湖北省宜昌市2025屆九上數學期末監測試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置．3．請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題（每題4分，共48分）1．如圖，將△ABC繞點C順時針旋轉50°得△DEC，若AC⊥DE，則∠BAC等于()A．30° B．40° C．50° D．60°2．已知：m＝+1，n＝﹣1，則＝（）A．±3 B．﹣3 C．3 D．3．已知點，如果把點繞坐標原點順時針旋轉后得到點，那么點的坐標為（）A． B． C． D．4．如圖，在菱形ABCD中，點E,F分別在AB,CD上，且，連接EF交BD于點O連接AO.若,，則的度數為（）A．50° B．55° C．65° D．75°5．如圖，在⊙O中，弦BC//OA，AC與OB相交于點M，∠C=20°，則∠MBC的度數為（）．A．30° B．40°C．50° D．60°6．如圖，兩根竹竿和都斜靠在墻上，測得，則兩竹竿的長度之比等于（）A． B． C． D．7．如圖，在矩形中，，對角線相交于點，垂直平分于點，則的長為（）A．4 B． C．5 D．8．如圖，在正方形中，以為邊作等邊，延長分別交于點，連接與相交于點，給出下列結論：①；②；③；④；其中正確的是（）A．①②③④ B．②③ C．①②④ D．①③④9．關于x的方程ax2+bx+c＝0是一元二次方程，則滿足（）A．a≠0 B．a＞0 C．a≥0 D．全體實數10．關于x的一元二次方程x2﹣mx+（m﹣2）=0的根的情況是（）A．有兩個不相等的實數根B．有兩個相等的實數根C．沒有實數根D．無法確定11．如圖，在△ABC中，點D是邊AB上的一點，∠ADC＝∠ACB，AD＝2，BD＝6，則邊AC的長為（）A．2 B．4 C．6 D．812．已知線段a、b、c、d滿足ab=cd，把它改寫成比例式，正確的是（）A．a：d＝c：b B．a：b＝c：d C．c：a＝d：b D．b：c＝a：d二、填空題（每題4分，共24分）13．方程的根是__________.14．已知點P是線段AB的黃金分割點，AP＞PB．若AB＝1．則AP＝__（結果保留根號）．15．將一元二次方程變形為的形式為__________．16．如圖，邊長為4的正六邊形ABCDEF的中心與坐標原點O重合，AF∥軸，將正六邊形ABCDEF繞原點O順時針旋轉，每次旋轉60°，則第2019次后，頂點A的坐標為_______．17．如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD，∠C＝90°，AB＝1，CD＝2，BC＝3，點P為BC邊上一動點，若AP⊥DP，則BP的長為_____．18．如圖，點E、F、G、H分別是任意四邊形ABCD中AD、BD、BC、CA的中點，當四邊形ABCD的邊至少滿足條件時，四邊形EFGH是矩形．三、解答題（共78分）19．（8分）如圖，一塊直角三角板的直角頂點P放在正方形ABCD的BC邊上，并且使條直角邊經過點D，另一條直角邊與AB交于點Q．請寫出一對相似三角形，并加以證明．(圖中不添加字母和線段)20．（8分）某地要建造一個圓形噴水池，在水池中央垂直于水面安裝一個柱子，點恰好在水面中心，安裝在柱子頂端處的圓形噴頭向外噴水，水流在各個方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下，且在過的任意平面上，水流噴出的高度與水平距離之間的關系如圖所示，建立平面直角坐標系，右邊拋物線的關系式為.請完成下列問題：（1）將化為的形式，并寫出噴出的水流距水平面的最大高度是多少米；（2）寫出左邊那條拋物線的表達式；（3）不計其他因素，若要使噴出的水流落在池內，水池的直徑至少要多少米？21．（8分）學生會要舉辦一個校園書畫藝術展覽會，為國慶獻禮，小華和小剛準備將長AD為400cm，寬AB為130cm的矩形作品四周鑲上彩色紙邊裝飾，如圖所示，兩人在設計時要求內外兩個矩形相似，矩形作品面積是總面積的，他們一致認為上下彩色紙邊要等寬，左右彩色紙邊要等寬，這樣效果最好，請你幫助他們設計彩色紙邊寬度．22．（10分）樹AB和木桿CD在同一時刻的投影如圖所示，木桿CD高2m，影子DE長3m；若樹的影子BE長7m，則樹AB高多少m？23．（10分）如圖，已知一次函數y=ax+b（a，b為常數，a≠0）的圖象與x軸，y軸分別交于點A，B，且與反比例函數（k為常數，k≠0）的圖象在第二象限內交于點C，作CD⊥x軸于D，若OA=OD=OB=1．（1）求一次函數與反比例函數的解析式；（2）觀察圖象直接寫出不等式0＜ax+b≤的解集；（1）在y軸上是否存在點P，使得△PBC是以BC為一腰的等腰三角形？如果存在，請直接寫出P點的坐標；如果不存在，請簡要說明理由24．（10分）已知關于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+4k﹣3＝0，（1）求證：無論k取什么實數值，該方程總有兩個不相等的實數根？（2）當Rt△ABC的斜邊a＝，且兩條直角邊的長b和c恰好是這個方程的兩個根時，求k的值．25．（12分）如圖，AB是⊙O的直徑，D是弦AC的延長線上一點，且CD＝AC，DB的延長線交⊙O于點E．（1）求證：CD＝CE；（2）連結AE，若∠D＝25°，求∠BAE的度數．26．如圖，一漁船由西往東航行，在A點測得海島C位于北偏東60°的方向，前進30海里到達B點，此時，測得海島C位于北偏東30°的方向，求海島C到航線AB的距離CD的長（結果保留根號）．

