人教A版必修一第三章

第1節函數與方程3.1.2用二分法求方程的近似解3.1函數與方程3.1.2用二分法求方程的近似解1.通過具體實例理解二分法的概念及其適用條件，了解二分法是求方程近似解的常用方法.2.會用二分法求一個函數在給定區間內的零點近似值.從而求得方程的近似解.學習目標、重點導復習思考：1.函數的零點2.零點存在的判定

對于方程（1），可以利用一元二次方程的求根公式求解,但對于方程(2)，我們卻沒有公式可用來求解.思考問題：

請同學們觀察下面的兩個方程，說一說你會用什么方法來求解方程.

1.二分法的概念對于在區間[a，b]上連續不斷且

的函數y＝f(x)，通過不斷地把函數f(x)的零點所在的區間

，使區間的兩個端點

，進而得到零點近似值的方法叫做二分法.由函數的零點與相應方程根的關系，可用二分法來求

.f(a)·f(b)<0一分為二逐步逼近零點方程的近似解思2.用二分法求函數f(x)零點近似值的步驟(1)確定區間[a，b]，驗證

，給定精確度ε；(2)求區間(a，b)的中點

；(3)計算f(c)；①若f(c)＝0，則

；②若f(a)·f(c)<0，則令b＝c(此時零點x0∈

)；③若f(c)·f(b)<0，則令a＝c(此時零點x0∈

).f(a)·f(b)<0c就是函數的零點c(a，c)(c，b)(4)判斷是否達到精確度ε：即若|a－b|<ε，則得到零點近似值a(或b)；否則重復(2)～(4).一元二次方程可用判別式判定根的存在性，可用求根公式求方程的根.但對于一般的方程，雖然可用零點存在性定理判定根的存在性，而沒有公式求根，如何求得方程的根？探究點一二分法的概念思考1上節課，我們已經知道f(x)＝lnx＋2x－6的零點在區間(2,3)內，如何縮小零點所在區間(2,3)的范圍？

答

①取區間(2,3)的中點2.5.②計算f(2.5)的值，用計算器算得f(2.5)≈－0.084.因為f(2.5)·f(3)<0，所以零點在區間(2.5,3)內.思考2如何進一步的縮小零點所在的區間？答

再取區間(2.5,3)的中點2.75，用計算器算得f(2.75)≈0.512.因為f(2.5)·f(2.75)＜0，所以零點在區間(2.5,2.75)內.這樣一來，零點所在的范圍越來越小了.思考3若給定精確度0.3，如何選取近似值？

答

當精確度為0.3時，由于|2.75－2.5|＝0.25＜0.3，所以可以將x＝2.5作為函數f(x)＝lnx＋2x－6的零點近似值，當然區間[2.5,2.75]內的任意一個值都是函數零點的近似值，常取區間的端點作為零點的近似值.小結二分法的定義：對于在區間[a，b]上連續不斷且f(a)·f(b)＜0的函數y＝f(x)，通過不斷地把函數f(x)的零點所在的區間一分為二，使區間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法.探究點二二分法求函數零點近似值的步驟思考1

對下列圖象中的函數，能否用二分法求函數零點的近似值？為什么？答不能.因為不存在一個區間[a，b]，使f(a)·f(b)<0.不變號零點思考2通過對函數f(x)＝lnx＋2x－6的零點近似值的探索過程，你能總結用二分法求一般函數f(x)零點近似值的步驟嗎？答

用二分法求函數零點近似值的基本步驟：1.確定區間[a，b]，驗證f(a)·f(b)<0，給定精確度ε；2.求區間(a，b)的中點c；3.計算f(c)：(1)若f(c)＝0，則c就是函數的零點；(2)若f(a)·f(c)<0，則令b＝c(此時零點x0∈(a，c))；(3)若f(c)·f(b)<0，則令a＝c(此時零點x0∈(c，b))；4.判斷是否達到精確度ε：即若|a－b|<ε，則得到零點近似值a(或b)；否則重復步驟2～4.周而復始怎么辦?精確度上來判斷.定區間，找中點，中值計算兩邊看.同號去，異號算，零點落在異號間.口訣探究點三用二分法求方程的近似解思考如何把求方程的近似解化歸為求函數的零點？答對于求形如f(x)＝g(x)的方程的近似解，可以通過移項轉化成求形如F(x)＝f(x)－g(x)＝0的方程的近似解，然后按照二分法求函數零點近似值的步驟求解.

