華師大版八年級上冊數學全冊優質課件數的開方

平方根預習檢測答案1、1，1；4，4；9，9；16，16；25，25；36，36；49，49；64，64；81，81；100，100；2、⑴±13，169；⑵±0.9,±143、⑴解:∵，,∴49的平方根為±7;⑵解:∵，,∴81的平方根為±9;⑶解:∵，,∴1.44的平方根為±1.2;⑷解:∵，,∴196的平方根為±14;4、⑴√；⑵×；⑶√

；⑷×；⑸×問題1：如果一個數的平方等于1000，那么這個數是多少？這兩個問題實際上是求中的“？”.問題2：

問題1和問題2的實質是：已知乘方的結果，求底數的問題.

如何解決這個問題呢？我們先看一個簡單的小問題：一個數的平方是9，那么這個數是什么數？所以這個數是3或－3.

就是說，如果，那么x就叫做a的平方根。

一般地，如果一個數的平方等于a，這個數就叫做a的平方根（squareroot,或二次方根）。例如，3和－3都是9的平方根.你還能舉出類似的例子嗎？一、平方根概念及其表示法：試一試：（1）什么數的平方是144？144的平方根是什么？（2）什么數的平方是0？0的平方根是多少？（3）什么數的平方是0.81？0.81的平方根是多少？

（5）－4有沒有平方根？為什么？

(6)16，49，64，81都是正數，它們有幾個平方根?平方根之間有什么關系?

通過觀察，你能發現一個數的平方根有什么規律嗎？想一想二、平方根性質：1、一個正數有

個平方根，它們

。2、0的平方根是

。3、負數

平方根。互為相反兩0沒有例1

.求下列各數的平方根：（1）81；（2）；（3）；（4）0.49;解：(1)∵

(±9)2=81，（2）的平方根是，（3）

的平方根是，

(4)∵(±0.7)2=0.49，

∴0.49的平方根為±0.7．

∴81的平方根為±9．1、寫出下列各數的平方根：（1）49；（2）1600；（3）169；（4）0.81；（5）0.0036；（6）1.44；

練一練請記住老師示范的解題格式噢！三、算術平方根概念及其性質：正數的正的平方根叫做的算術平方根,記作;0的算術平方根是0正數的正的平方根,用符號表示;正數的負的平方根,用符號表示;練一練2、堂堂清練習。3、完成質量檢測練習堂堂清答案1、±0.6,0.36;2、±9,0.6；3、D4、D5、C6、解:∵

∴121的算術平方根為11，即解:∵

∴144的算術平方根為12，即解:∵

∴169的算術平方根為13，即、解:∵

∴196的算術平方根為14，即7、略質量檢測答案1、⑴±15；⑵±0.14；⑶-7；⑷±12⑸1692、D3、54、645、±2，±126、⑴0.9；⑵；⑶16；⑷請談談你這節課的收獲a的平方根底數冪被開方數互為逆運算指數根號你記住平方根與算術平方根的區別和聯系了嗎?布置作業:預習下一課,在書上完成課后練習,完成預習檢測題.祝你進步,再見!

立方根2.當a≥0時，式的意義各是什么?

答：1.如果一個數x的平方等于a,即那么x叫做a的平方根,表示為。

正數有兩個平方根,它們互為相反數,0的平方根是0,負數沒有平方根。2.當a≥0時,表示a的算術平方根,

表示a的負的平方根,表示a的平方根。復習1.平方根是如何定義的?

平方根有哪些性質?類比平方根的定義，你能否說出立方根的定義？新課記作：.讀作“三次根號a”，其中a是被開方數，3是根指數，且根指數3不能省略，否則與平方根混淆。立方根的概念：如果一個數的立方等于a，這個數就叫做a的立方根.（也叫做數a的三次方根）。換句話說,如果,那么x叫做a的立方根或三次方根。

求一個數的立方根的運算叫做開立方.

2.

開立方例1求下列各數的立方根：

(1)8；(2)－8；(3)0.216；(4)－；(5)0.

解:

(1)∵，∴8的立方根是2，即=2。問：除2以外，還有什么數的立方等于8？就是說，正數8還有別的立方根嗎？

開立方與立方互為逆運算。(3)∵0.63=0.216，∴0.216的立方根是0.6，即．(4)∵，∴的立方根是，即(5)∵，∴0的立方根是0，即問：一個正數有幾個立方根？一個負數有幾個立方根？零的立方根是什么？(2)∵，∴－8的立方根是－2，即=－2

結論：一個數的立方根是唯一的。解：

(1)；(2)；(3)；

(4)；(5)立方根的性質：

正數有一個正的立方根；負數有一個負的立方根；零的立方根仍舊是零.例2求下列各式的值：(1)；(2)；(3)；(4)；(5).

請同學們求出下列各式的值：(1)；(2)解：思考：從上面的計算結果可以得到什么結論？

答：一個負數的立方根等于它的絕對值的立方根的相反數.即：如果a>0，那么由此得到：求一個負數的立方根的另一種方法，即可以先求出這個負數的絕對值的立方根，然后再取它的相反數.