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、B【分析】根據旋轉的性質可求得∠ACD，根據互余關系可求∠D，根據對應角相等即可得∠BAC的大小．【詳解】解：依題意得旋轉角∠ACD=50°，由于AC⊥DE，由互余關系可得∠D=90°-50°=40°，由旋轉后對應角相等，得∠BAC=∠D=40°，故B選項正確．【點睛】本題考查了圖形的旋轉變化，要分清是順時針還是逆時針旋轉，旋轉了多少度，難度不大，但容易出錯，細心點即可．2、C【分析】先根據題意得出和的值，再把式子化成含與的形式，最后代入求值即可.【詳解】由題得：、∴故選：C.【點睛】本題考查代數式求值和完全平方公式，運用整體思想是關鍵.3、B【分析】連接OP，OP1，過P作PN⊥y軸于N，過P1作P1M⊥y軸于M，根據旋轉的性質，證明，再根據所在的象限，即可確定點的坐標．【詳解】如圖連接OP，OP1，過P作PN⊥y軸于N，過P1作P1M⊥y軸于M∵點繞坐標原點順時針旋轉后得到點∴∴∴，∴∵∴∵∴∵在第四象限∴點的坐標為故答案為：B．【點睛】本題考查了坐標軸的旋轉問題，掌握旋轉的性質是解題的關鍵．4、C【分析】由菱形的性質以及已知條件可證明△BOE≌△DOF，然后根據全等三角形的性質可得BO=DO，即O為BD的中點，進而可得AO⊥BD，再由∠ODA=∠DBC=25°，即可求出∠OAD的度數.【詳解】∵四邊形ABCD為菱形∴AB=BC=CD=DA，AB∥CD，AD∥BC∴∠ODA=∠DBC=25°，∠OBE=∠ODF，又∵AE=CF∴BE=DF在△BOE和△DOF中，∴△BOE≌△DOF（AAS）∴OB=OD即O為BD的中點，又∵AB=AD∴AO⊥BD∴∠AOD=90°∴∠OAD=90°-∠ODA=65°故選C.【點睛】本題考查了菱形的性質，全等三角形的判定與性質，以及等腰三角形三線合一的性質，熟練掌握菱形的性質，得出全等三角形的判定條件是解題的關鍵.5、B【分析】由圓周角定理（同弧所對的圓周角是圓心角的一半）得到∠AOB，再由平行得∠MBC．【詳解】解：∵∠C=20°

