九年級數學上冊第2章一元二次方程單元測試卷（湘教版2024年秋）一、選擇題(每題3分，共30分)題序12345678910答案1.下列方程中，一定是關于x的一元二次方程的是()A.eq\f(1,x2)－x－1＝0 B．ax2＋bx＋c＝0C．(x＋1)(x－2)＝x2 D．3x2＋1＝02．已知x＝2是一元二次方程x2＋bx－b＝0的解，則b的值為()A．－2 B．－4 C．0 D．43．一元二次方程2x2－x(x－4)＝5的一般形式是()A．x2－4x＋5＝0 B．x2＋4x＋5＝0C．x2＋4x－5＝0 D．3x2－4x＋5＝04．用配方法將方程x2－6x＋5＝0化成(x＋a)2＝b的形式，則b的值是()A．1 B．－1 C．4 D．－45．方程x(x－1)＝0的根是()A．x1＝0，x2＝－1 B．x1＝0，x2＝1C．x1＝x2＝0 D．x1＝x2＝16．一元二次方程2x2－4x＋3＝0的根的情況是()A．有一個實數根 B．有兩個相等的實數根C．有兩個不相等的實數根 D．沒有實數根7．解方程2(4x－3)2＝3(4x－3)最適當的方法是()A．直接開平方法 B．配方法C．公式法 D．因式分解法8．關于x的方程2x2－4x－k＝0有兩個相等的實數根，則k的值為()A．1 B．2 C．－1 D．－29．《中秋帖》是晉朝書法家王獻之的作品．如圖，在一幅長為65cm，寬為30cm的《中秋帖》矩形書法作品的四周鑲上相同寬度的金色紙邊，制成一幅矩形掛圖，設金色紙邊的寬為xcm，如果要使整個掛圖的面積是2450cm2，那么x滿足的方程是()(第9題)A．(65＋2x)(30＋2x)＝2450 B．(65＋x)(30＋x)＝2450C．(65＋x)(30＋2x)＝2450 D．(65＋2x)(30＋x)＝245010．已知一個直角三角形的兩條直角邊長相差3cm，面積是20cm2，則較長的直角邊的長為()A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm二、填空題(每題3分，共18分)11．若方程(m＋2)x2＋mx－5＝0是關于x的一元二次方程，則m的取值范圍為________．12．一元二次方程x2＋x－2＝0的根的判別式的值為________．13．若x＝m是方程x2＋2x－2024＝0的一個根，則m(m＋2)的值為________．14．若關于x的一元二次方程x2＋2x－m＝0有兩個不相等的實數根，則m的取值范圍是________．15．若關于x的一元二次方程x2－3x＋n＝0的兩根x1，x2滿足x1＋x2－2＝x1x2，則n的值是________．16．我國古代數學家趙爽創制了一幅“趙爽弦圖”，極富創新意識地給出了勾股定理的證明．如圖，“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形與中間一個小正方形拼成的一個大正方形，若大正方形的面積是25，小正方形的面積是1，則AF的長度是________．(第16題)三、解答題(17題12分，18，19題每題8分，20～22題每題10分，23題14分，共72分)17．解下列方程：(1)(x－5)2－25＝0；(2)x2－2x－3＝0；(3)x2－4x－5＝0；(4)x2＋3x－4＝0.18．對于任意實數a，b，定義一種運算：a?b＝a2＋b2－ab，若x?(x－1)＝3，求x的值．19．先化簡，再求值：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋1－\f(3,x－1)))÷eq\f(x2－4x＋4,x－1)，其中x滿足方程x2－6x＋8＝0.20．已知關于x的一元二次方程x2－2mx＋3＝0.(1)當m＝1時，判斷方程根的情況；(2)當m＝2時，求方程的根．21．已知關于x的方程x2－2mx＋m2－9＝0.(1)求證：此方程有兩個不相等的實數根；(2)設此方程的兩個根分別為x1，x2，若x1＋x2＝6，求m的值．22．如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，點P從點A開始沿AB邊向點B以1cm/s的速度移動，同時點Q從點B開始沿BC邊向點C以2cm/s的速度移動．若P、Q兩點中有一點到達終點，則同時停止運動．(1)幾秒后，△PBQ的面積為4cm2?(2)幾秒后，PQ的長度等于5cm?(3)△PBQ的面積能否等于7cm2？請說明理由．(第22題)23．根據以下素材，完成探索任務．探索果園土地規劃和銷售利潤問題素材1某農戶承包了一塊矩形果園ABCD，如圖是果園的平面圖，其中AB＝200m，BC＝300m．準備在它的四周鋪設道路，上下兩條橫向道路的寬度都為2xm，左右兩條縱向道路的寬度都為xm，中間部分種植水果．已知道路的路面造價是50元/m2；出于貨車通行等因素的考慮，縱向道路寬度不超過12m，且不小于5m.探索果園土地規劃和銷售利潤問題素材2該農戶發現某一種草莓銷售前景比較不錯，經市場調查發現，草莓培育一年可產果，已知每平方米的草莓銷售平均利潤為100元；果園每年的承包費為25萬元，期間需一次性投入33萬元購進新苗，每年還需25萬元的養護、施肥、運輸等其余費用.問題解決任務1解決果園中路面寬度的設計對種植面積的影響.(1)請直接寫出x的取值范圍；(2)若中間種植的面積是44800m2，則路面設置的寬度是否符合要求？任務2解決果園種植的預期利潤問題．(凈利潤＝草莓銷售的總利潤－路面造價費用－果園承包費用－新苗購置費用－其余費用)(3)經過1年后，農戶是否可以達到預期凈利潤400萬元？請說明理由.