測一測練習1.判斷正誤:(1)的立方根是；(2)互為相反數的立方根互為相反數；(3)任何數的立方根只有一個；(4)如果一個數的平方根與其立方根相同，則這個數是1；(5)如果一個數的立方根是這個數的本身，那么這個數一定是零；(6)一個數的立方根不是正數就是負數。(×)(×)(×)(×)(√)(√)4－7練習2.填空:

(1)64的平方根是________,64的立方根是________。(2)的立方根是________。(3)是_______的立方根。

±8

小結：

1．知識點:2．方法:（1）立方根的概念

(2）立方根的性質(1)求一個數的立方根，通過立方運算來求。

(2)

遇到求負數的立方根問題，可轉化為正數的立方根來解決，即通過來實現。(3)

3．注意問題平方根與立方根的聯系與區別

（1）0的平方根、立方根都有一個,都是0。

（2）平方根、立方根都是開方的結果。

區別:

(1)定義不同；(2)個數不同；(3)表示方法不同；

(4)被開方數的取值范圍不同,

中被開方數a是非負數；

中被開方數a是任何有理數。聯系:試一試

1.已知：x-2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，求的平方根和立方根。2.已知,

求的值。

知識源于悟

作業:P7第1、2題“

的平方根是

”

思考：一個正方體的體積變為原來的n倍，它的棱長變為原來的多少倍？實數與數軸1．有理數包括哪些數？有理數整數分數正整數零負整數正分數負分數有理數正有理數零負有理數正整數正分數負整數負分數2．有理數中的分數能化為小數嗎？化為什么樣的小數？舉例加以說明

答：任何一個分數寫成小數的形式，必是

有限小數或者無限循環小數。

例如

實數與數軸(一)

做一做

在數學上已經證明，沒有一個有理數的平方等于2，也就是說，不是一個有理數。

=1.4142135623730950488016887242096980785696

71875376948073176679737990732478462107038

85038753432764157273501384623091229702492

48360558507372126441214970999358314132226659275055927557999505011527820605715…

無理數：無限不循環小數叫做無理數（irrationalnumber）．實數：有理數與無理數統稱為實數（Realnumbers）．定義新知實數的分類：

實數

有理數

無理數

整數

分數

正整數

零

負整數

(可化為有限小數或無限循環小數)

(無限不循環小數)

無理數常有的表現形式:

不能開盡根的根號式

及

π

例1判斷正誤，在后面的括號里對的用“√”，錯的記“×”表示，并說明理由。(1)無理數都是開方開不盡的數。()(2)無理數都是無限小數。()(3)無限小數都是無理數。()(4)無理數包括正無理數、零、負無理數()(5)帶根號的數都是無理數。()(6)有理數都是有限小數。()

實數與數軸(一)

實數與數軸(一)

實數的相反數、絕對值意義和有理數是一樣的

如：的相反數是，的相反數是，0的相反數是。

在第2章學過的有關有理數的相反數和絕對值等概念、大小比較、運算法則以及運算律，對于實數也適用．0-√2

01-1√2如圖是兩個邊長1的正方形操作探索拼成的長方形,其面積是2。

現剪下兩個角重新拼成一個

正方形,

新正方形的邊長是_____

√2

√2

2√2

下圖數軸中,正方形的對角線長為____,以原點為圓心,對角線長為√2

半徑畫弧截得一點,

該點與原點的距離是____,√2

該點表示的數是____.√2

√2-概括

數軸上的任一點表示的數，不是有理數，就是無理數．數學上可以說明：數軸上的任一點必定表示一個實數；反過來，每一個實數（有理數或無理數）也都可以用數軸上的點來表示。換句話說，實數與數軸上的點一一對應．

正實數的大小比較和運算，通常可取它們的近似值來進行

實數與數軸(一)

實數與數軸(一)

練習1.判斷下列說法是否正確：（1）兩個數相除，如果不管添多少位小數，永遠都除不盡，那么結果一定是一個無理數。（2）任意一個無理數的絕對值是正數。2.計算：（結果保留兩位小數）3.比較下列各組數中兩個實數的大小：（1）

（2）

小結：

實數與數軸(一)

1．判斷一個數是不是無理數，必須看它是否同時滿足兩個條件：無限小數和不循環小數這兩者缺一不可。2．帶根號的數并不都是無理數，而開方開不盡的數才是無理數。3．掌握實數的不同分類法。同底數冪的乘法你還記得嗎？指數底數冪它的意義呢？n個問題一、光的速度為3×千米/秒，太陽光照射到地球上大約需要5×秒，地球距太陽大約多遠？問題二、光在真空中的速度為3×千米/秒，太陽系以外距地球最近的恒星是比鄰星，它發出的光到達地球約4.22年，一年以3×秒計算，比鄰星與地球距離約多少千米？根據路程=時間×速度

有地球與太陽的距離=千米比鄰星與地球的距離=千米如何計算和呢？根據冪的意義：2個105個10=7個10=

我們觀察可以發現，和這兩個因數底數相同，是同底的冪的形式所以我們把這種運算叫做同底數冪的乘法你知道了嗎？計算下列各式：（m,n都是正整數）你發現了什么？計算前后底數和指數有什么變化？用自己的語言描述等于什么？（m,n都是正整數）議一議am·an

