鎮海中學2023學年第二學期期中考試高一數學試題卷本試卷共4頁，19小題，滿分150分.考試用時120分鐘.注意事項：1.答卷前，考生務必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名、準考證號填寫在答題卷上.2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卷上對應題目選項的答案標號涂黑.3.非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卷各題目指定區域內相應位置上；不準使用鉛筆和涂改液.4.考生必須保持答題卷的整潔，不要折疊、不要弄破.選擇題部分(共58分)一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．復數，，其中為虛數單位，則復數在復平面內所對應的點在第（▲）象限A．一B．二C．三D．四2．邊長為2的正三角形的直觀圖的面積是（▲）A．B．C．D．3．甲乙丙丁四位同學各擲5次骰子并記錄點數，方差最大的是（▲）甲：45455乙：42343 丙：23234丁：61261A．甲B．乙C．丙D．丁4.若為空間中的不同直線，為不同平面，則下列為真命題的個數是（▲）①，則； ②，則；③，則； ④，則.A．0B．1C．2D．35．一個射擊運動員打靶6次的環數為:9，5，7，6，8，7下列結論不正確的是（▲）A.這組數據的平均數為7B.這組數據的眾數為7C.這組數據的中位數為7D.這組數據的方差為76．如圖，正三棱柱的所有邊長都相等，P為線段的中點，Q為側面內的一點（包括邊界，異于點P），過點A、P、Q作正三棱柱的截面，則截面的形狀不可能是（▲）A．五邊形B．四邊形C．等腰三角形D．直角三角形7．已知球O為棱長為1的正四面體ABCD的外接球，若點P是正四面體ABCD的表面上的一點，Q為球O表面上的一點，則的最大值為（▲）A． B． C． D．8.三棱錐中，，則三棱錐的體積的最大值為（▲）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分．9.已知事件A，B滿足，，則（▲）A.事件A與B可能為對立事件B.若A與B相互獨立，則C.若A與B互斥，則D.若A與B互斥，則10.如圖，在正方體中，分別為線段中點，分別為線段，線段上的動點，則三棱錐的體積（▲）A.與點位置有關B.與點位置無關C.與點位置有關 D.與點位置無關11.如圖，三棱錐中，為邊長是的正三角形，底面是線段上一動點,則下列說法正確的是（▲）A.點B到平面的距離的最大值為B.三棱錐的內切球半徑為C.PB與AQ所成角可能為D.與平面所成角的正切值的最大值為非選擇題部分(共92分)三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分．12.將一枚質地均勻的骰子連續拋擲2次，向上的點數分別記為，則事件的概率為__▲__.13.正方體棱長為為線段上一動點，為線段上一動點，則的最小值為__▲__.某工廠的三個車間生產同一種產品，三個車間的產量分布如圖所示，現在用分層隨機抽樣方法從三個車間生產的該產品中，共抽取70件做使用壽命的測試，則C車間應抽取的件數為__▲___；若A,B,C三個車間產品的平均壽命分別為200，220，210小時，方差分別為30，20，40，則總樣本的方差為__▲__.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.（13分）已知復數z滿足方程，其中i為虛數單位，.（1）當時，求；（2）若，求的最小值.16.（15分）正方體棱長為2，，分別為和的中點．(1)證明：直線平面;(2)求直線與平面所成角的正切值．17.（15分）為貫徹落實黨的二十大關于深化全民閱讀活動的重要部署，進一步推動青少年學生閱讀深入開展，促進全面提升育人水平，教育部決定開展全國青少年學生讀書行動.某校實施了全國青少年學生讀書行動實施方案.現從該校的2400名學生中發放調查問卷，隨機調查100名學生一周的課外閱讀時間，將統計數據按照[0，20），[20，40），…[120，140]分組后繪制成如圖所示的頻率分布直方圖（單位：分鐘）(1)若每周課外閱讀時間1小時以上視為達標，則該校達標的約為幾人（保留整數）；(2)估計該校學生每周課外閱讀的平均時間；(3)估計該校學生每周課外閱讀時間的第75百分位數（結果保留1位小數）.18.（17分）如圖，已知三棱臺的體積為，平面平面，是以為直角頂點的等腰直角三角形，且，（1）證明：平面；（2）求點到面的距離;（3）在線段上是否存在點，使得二面角的大小為，若存在，求出的長，若不存在，請說明理由.19.（17分）球面幾何學是在球表面上的幾何學，也是非歐幾何的一個例子.對于半徑為的球，過球面上一點作兩條大圓的弧，它們構成的圖形叫做球面角，記作，其值為二面角的大小,點稱為球面角的頂點，大圓弧稱為球面角的邊.不在同一大圓上的三點，可以得到經過這三點中任意兩點的大圓的劣弧，這三條劣弧組成的圖形稱為球面.這三條劣弧稱為球面的邊，三點稱為球面的頂點；三個球面角稱為球面的三個內角.已知球心為的單位球面上有不同在一個大圓上的三點.（1）球面的三條邊長