答案一、1.D2.B3.C4.C5.B6.D7.D8.D9．A思路點睛：先用含x的代數式分別表示掛圖的長與寬，然后根據整個掛圖的面積是2450cm2列出方程即可．10．D二、11.m≠－212.913.202414.m>－115.116．4點撥：因為大正方形的面積是25，小正方形的面積是1，四個直角三角形全等，所以AB＝5，EF＝1，AE＝BF.設AF＝x，則BF＝AE＝AF－EF＝x－1.因為AF2＋BF2＝AB2，所以x2＋(x－1)2＝52，解得x＝4或x＝－3(舍去)，所以AF＝4.三、17.解：(1)(x－5)2－25＝0，(x－5)2＝25，x－5＝±5，x＝±5＋5，所以x1＝10，x2＝0.(2)分解因式，得(x＋1)(x－3)＝0，所以x＋1＝0或x－3＝0，解得x1＝－1，x2＝3.(3)移項，得x2－4x＝5，配方，得x2－4x＋4＝5＋4，所以(x－2)2＝9，所以x－2＝±3，所以x1＝5，x2＝－1.(4)這里a＝1，b＝3，c＝－4，因而Δ＝32－4×1×(－4)＝9＋16＝25，所以x＝eq\f(－3±\r(25),2×1)＝eq\f(－3±5,2)，所以x1＝1，x2＝－4.18．解：由題意，得x2＋(x－1)2－x(x－1)＝3，整理，得x2－x－2＝0，分解因式得(x－2)(x＋1)＝0，所以x－2＝0或x＋1＝0.所以x1＝2，x2＝－1.19．解：原式＝eq\f(（x＋1）（x－1）－3,x－1)÷eq\f(（x－2）2,x－1)＝eq\f(x2－4,x－1)·eq\f(x－1,（x－2）2)＝eq\f(（x＋2）（x－2）,x－1)·eq\f(x－1,（x－2）2)＝eq\f(x＋2,x－2).因為x2－6x＋8＝0，所以(x－2)(x－4)＝0，解得x1＝2，x2＝4，由題意得x－1≠0，x－2≠0，所以x≠1且x≠2，所以x＝4，所以原式＝eq\f(x＋2,x－2)＝eq\f(4＋2,4－2)＝3.20．解：(1)當m＝1時，方程為x2－2x＋3＝0，所以Δ＝(－2)2－4×1×3＝4－12＝－8<0，所以方程沒有實數根．(2)當m＝2時，方程為x2－4x＋3＝0，所以(x－1)(x－3)＝0，解得x1＝1，x2＝3.21．(1)證明：根據題意可知Δ＝(－2m)2－4(m2－9)＝4m2－4m2＋36＝36>0，所以方程有兩個不相等的實數根．(2)解：由題意得x1＋x2＝2m，所以2m＝6，解得m＝3.22．解：設運動時間為xs(0<x≤3.5)，則AP＝xcm，BQ＝2xcm，所以BP＝(5－x)cm.(1)因為S△PBQ＝eq\f(1,2)BP·BQ，所以eq\f(1,2)(5－x)·2x＝4，整理得x2－5x＋4＝0，解得x1＝1，x2＝4(不符合題意，舍去)，所以x＝1.答：1s后，△PBQ的面積為4cm2.(2)因為∠B＝90°，所以BP2＋BQ2＝PQ2，因為PQ＝5cm，所以(5－x)2＋(2x)2＝52，整理得x2－2x＝0，解得x1＝0(不符合題意，舍去)，x2＝2.答：2s后，PQ的長度等于5cm.(3)△PBQ的面積不可能等于7cm2，理由如下：假設S△PBQ＝7cm2，即eq\f(1,2)(5－x)·2x＝7，整理，得x2－5x＋7＝0，可得Δ＝(－5)2－4×1×7＝25－28＝－3<0，所以方程沒有實數根，所以△PBQ的面積不可能等于7cm2.23．解：(1)根據題意可得x的取值范圍為5≤x≤12.(2)根據題意得(300－2x)(200－4x)＝44800，整理得x2－200x＋1900＝0，解得x1＝10，x2＝190，因為5≤x≤12，所以x＝10符合題意，所以路面設置的寬度符合要求．(3)經過1年后，農戶