∴∠AOB=40°

又∵弦BC∥半徑OA

∴∠MBC=∠AOB=40°,故選：B．【點睛】熟練掌握圓周角定理，平行線的性質是解答此題的關鍵．6、D【分析】在兩個直角三角形中，分別求出AB、AD即可解決問題．【詳解】根據題意：在Rt△ABC中，，則，在Rt△ACD中，，則，∴．故選：D．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用、銳角三角函數等知識，解題的關鍵是學會利用參數解決問題．7、B【分析】由矩形的性質和線段垂直平分線的性質證出OA=AB=OB=3，得出BD=2OB=6，由勾股定理求出AD即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴OB=OD，OA=OC，AC=BD，∴OA=OB，∵AE垂直平分OB，∴AB=AO，∴OA=AB=OB=3，∴BD=2OB=6，∴AD=；故選：B．【點睛】此題考查了矩形的性質、等邊三角形的判定與性質、線段垂直平分線的性質、勾股定理；熟練掌握矩形的性質，證明三角形是等邊三角形是解決問題的關鍵．8、A【分析】根據等邊三角形、正方形的性質求得∠ABE=30°，利用直角三角形中30°角的性質即可判斷①；證得PC=CD，利用三角形內角和定理即可求得∠PDC，可求得∠BPD，即可判斷②；求得∠FDP=15°，∠PBD=15°，即可證明△PDE∽△DBE，判斷③正確；利用相似三角形對應邊成比例可判斷④．【詳解】∵△BPC是等邊三角形，

∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°，

在正方形ABCD中，

∵AB=BC=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=90°

∴∠ABE=∠DCF=30°，∴，

∴；故①正確；

∵PC=CD，∠PCD=30°，

∴∠PDC=∠CPD===75°，∴∠BPD=∠BPC+∠CPD=60°+75°=135°，故②正確；

∵∠PDC=75°，∴∠FDP=∠ADC-∠PDC=90°-75°=15°，

∵∠DBA=45°，

∴∠PBD=∠DBA-∠ABE=45°-30°=15°，

∴∠EDP=∠EBD，

∵∠DEP=∠DEP，

∴△PDE∽△DBE，故③正確；

∵△PDE∽△DBE，∴，即，故④正確；綜上：①②③④都是正確的．

故選：A．【點睛】本題考查的正方形的性質，等邊三角形的性質以及相似三角形的判定和性質，解答此題的關鍵是熟練掌握性質和定理．9、A【解析】根據一元二次方程的定義求解．一元二次方程必須滿足兩個條件：（1）未知數的最高次數是2；（2）二次項系數不為1．【詳解】由于關于x的方程ax2+bx+c＝1是一元二次方程，所以二次項系數不為零，即a≠1．故選：A．【點睛】此題考查一元二次方程的定義，熟記一元二次方程滿足的條件即可正確解題.10、A【解析】試題解析：△=b2-4ac=m2-4（m-2）=m2-4m+8=（m-2）2+4＞0，所以方程有兩個不相等的實數根．故選：A．點睛：一元二次方程根的情況與判別式△的關系：（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數根；（2）△=0?方程有兩個相等的實數根；（3）△＜0?方程沒有實數根．11、B【解析】證明△ADC∽△ACB，根據相似三角形的性質可推導得出AC2=AD?AB，由此即可解決問題.【詳解】∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB，∴△ADC∽△ACB，∴，∴AC2=AD?AB=2×8=16，∵AC>0，∴AC=4，故選B.【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質、解題的關鍵是正確尋找相似三角形解決問題.12、A【分析】根據比例的基本性質：兩外項之積等于兩內項之積．對選項一一分析，選出正確答案．【詳解】解：A、a：d=c：b?ab=cd，故正確；B、a：b=c：d?ad=bc，故錯誤；C、c：a＝d：b?bc=ad，故錯誤D、b：c＝a：d?ad=bc，故錯誤．故選A．【點睛】本題考查比例的基本性質，解題關鍵是根據比例的基本性質實現比例式和等積式的互相轉換．二、填空題（每題4分，共24分）13、【分析】由題意根據直接開平方法的步驟求出x的解即可．【詳解】解：∵，∴x=±2，∴．故答案為：．【點睛】本題考查解一元二次方程-直接開平方法，根據法則：要把方程化為“左平方，右常數，先把系數化為1，再開平方取正負，分開求得方程解”來求解．14、5﹣5【分析】根據黃金分割比的定義計算即可．【詳解】根據黃金分割比，有故答案為：．【點睛】本題主要考查黃金分割比，掌握黃金分割比的定義是解題的關鍵．15、【分析】根據完全平方公式配方即可．【詳解】解：故答案為：．【點睛】此題考查的是配方法，掌握完全平方公式是解決此題的關鍵．16、【分析】將正六邊形ABCDEF繞原點O逆時針旋轉2019次時，點A所在的位置就是原D點所在的位置．【詳解】2019×60°÷360°=336…3，即與正六邊形ABCDEF繞原點O逆時針旋轉3次時點A的坐標是一樣的．當點A按逆時針旋轉180°時，與原D點重合．連接OD，過點D作DH⊥x軸，垂足為H；由已知ED=1，∠DOE=60°（正六邊形的性質），∴△OED是等邊三角形，∴OD=DE=OE=1．∵DH⊥OE，∴∠ODH=30°，OH=HE=2，HD=．∵D在第四象限，∴D，即旋轉2019后點A的坐標是．故答案為．【點睛】本題考查了正多邊形和圓、旋轉變換的性質，掌握正多邊形的性質、旋轉變換的性質是解題的關鍵．17、1或2【分析】設BP=x，則PC=3-x，根據平行線的性質可得∠B=90°，根據同角的余角相等可得∠CDP=∠APB，即可證明△CDP∽△BPA，根據相似三角形的性質列方程求出x的值即可得答案．【詳解】設BP=x，則PC=3-x，∵AB∥CD，∠C＝90°，∴∠B=180°-∠C=90°，∴∠B=∠C，∵AP⊥DP，∴∠APB+∠DPC=90°，∵∠CDP+∠DPC=90°，∴∠CDP=∠APB，∴△CDP∽△BPA，∴，∵AB＝1，CD＝2，BC＝3，∴，解得：x1=1，x2=2，∴BP的長為1或2，故答案為：1或2【點睛】此題考查的是相似三角形的判定及性質，掌握相似三角形的對應邊成比例列方程是解題的關鍵．18、AB⊥CD【解析】解：需添加條件AB⊥DC，∵、、、分別為四邊形中、、、中點，∴，∴，．∴四邊形為平行四邊形．∵E、H是AD、AC中點，