等于什么（m,n都是正整數）？am·an=（a·a·…·a）（a·a·…·a）m個an個a=a·a…·a（m+n）個a=am+n,即

am·an=am+n（m，n都是正整數）。同底數冪相乘，底數不變，指數相加計算：對前面兩個問題如何解？地球與太陽的距離=千米比鄰星與地球的距離=千米千米千米判斷：（1）（2）（4）（3）（5）（6）（7）（8）√√××××××Areyouclear?例1.計算：解例2計算:解底數（a-b)與(b-a)互為相反數，要利用符號的轉化把他們轉化為相同的底數。例3計算：解練習15m+3()0;__________)274mmm=×=課時小結

這節課我們學習了同底數冪的乘法的運算性質，你有何新的收獲和體會？（m,n都是正整數）智力大沖浪已知2m=32n=4求2m+n的值解：2m+n

＝2m*2n

＝3*4=122、已知：2x=3求2x+3的值3、已知：（am+1bn＋2）（a2n-1b2m）＝a5b3求m+n的值。冪的乘方同底數冪的除法同學們,還記得同底數冪的乘法是怎樣運算的嗎?例如:同底數冪的乘法法則:即：同底數冪相乘，底數不變，指數相加。試一試:用你熟悉的方法計算:概括:一般地,設m、n為正整數，m>n,a≠0,有即：同底數冪相除，底數不變，指數相減。下列計算是否正確？并說明理由1、2、3、4、5、出題意圖：對幾種容易混淆的運算區分。解題關鍵：先確定是屬何種運算，再準確運用相應法則。回顧整式的加減：1、整式加減的關鍵是：合并同類項

合并同類項法則：把同類項的系數相加，所得結果作為系數，字母和字母的指數保持不變。小結：冪的運算1、同底數冪相乘，底數不變指數相加；2、同底數冪相除，底數不變指數相減；3、積的乘方等于乘方的積；4、冪的乘方，底數不變指數相乘；例題分析：點評：(1)底數可以是數,也可以是單項式、多項式；(2)商的結果若能化簡，則要求化簡。例題分析：注:底數不同時,要化為相同的.方法一：先化為同底數冪，再運算；方法二：先確定商的符號，再運算；1、2、出題意圖：（1）注意符號的確定；（2）注意底數的變化；（3）挑戰新高：計算：整體思想計算：1、2、3、4、出題意圖：這是整式的混合運算，要根據混合運算的法則：先乘方，后乘除，再加減，有括號先算括號的運算順序進行。綜合運用：探索與思考計算課堂小結:

通過本堂課的學習,你學到了什么新知識?又會哪些新的解題技巧?鞏固反饋：請回憶一下昨天學習的內容同底數冪的乘法法則：am·an=am+n其中m,n都是正整數

同底數冪相乘，底數不變，指數相加語言敘述：根據乘方的意義及同底數冪的乘法填空。(1)(23)2＝23×23＝2()；(2)(32)3＝()×()×()＝3()；

(3)(a3)5＝a3×()×()×()×()=a(

)。(觀察結果中冪的指數與原式中冪的指數及乘方的指數，猜想它們之間有什么關系?結果中的底數與原式的底數之間有什么關系?)63232326a3a3a3a315(am)n=n個=am+m+…mn個=amn冪的乘方的法則

(am·am

…am)冪的乘方法則：（am）n=amn其中m,n都是正整數語言敘述：

冪的乘方，底數不變，指數相乘例1計算:隨堂練習

1、計算：

3、選擇題≠

（）。

A、n是奇數B、n是偶數

C、n是正整數D、n是整數提高訓練2、在括號內填上指數或底數積的乘方情景引入小明和小華今年都上初二了,他們兩個進行了一場比賽,看誰先算出誰就勝,小明用了三分鐘,小華一下子就寫出了正確答案,你知道小華用了什么靈丹妙藥嗎?同學們你們想擁有這種靈丹妙藥嗎?探究1

:二.思考:(1)觀察上面幾道題的計算結果,你能發現什么規律?(2)你能猜測到,當n為正整數時,你能用上面類似的方法說明為什么嗎?223344積的乘方法則即:積的乘方,等于把積的每個因式分別乘方,再把所得的冪相乘.利用這個法則,可以直接計算多個因式積的乘方.探究2計算例3

看誰做的又對又快!鞏固練習1.計算:

2.判斷下列計算是否正確,并說明理由質疑再探你對本節課還有哪些疑問?請同學們大膽的說出來,老師期待著你的參與!探究三能力拓展課堂小結本節課我們學習了積的乘方,等于積中每個因式分別乘方,并把所得的冪相乘.由特殊到一般的歸納方法再次在我們者節課中出現,同學們在學習中要善于從特殊中去發現規律,總結規律.課堂作業單項式與單項式相乘復習:(1)b3.b2=_______(2)x2.x=________(3)(y2)5=________(4)(102)4=________(5)(－a)3=________(6)(－3a2)3=________(7)(－2a3b)2=________b5x3y10108－a3－27a64a6b2計算:2x3

?5x2試一試計算:2x3

?5x2y提示:將2x3和5x2分別看成2?x3和5?x2,利用乘法交換律和結合律思考：單項式與單項式相乘有何運算法則？例1計算：（1）

3x2y?

（－2xy3）；（2）（－5a2b3）?

（－4b2c）解：（1）3x2y?(－

2xy3) =[3?(－

2)]?（x2

?x）?（y?y3）

＝

－6x3y4

（2）（－5a2b3）?

（－4b2c）

＝[（－5）?(－4)]?a2?