例1借助計算器或計算機用二分法求方程2x＋3x＝7的近似解.(精確度0.1)解原方程即2x＋3x－7＝0，令f(x)＝2x＋3x－7，用計算器或計算機作出函數f(x)＝2x＋3x－7的對應值表與圖象如下：議觀察圖或表可知f(1)·f(2)＜0，說明這個函數在區間(1,2)內有零點x0.取區間(1,2)的中點x1＝1.5，用計算器算得f(1.5)≈0.33.因為f(1)·f(1.5)＜0，所以x0∈(1,1.5).再取區間(1,1.5)的中點x2＝1.25，用計算器算得f(1.25)≈－0.87.因為f(1.25)·f(1.5)＜0，所以x0∈(1.25,1.5).同理可得，x0∈(1.375，1.5)，x0∈(1.375,1.4375).由于|1.375－1.4375|＝0.0625＜0.1，所以，原方程的近似解可取為1.4375.反思與感悟用二分法求函數零點的近似值關鍵有兩點：一是初始區間的選取，符合條件(包括零點)，又要使其長度盡量小；二是進行精確度的判斷，以決定是停止計算還是繼續計算.跟蹤訓練1用二分法求函數f(x)＝x3－x－1在區間[1,1.5]內的一個零點.(精確度0.01)解經試算f(1)<0，f(1.5)>0，所以函數在[1,1.5]內存在零點x0.取(1,1.5)的中點x1＝1.25，經計算f(1.25)<0，因為f(1.5)·f(1.25)<0，所以x0∈(1.25,1.5).如果繼續下去，如下表：因為|1.328125－1.3203125|＝0.0078125<0.01，所以函數f(x)＝x3－x－1精確度為0.01的一個近似零點可取為1.328125.例2求方程x2＝2x＋1的一個近似解.(精確度0.1)解設f(x)＝x2－2x－1.∵f(2)＝－1<0，f(3)＝2>0，∴在區間(2,3)內，方程x2－2x－1＝0有根，記為x0.取2與3的中點2.5，∵f(2.5)＝0.25>0，∴2<x0<2.5；再取2與2.5的中點2.25，∵f(2.25)＝－0.4375<0，∴2.25<x0<2.5；如此繼續下去，有f(2.375)<0，f(2.5)>0?x0∈(2.375,2.5)；f(2.375)<0，f(2.4375)>0?x0∈(2.375,2.4375)，∵|2.375－2.4375|＝0.0625<0.1，∴方程x2＝2x＋1的一個精確度為0.1的近似解可取為2.4375.反思與感悟“二分法”與判定函數零點的定義密切相關，只有滿足函數圖象在零點附近連續且在該零點左右函數值異號才能應用“二分法”求函數零點.跟蹤訓練2借助計算器或計算機，用二分法求方程x＝3－lgx在區間(2,3)內的近似解.(精確度0.1)解原方程即x＋lgx－3＝0，令f(x)＝x＋lgx－3，用計算器可算得f(2)≈－0.70，f(3)≈0.48，于是f(2)·f(3)＜0，所以，這個方程在區間(2,3)內有一個解.下面用二分法求方程x＝3－lgx在區間(2,3)內的近似解.取區間(2,3)的中點x1＝2.5，用計算器可算得f(2.5)≈－0.10.因為f(2.5)·f(3)＜0，所以x0∈(2.5,3).再取區間(2.5,3)的中點x2＝2.75，用計算器可算得f(2.75)≈0.19.因為f(2.5)·f(2.75)＜0，所以x0∈(2.5,2.75).同理可得x0∈(2.5,2.625)，x0∈(2.5625,2.625).由于|2.625－2.5625|＝0.0625＜0.1，所以原方程的近似解可取為2.5625.1.下面關于二分法的敘述，正確的是(

)A.用二分法可求所有函數零點的近似值B.用二分法求方程的近似解時，可以精確到小數點后的任一位C.二分法無規律可循D.只有在求函數零點時才用二分法展解析只有函數的圖象在零點附近是連續不斷且在該零點左右函數值異號，才可以用二分法求函數的零點的近似值，故A錯；二分法有規律可循，可以通過計算機來進行，故C錯；求方程的近似解也可以用二分法，故D錯.答案B2.觀察下列函數的圖象，判斷能用二分法求其零點的是(

)解析由圖象可知A中零點左側與右側的函數符號不同，故可用二分法求零點.答案A3.設f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1,2)內近似解的過程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，則方程的根落在區間(

)A.(1,1.25) B.(1.25,1.5)C.(1.5,2) D.不能確定解析∵f(1.5)·f(1.25)＜0，∴方程的根落在區間(1.25,1.5)內.B4.若函數f(x)＝x3＋x2－2x－2的一個正數零點附近的函數值用二分法計算，其參考數據如下：那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一個近似根為________.(精確度0.1)解析因f(1.375)·f(1.4375)<0，且由表知|1.4375－1.375|＝0.0625<0.1，所以方程x3＋x2－2x－2＝0的一個近似根為1.4375.答案1.4375(不唯一)1.二分就是