的周長，求出的長度，再根據扇形的面積公式求扇環的面積.【詳解】設，則，因為扇環的周長為，所以：.所以扇環的面積為：.故選：B8．B【分析】利用平面向量夾角公式化簡已知，可得，再根據數量積的定義計算可解.【詳解】根據題意，，則，因為，可得，化簡為，，則，所以，而，所以.故選：B9．BC【分析】對于A：根據模長公式分析求解；對于B：先根據乘法運算求，再結合共軛復數的概念分析判斷；對于C：先根據除法運算求，再結合虛部的概念分析判斷；對于D：先求，再結合復數的幾何意義分析判斷.【詳解】由題意可知：，對于選項A：因為，所以，故A錯誤；對于選項B：因為，所以的共軛復數為，故B正確；對于選項C：因為，所以的虛部為，故C正確；對于選項D：因為，所以復數對應的點為，位于第四象限，故D錯誤；故選：BC.10．ACD【分析】根據函數的圖象，求得，可得判定A正確，B不正確，再結合三角函數的性質，以及三角函數的圖象變換，可判定C、D正確.【詳解】由函數的圖象，可得，可得，則，又由，所以，又由，即，因為，所以，可得，所以，所以A正確；B不正確；對于C中，由為函數的最大值，所以直線為圖象的一條對稱軸，所以C正確；對于D中，將圖象上的所有點向左平移個單位長度，可得，所以D正確.故選：ACD.11．ABD【分析】對于A：根據題中定義即可判斷；對于BC：根據題意結合數量積的運算律分析判斷；對于D：分析可知，可得，進而可知，即可得結果.【詳解】對于選項A：因為，，所以，故A正確；對于選項B：因為，故B正確；對于選項C：因為，當且僅當時，，故C錯誤；對于選項D：若，，則，可得，則，且，可知，結合題意可知，，所以，故D正確；故選：ABD.12．2【分析】根據向量共線的坐標表示求得，并代入檢驗即可.【詳解】因為向量與單位向量共線，則，解得，若，則，可知，且，則同向，所以符合題意.故答案為：2.13．【分析】在中，可得，在中，利用正弦定理分析求解.【詳解】在中，可知，可得，在中，可知，由正弦定理可得，所以m.故答案為：.14．##【分析】首先“切化弦”，再利用兩角和與差的三角函數公式求，再結合的范圍求角.【詳解】因為所以，則，即.因為，所以，且為鈍角，.所以，故.所以，又為銳角，所以.故答案為：15．(1)(2)【分析】（1）利用復數的運算，結合純虛數的概念列式即可求解參數m；（2）由（1）得到復數，再根據復數的四則運算化簡，再求得復數的模，從而得解.【詳解】（1）由，得因為為純虛數，所以，解得.（2）由第一問得，所以，所以，從而，即的值為.16．(1)(2)【分析】（1）根據向量線性運算的坐標表示求，可得，結合投影向量的定義分析求解；（2）由題意可知為線段的中點，進而可得，根據向量的坐標運算結合夾角公式分析求解.【詳解】（1）由題意可得：，則，所以向量在向量上的投影向量為.（2）因為，可知為線段的中點，則，，可得，所以.17．(1)2(2)【分析】（1）結合二倍角公式和同角三角函數的基本關系求值.（2）利用二倍角的余弦公式化簡求值.【詳解】（1）因為，所以.（2）.18．(1)(2)【分析】（1）根據對稱軸和對稱中心求出周期，再由關于點對稱，求出，最后由解出函數；（2）根據題意，得，結合函數的性質可解.【詳解】（1）根據題意，且在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，則為函數的對稱軸，又函數圖象關于點對稱，且對稱點在單調區間內，所以，則，，且，又，所以，再由，即，所以，所以；（2）由，得，而，則，，則，則或，解得或，所以滿足不等式的解集為.19．(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據題意，由正弦定理化簡得，再由余弦定理，得到，結合正弦定理求得，得到，即可得證；（2）由（1）知，則，結合為銳角三角形，求得，由正弦定理得，求得，結合函數單調性，即可求解.【詳解】（1）