（b3

?b2）?c

＝20a2b5c概括

單項式和單項式相乘主要是利用乘法交換律、結合律(1)系數相乘作為積的系數。(2)相同字母的因式，應用同底數冪。

的運算法則，底數不變，指數相加。(3)只在一個單項式里含有的字母，

連同它的指數也作為積的一個因式。計算：（1）3a2

?2a3；（2）（－9a2b3）?8ab2；（3）（－3a2）3

?

（－2a3）2

（4）－3xy2z?

（x2y）2例2衛星繞地球運動的速度（即第一宇宙速度）約為7.9×103米/秒，則衛星運行3×102秒所走的路程約是多少？解:

7.9×103×3×102

＝23.7×105

＝2.37×106

答：衛星運行3×102秒所走的路程約是2.37×106米。

103×102=1057.9

×3=23.71、速約為3×108米/秒，太陽光射到地球上的時間約為5×102秒，則地球與太陽的距離約是多少米？2、小明的步長為a厘米，他量得客廳常15步，寬14步，請問小明家客廳有多少平方米？能力提高計算:(1)(2x2y)

?(－

3xy3)

?(x2y2z)(2)(4×103)

?(3×102)?(0.25×104)(3)(－

xn-2y3)?(－

x2ym)

=－

6x5y6z=3×109(4)0.5a2b?4a2b－(－10a)a3b2課堂小結本節內容是單項式乘以單項式，重點是放在對運算法則的理解和應用上，請問：你能歸納出單項式乘以單項式的運算法則嗎？

(1)系數相乘作為積的系數。(2)相同字母的因式，應用同底數冪

的運算法則，底數不變，指數相加。(3)只在一個單項式里含有的字母，

連同它的指數也作為積的一個因式。小測(1)下面計算中,正確的是()A、4a3

?2a2=8a6B、2x4

?3x4=6x8C、3x2

?4x2=12x2D、3y3

?5y4=15y12(2)5a2b3

?(－

5ab)2

等于（）

A、－125a4b5B、125a4b5C、125a3b4D、125a4b6（3）填空:(3x2y)3?(－

4xy2)=______（4）填空:(－

3×103)

?(－

4×102)=

_______BB－

12x7y51.2×10

6單項式與多項式相乘復習提問：1.請說出單項式與單項式相乘的法則：

單項式相乘，把它們的系數、相同字母分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數作為積的一個因式。2.什么叫多項式?

幾個單項式的和叫做多項式。在多項式中，每個單項式叫做多項式的項。3.什么叫多項式的項?(-ab2)(-3.5a3b5c2)=3.5a4b7c25x2y·(-3x3y2)·(-xy)2=5x2y·(-3x3y2)=-15x7y5·(x2y2)計算：(-2a)?

(2a2

-3a+1)6×(+-)計算：=6×+6×+

6×(-)

m(a+b+c)=ma+mb+mcmambmcmabc

設長方形長為（a+b+c），寬為m，則面積為m（a+b+c）；

這個長方形可分割為寬為m，長分別為a，b，c的三個小長方形，它們的面積之和為ma+mb+mc.

∴m(a+b+c)=ma+mb+mc計算：(-2a)?

(2a2

-3a+1)=(-2a)?2a2+(-2a)

?(-3a)+(-2a)

?1=-4a3+6a2-2a（乘法分配律）（單項式乘法）單項式與多項式相乘法則

單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加。例1計算：(1)(-4x)(2x2+3x-1)解：原式=(-4x)?2x2+(-4x)?3x+(-4x)?(-1)=-8x3-12x2+4x

（2）ab(ab2-2ab)解：原式=a2b3–a2b2單項式與多項式相乘時，分兩個階段：①按乘法分配律把乘積寫成單項式與單項式乘積的代數和的形式；②單項式的乘法運算。幾點注意：1.單項式乘多項式的結果仍是多項式，積的項數與原多項式的項數相同。2.在單項式乘法運算中要注意系數的符號。

3.不要出現漏乘現象，運算要有順序。例2化簡：-2a2?(ab+b2)-5a(a2b-ab2)解：原式=-a3b-2a2b2-5a3b+5a2b2=-6a3b+3a2b2例3計算：

(-2ab)3(5a2b–0.5ab2+0.25b3)解：原式=(-8a3b3)(5a2b–0.5ab2+0.25b3)=(-8a3b3)·（5a2b）+(-8a3b3)·(-0.5ab2）

+(-8a3b3)·（0.25b3）

=-40a5b4+4a4b5–2a3b6說明：先進行乘方運算，再進行單項式與多項式的乘法運算。例4計算：x[x（x-1）-1]解法一：x[x（x-1）-1]

解法二：x[x（x-1）-1]=x[（x2–x）-1]=x（x2–x–1）說明：先去小括號，再去中括號。=x3–x2-x=x3–x2-x=x?x（x-1）-x=x2（x-1）-x說明：先把x（x–1）看成整體，按乘法對加法的分配律去掉中括號，再去掉小括號。幾點注意：1.解題方法的靈活選擇。2.有同類項要合并。例5解方程7x-（x–3）x–3x（2–x）=（2x+1）x+6解：去括號，得7x–x2+3x–6x+3x2=2x2+x+6移項，得7x–x2+3x–6x+3x2-2x2-x=6合并同類項，得3x=6系數化為1，得x=2例6求值：yn(yn+9y-12)–3(3yn+1-4yn)，其中y=-3，n=2.解：yn(yn+9y-12)–3(3yn+1-4yn)=y2n+9yn+1-12yn–9yn+1+12yn=y2n當y=-3，n=2時，原式=（-3）4=81