∴EH∥CD，

∵AB⊥DC，EF∥HG

∴EF⊥EH，

∴四邊形EFGH是矩形．

故答案為：AB⊥DC．三、解答題（共78分）19、△BPQ∽△CDP，證明見解析.【分析】根據正方形性質得到角的關系，從而根據判定兩三角形相似的方法證明△BPQ∽△CDP.【詳解】△BPQ∽△CDP，證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝90°，∵∠QPD＝90°，∴∠QPB+∠BQP＝90°，∠QPB+∠DPC＝90°，∴∠DPC＝∠PQB，∴△BPQ∽△CDP．【點睛】此題重點考察學生對兩三角形相似的判定的理解，熟練掌握兩三角形相似的判定方法是解題的關鍵.20、（1）噴出的水流距水平面的最大高度是4米.（2）.（3）水池的直徑至少要6米.【分析】（1）利用配方法將一般式轉化為頂點式，即可求出噴出的水流距水平面的最大高度；（2）根據兩拋物線的關于y軸對稱，即可求出左邊拋物線的二次項系數和頂點坐標，從而求出左邊拋物線的解析式；（3）先求出右邊拋物線與x軸的交點的橫坐標，利用對稱性即可求出水池的直徑的最小值.【詳解】解：（1）∵，∴拋物線的頂點式為.∴噴出的水流距水平面的最大高度是4米.（2）∵兩拋物線的關于y軸對稱∴左邊拋物線的a=-1，頂點坐標為（-1,4）左邊拋物線的表達式為.（3）將代入，則得，解得，（求拋物線與x軸的右交點，故不合題意，舍去）.∵（米）∴水池的直徑至少要6米.【點睛】此題考查的是二次函數的應用，掌握將二次函數的一般式轉化為頂點式、利用頂點式求二次函數的解析式和求拋物線與x軸的交點坐標是解決此題的關鍵.21、上下彩色紙邊寬為13cm，左右彩色紙邊寬為1cm．【分析】由內外兩個矩形相似可得，設A′B′=13x，根據矩形作品面積是總面積的列方程可求出x的值，進而可得答案．【詳解】∵AB＝130，AD＝10，∴，∵內外兩個矩形相似，∴，∴設A′B′＝13x，則A′D′＝1x，∵矩形作品面積是總面積的，∴，解得：x＝±12，∵x＝﹣12＜0不合題意，舍去，∴x＝12，∴上下彩色紙邊寬為（13x﹣130）÷2＝13，左右彩色紙邊寬為（1x﹣10）÷2＝1．答：上下彩色紙邊寬為13cm，左右彩色紙邊寬為1cm．【點睛】本題考查相似多邊形的性質，相似多邊形的對應角相等，對應邊成比例；根據相似多邊形的性質得出A′B′與A′D′的比是解題關鍵．22、樹AB高m【分析】根據樹和標桿平行列出比例式代入相關數據即可求解．【詳解】解：∵AB與CD平行，∴AB：BE＝CD：DE，∴AB：7＝2：3，解得AB＝故樹AB高m．【點睛】考核知識點：平行投影.理解平行投影性質是關鍵.23、（1）；（2）-1≤x＜0；（1）存在滿足條件的點P，其坐標為（0，-1）或（0，9）或（0，12）【分析】（1）根據平行線分線段成比例性質可得，求出A（1，0），B（0，4），C（-1，8），再用待定系數法求解；（2）由題意可知所求不等式的解集即為直線AC在x軸上方且在反比例函數圖象下方的圖象所對應的自變量的取值范圍：0＜-x+4≤-；（1）△PBC是以BC為一腰的等腰三角形，有BC=BP或BC=PC兩種情況.【詳解】解：（1）∵CD⊥OA，∴DC∥OB，∴，∴CD=2OB=8，∵OA=OD=OB=1，∴A（1，0），B（0，4），C（-1，8），把A、B兩點的坐標分別代入y=ax+b可得，解得，∴一次函數解析式為，∵反比例函數y=的圖象經過點C，∴k=-24，∴反比例函數的解析式為y=-（2）由題意可知所求不等式的解集即為直線AC在x軸上方且在反比例函數圖象下方的圖象所對應的自變量的取值范圍，即線段BC（包含C點，不包含B點）所對應的自變量x的取值范圍，∵C（-1，8），∴0＜-x+4≤-的解集為-1≤x＜0（1）∵B（0，4），C（-1，8），∴BC=5，∵△PBC是以BC為一腰的等腰三角形，∴有BC=BP或BC=PC兩種情況，①當BC=BP時，即BP=5，∴OP=BP+OB=4+5=9，或OP=BP-OB=5-4=1，∴P點坐標為（0，9）或（0，-1）；②當BC=PC時，則點C在線段BP的垂直平分線上，∴線段BP的中點坐標為（0，8），∴P點坐標為（0，12）；綜上可知存在滿足條件的點P，其坐標為（0，-1）或（0，9）或（0，12）【點睛】考核知識點：相似三角形，反比例函數.數形結合分類討論是關鍵.24、（1）見解析；（2）1【分析】（1）根據根的判別式的符號來證明；（2）根據韋達定理得到b+c=2k+1，bc=4k-1．又在直角△ABC中，根據勾股定理，得（b+c）2﹣2bc＝（）2，由此可以求得k的值．【詳解】（1）證明：∵△＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×（4k﹣1）＝4k2﹣12k+11＝（2k﹣