求值問題，方法不是惟一的，可以直接把字母的值代入原式，但計算繁瑣易出錯，應先化簡，再代入求值，就顯得非常簡捷。例7如圖，計算圖中陰影部分的面積.AB=7a，BC=6bABCDEFGH

分析：陰影部分即長方形ABCD減去以下四部分：梯形ADGF，△GCF，△AHE，梯形HBCEABCDEFGHAB=7a，BC=6b解：陰影部分的面積為：7a?6b–(3b+6b)?5a–?3b?2a–?6a?2b–(2b+6b)?a=42ab-ab–3ab–6ab–4ab=ab小結：

單項式與多項式相乘的依據是：乘法對加法的分配律。

單項式與多項式相乘，其積仍是多項式，項數與原多項式的項數相同，注意不要漏乘項。

積的每一項的符號由原多項式各項符號和單項式的符號來決定，注意去括號法則。選作題：設p=x–1，計算p?(xn+xn-1+xn-2+…+x+1)多項式與多項式相乘2.怎樣計算單項式與多項式的乘法？3.(a+b)X=?你還記得嗎?1.單項式的乘法法則是什么？當X=m+n時,(a+b)X=?由上一題知(a+b)X=aX+bX(a+b)X=(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn即

(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn

于是，當X=m+n時=a(m+n)+b(m+n)想一想：1234(a+b)(m+n)=am1234這個結果還可以從下面的圖中反映出來abmnamanbnbm多項式的乘法+an+bm+bn多項式的乘法法則

多項式與多項式相乘,先用一個多項式的每一項乘以另一個多項式的每一項,再把所得的積相加。(1)(x+2y)(5a+3b);(2)(2x–3)(x+4);解：(x+2y)(5a+3b)

==解：(2x–3)(x+4)2x2+8x–3x–12=2x2+5x例1計算:=–12x

·5a+x

·3b+2y

·5a+2y

·3b5ax+3bx+10ay+6by(3)(3x+y)(x–2y)

；解：(3x+y)(x–2y)=3x2–6xy+xy–2y2=3x2–5xy–2y2

練習一、計算：(1)(2n+6)(n–3);(2)(2x+3)(3x–1);(3)(2a+3)(2a–3);(4)(2x+5)(2x+5).例２計算：(1)(x+y)(x–y);(2)(x+y)(x2–xy+y2)解:(1)(x+y)(x–y)=x2

(2)(x+y)(x2–xy+y2)=x3

=x3

=x2–xy+xy–y2–y2.–x2y+xy2+x2y–xy2+y3+y3

你注意到了嗎？

多項式乘以多項式，展開后項數很有規律，在合并同類項之前，展開式的項數恰好等于兩個多項式的項數的積。練習二、計算：(1)(2a–3b)(a+5b);(2)(xy–z)(2xy+z);(3)(x–1)(x2+x+1);(4)(2a+b)2;(5)(3a–2)(a–1)–(a+1)(a+2);(6)(x+y)(2x–y)(3x+2y).注意!1.計算(2a+b)2應該這樣做：

(2a+b)2=(2a+b)(2a+b)=4a2+2ab+2ab+b2=4a2+4ab+b2

切記

一般情況下

(2a+b)2不等于4a2+b2.注意!2.(3a–2)(a–1)–(a+1)(a+2)是多項式的積與積的差，后兩個多項式乘積的展開式要用括號括起來。3.(x+y)(2x–y)(3x+2y)是三個多項式相乘，應該選其中的兩個先相乘，把它們的積用括號括起來，再與第三個相乘。今天我們學了什么？

兩數和乘以這兩數的差

（x＋2)(x＋５）=x2＋5x＋2X＋10=x2＋7x多項式與多項式是如何相乘的？＋10

(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn

有一個狡猾的莊園主,把一邊長為x米的正方形土地租給王大爺種植.有一年他對王大爺說:“我把這塊地的一邊增加5米,另一邊減少5米,繼續租給你,你也沒吃虧,你看如何?”王大爺一聽覺得沒有吃虧,就答應了.回到家中,就把這件事對鄰居講了,鄰居一聽,說:“王大爺您吃虧了!”王大爺非常吃驚,同學們,你能告訴王大爺這是為什么嗎?想一想5米5米x

米(X-5)(X+5)米相等嗎？原來現在面積變了嗎？x2(x+5)(x-5)①（x＋2)(x－2）②（1＋3a)(1－3a）③（m＋5n)(m－5n）④（3y＋z)(3y－z）計算下列各題算一算，比一比，看誰算得又快又準

②（1＋3a)(1－3a）=1

－9a2③（m＋5n)(m－5n)=m2－25n2④（3y＋z)(3y－z)=9y2－z2①（x＋2)(x－2）=x2－41、它們的結果有什么特點？平方差的形式x2

－2212－(3a)2m2

－(5n)2(3y)2

－z22、算式有什么特點？兩個數的和乘以兩個數的差3、能不能用字母表示你的發現？(a+b)(a-b)=a2-b2平方差公式：(a+b)(a?b)=a2?b2兩數和與這兩數差的積,等于這兩數的平方差.公式變形:1、（a–b)(a+b)=a2-b22、（b+a)(-b+a)=a2-b2

(a+b)(a-b)=(a)2-(b)2相反為b

相同為a適當交換合理加括號平方差公式相同數的平方減去相反數的平方口答下列各題：

(l)(-a+b)(a+b)=

_________(2)(a-b)(b+a)=__________(3)(-a-b)(-a+b)=________

(4)(a-b)(-a-b)=_________a2-b2a2-b2b2-a2b2-a2相同項的平方減去相反項的平方(1+x)(1-x)(-3+a)(-3-a)(0.3x-1)(1+0.3x)(1+a)(-1+a)1、找一找、填一填aba2-b21x-3a12-x2(-3)2-a2a1a2-120.3x1(0.3x)2-12(a-b)(a+b)(a+b)(a–b)=a2-b2

用平方差公式計算計算：（x+2y)(x-2y)解：原式＝x2-(2y)2＝x2-4y2

注意

1、先把要計算的式子與公式對照,2、哪個是a(相同項)

哪個是b(相反項).相同項的平方減去相反項的平方例題練習計算：=2、解：(－x+3y)(－x-3y)

這里的()相當于公式里的

a,()相當于b

=(-x)2－(3y)2x2－9y2-x3y1、

(5x+y)(5x-y)

2、(－x+3y)(－x-3y)3、(8＋ab)(－8＋ab)4、(－m＋n)(－m－n)2、(x－2y)(x＋2y)1、(5＋6x)(5－6x)隨堂練習

明確個是a,哪個是

b.再動筆展示風采判斷正誤：（1）(2b+a)(a-2b)=4b2-a2()（2）(m–n)(-m-n)=-m2-n2()（3）(x+y)(-x-y)=x2-y2()（4）(2a+b)(a-2b)=2a2-

2b2()a2-4b2n2-m2-x2-2xy-y22a2-3ab-2b2××××（5）(3b+2a)(2a-3b)=4a2-9b2()√(1)(2+3a2)(3a2-2)

(2)(3y?

x)(?

x?3y）深化練習(3)(-5x-3y)(-5x+3y)例題精講二例2.利用平方差公式計算:103×9759.8×60.2

(a+b)(a-b)=(a)2-(b)2相反為b小結

相同為a適當交換合理加括號相同數的平方減去相反數的平方平方差公式(1)(3a

+2b)(3a?2b)

9a2－4b2小組競賽（2）(-2x-y)(-y+2x)y2-4x2(3)利用平方差公式計算:（a-2)(a+2)(a2+

4)

解:原式=(a2-4)(a2+4)=a4-16

再見兩數和(差)的平方(a+b)2=a2+2ab+b2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ba+b2

=a2+2ab+b2證一證我們共同發現：(a+b)2完全平方公式(a＋b)2=a2＋2ab＋b2

兩數和的平方,等于它們的平方和加上這兩數積的2倍.順口溜:首平方,尾平方,首尾兩倍中間放。baabb2a2ababab(a+b)2=a2+2ab+b2計算:

(x+2y)2

解:

(x+2y)2=(a+b)2=a2+2ab+b2=x2+4xy+4y2x2++(2y)22·x·2y例題4:計算(a+b)2=a2+2ab+b2做一做利用完全平方公式計算:(1)

(x+3)2(3)(4x2+5y2)2(2)(2x+y)2(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2=(a-b)(a-b)=a2-ab-ba+b2

=a2-2ab+b2我們共同發現：(a-b)2(a+b)2=a2+2ab+b2首平方，尾平方，首尾兩倍中間放

(a-b)2=?(a-b)可看作[a+(-b)](a-b)2=a2-2ab+b2

利用完全平方公式計算:(1)(2x-3y)2(a-b)2=a2-2ab+b2(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)(a–b)=a2-b2異同點(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2代數式首尾中間項結果符號系數(a+2b)2a2b+4a2+4ab+4b2(-2s+t)2(-3x-4y)2首尾平方總得正,中間符號看首尾,同號得正,異號得負,中間兩倍要記牢。y-1/2--1y2-y+1/4-2s+t--44s2-4st+t2-3x-4y+249x2+24xy+16y2綜合練習⑴(3x+y)2⑵(2a-3b)2⑶(-x2+1)2⑷(-3x-y)2下列計算是否正確?如錯,如何改正?(1)(a+b)2=a2+b2藥方:(a+b)2=a2+2ab+b2×(2)(a-b)2=a2-b2藥方:(a-b)2=a2-2ab+b2×望聞問切病因:首尾兩倍中間放忘了,首尾平方總得正.(3)(x-2y)2=x2-2xy+4y2藥方:(x-2y)2=x2-4xy+4y2(4)(-3x-y)2=9x2-6xy+y2藥方:(-3x-y)2=9x2+6xy+y2望聞問切病因:“中間兩倍放”忘了.病因:中間符號錯了,(1)(2x2+3y2)2=4x4++9y4搶一搶y(3)(3x+)2=+12x+

29x212x2y24(2)(2x2+)2=

+4x2y+y24x4(A)(p+q)2=p2+q2(B)(a+2b)2=a2+4ab+2b2(C)(a2+1)2=a4+2a+1(D)(-s+t)2=s2-2st+t2（２）下列計算中正確的是（）（１）(mn+3)2=()(A)mn2+9(B)m2n2+9(C)m2n2+6mn+9(D)mn2+6m+9CD選一選我學會了……我明白了……我會用……談談你的體會小結:1.(a+b)(a-b)=a2-b2;(a+b)2=a2+2ab=b22.應用兩數和的平方公式計算的一般步驟:14.3.2兩數和的平方(1)確定首尾,分別平方;(2)確定中間系數與符號,得出結論3.對公式要做到會正用、反用、活用、變用、綜合應用。單項式除以單項式一、快速口答練習①x6÷x2=

，②（—b）3÷b=_____,③4y2÷y2=

，④(－a)5÷(－a)3=______,⑤yn+3÷yn=

，⑥(－xy)5÷(－xy)2=_______,

⑦a+b）4÷（a+b）2=_______，⑧y9÷(y4÷y)=_____,⑨3ab2·4a2x3=________.x4－b24a2y3－x3y3(a+b)2y612a3b2x3計算：（1）6a3×2a2；（2）24a2b3×3ab；（3）-21a2b3c×3ab.單項式乘單項式的法則：1、系數相乘作系數2、同底數冪相乘作積的因式3、其余照寫猜猜：單項式除以單項式的法則會是怎樣？

探究問題問題情景

已知一個單項式乘以5xy所得的積是15x2y3,求這個單項式.概括:

兩個單項式相除,只要將系數及同底數冪分別相除,再把所得的商相乘.(單項式相除的法則)試一試:對于只在被除式中出現的字母,照抄下來,作為積的因式.請完成課本填表題!三、例1.計算：（1）6a3÷2a2；（2）24a2b3÷3ab；（3）-21a2b3c÷3ab.分析：對于（1）、（2），可以按兩個單項式相除的方法進行；對于（3），字母c只在被除數中出現，結果仍保留在商中。解（1）6a3÷2a2

＝（6÷2）（a3÷a2）=3a.（2）24a2b3÷3ab

=(24÷3)a2-1b3-1=8ab2.（3）-21a2b3c÷3ab

=(-21÷3)a2-1b3-1c

=-7ab2c.從本例可以看出:單項式相除，把系數、同底數冪分別相除，作為商的因式，對于只在被除數里含有的字母，則連同它的指數作為商的一個因式。單項式除法法則:練習1計算:計算:1、2、3、4、注意：（1）運算順序；（2）符號；練習21、已知一個單項式乘以所得的積是，求這個單項式。2、已知一個單項式除以所得的商是，求這個單項式。

被除式÷除式=商練習3例2.計算:解:原式乘除混合運算練習44.計算（1）（2）單項式除法法則的具體內容應用單項式除法法則注意事項研究、思考數學問題的思想和方法系數及其符號；被除式里單獨有的字母不要遺漏；要注意運算順序；……特殊——

一般從不同角度去考慮問題單項式相除，把系數與同底數冪分別相除作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數作為商的一個因式.歸納小結備用練習:計算下列各式：（1）27x8÷3x4；（2）-12x3y3÷4x2y3；

（3）(6x2y3z2)2÷4x3y4

1.下列計算錯在哪里？（1）（2）2.計算：（1）（2）（）（）鞏固提高聰聰在一次數學課外活動中發現了一個奇特的現象：他隨便想一個非零的有理數，把這個數平方，再加上這個數，然后把結果除以這個數，最后減去這個數，所得結果總是1.你能說明其中的道理嗎？思考題再見多項式除以單項式3a3b2c5ac8(a+b)4–3ab2c單項式與單項式相除1、系數2、同底數冪3、只在被除式里的冪相除；相除；不變；（1）–12a5b3c÷(–4a2b)=（2）(–5a2b)2÷5a3b2=（3）4(a+b)7÷(a+b)3=21（4）(–3ab2c)3÷(–3ab2c)2=

練一練1.計算：課前練習(1)3a2b3+5a2b3(2)3a2b3×5a2b3(3)3a2b3÷

5a2b3=8a2b3=15a4b6=(4)(2x2-3x-1)?3x2=6x4-9x3-3x2單項式與多項式相乘的法則是什么？單項式與多項式相乘單項式多項式相加

單項式與多項式相乘，就是用

去乘

的每一項，再把所得的積

。m(a+b+c)=am+bm+cm

=a+b+c(am+bm+cm)÷m多項式除以單項式am÷m+bm÷m+cm÷m=a+b+c=反之,

請說出多項式除以單項式的運算法則你能計算下列各題？說說你的理由。（1）(ad+bd)÷d=__________（2）(a2b+3ab)÷a=_________（3）(xy3-2xy)÷(xy)=_______

多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的商相加。a+bab+3by2-2你找到了

多項式除以單項式的規律

嗎？例題解析例3

計算：(1)解:＋＋＝＋＋＝＝在計算單項式除以單項式時，要注意什么？先定商的符號(同號得正,異號得負)；

注意添括號;＋＋＝＋＋＝＝課堂練習(3)(12a3-8a2-3a)÷4a(4)(6a2b-2ab2-b3)÷(-3b)繼續努力!小結

先把這個多項式的每一項分別除以單項式，再把所得的商相加。多項式除以單項式因式分解（1）a(a-1)=（3）(a+1)2=（2）(a+b)(a-b)=a2-a

=a(a-1)a2+2a+1=(a+1)2a2–b2=(a+b)(a-b)a2-aa2-b2a2+2a+1（1）a(a-1)=a2-a（2）(a+b)(a-b)=a2-b2（3）(a+1)2=a2+2a+1a2-a=a(a-1)a2+2a+1=(a+1)2a2–b2=(a+b)(a-b)幾個整式的乘積一個多項式一個多項式幾個整式的乘積整式的乘法因式分解互逆運算轉化思想下列從左到右的變形是因式分解嗎？(1)a2+a=a(a+1)(2)(b+2)(b-2)=b2-4(4)4x2+4x+1=(2x+1)2(6)a2-9b2=(a+3b)(a-3b)(7)4a2-4a+1=4a(a-1)+1(是）(不是）(不是）(不是）(是）(是）(3)xy2-x2yz=xy(y-xz)(是）火眼金睛例:找3x2–6x的公因式。系數：最大公約數3字母：相同字母x

所以，公因式是指數：最低次冪13x解：3x2-6x=3x·x-3x·2=3x(x-2)我們也來試一試注意整體思想哦！(2)(2a+b)(a+b)+a(2a+b)(3)(a-b)+(b-a)2(4)(p-q)3+2(q-p)2(1)4ab-2a2b(5)3x3-3x注意：先看是否有公因式可提，并且要把公因式提盡。再考慮能否用公式法。必須分解到每一個因式都不能在分解為止。對下列多項式進行因式分解分解因式-a3+4a2b-4ab2請你編一道因式分解題你的同桌編對了嗎？請你檢查一下。你能說說你是如何檢驗的？比一比若2a2b-p可分解得2ab(a-b2-2ab)，則p=_______

老王投資辦兩個正方形養殖場，分別為養雞場和養豬場，已知養雞場的面積比養豬場的面積大40m2，兩個養殖場的圍墻總長為80m,試求養豬場的面積.我幫老王想個法:養雞場養豬場觀察下表，你還能繼續往下寫嗎？11=12-0233=22-1255=32-2277=42-32…………你發現了什么規律？能用因式分解來說明你發現的規律嗎？探究活動拓展思維快速計算：（1）解：

原式=999×999+999×1=999×（999+1）=999×1000

=999000拓展思維挑戰自我:(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)證明、若n為整數，則(2n+1)2-(2n-1)2

一定能被8整除。1002-992+982-972+·····+42-32+22-12已知x2+y2+6x-4y+13=0,求x+y的值從下列單項式中選擇材料編一道因式分解題,并解答.要求解該題時提公因式法、公式法都要用到（系數可以改變）（1）ab（2）a（3）b（4）a2（5）b2（6）一個常數（自選）你能幫你的同桌檢驗一下他編對了嗎?兩同學分解因式，甲看錯了的值，分解的結果是，乙看錯了的值，分解的結果，那么值是多少？已知a、b、c為三角形的三邊，試判斷a2-2ab+b2-c2大于零？小于零？等于零？解:a2-2ab+b2-c2=(a-b)2-c2

因此a2-2ab+b2-c2小于零。即：(a-b+c)(a-b-c)﹤0∴a-b+c﹥0a-b-c﹤0∴a+c﹥ba﹤b+c∵a、b、c為三角形的三邊=(a-b+c)(a-b-c)證明，32000－４×31999+10×31998能被7整除．對下列多項式進行因式分解（1）-5a2+25a解：-5a2+25a確定公因式的方法：1、公因式的系數是多項式各項系數的最大公約數。2、字母取多項式各項中都含有的相同的字母。3、相同字母的指數取各項中最小的一個，即最低次冪。命題什么是命題？表示判斷的語句，叫做命題.例如：“三角形的內角和等于180°”是判斷一件事情的語句是命題。“連接A、B兩點”不是判斷一件事的語句就不是命題。命題的概念：問題11熊貓沒有翅膀。2大象是紅色的。3同位角相等。5從3數到10。句子

（能判斷一件事情）是命題句子（不能判斷一件事情）不是命題4請你吃飯。想一想12345練習1判斷下列語句是不是命題？（1）你吃飯了嗎？（）（2）兩點之間，線段最短。（）（3）請畫出兩條互相平行的直線。（）（4）過直線外一點作已知直線的垂線。（）（5）如果兩個角的和是90o，那么這兩個角互余。（）（6）對頂角不相等。（）（7）兩直線平行，同位角相等。（）

√

√

√

√如果兩個角的和是90o，那么這兩個角互余。條件結論數學中的命題常可以寫成“如果…，那么…”的形式．“如果”開始的部分是條件，“那么”開始的部分是結論．問題2命題是由

和

兩部分組成。

是已知事項，

是由已知事項推出的事項。條件結論條件結論例題1下列命題中的條件是什么？結論是什么？2如果a＞b，b＞c，那么a=c.條件是：1如果兩個角是鄰補角，那么這兩個角互補結論是：條件是：結論是：兩個角是鄰補角這兩個角互補a＞b，b＞ca=c例題2：把下列命題改寫成“如果……,那么……”的形式，并分別指出該命題的條件和結論。如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等.條件是：1對頂角相等．結論是：條件是：結論是：2同位角相等.如果兩個角是同位