新教材2025版高中數(shù)學(xué)第六章立體幾何初步5垂直關(guān)系5.2平面與平面垂直學(xué)案北師大版必修第二冊(cè)_第1頁(yè)
新教材2025版高中數(shù)學(xué)第六章立體幾何初步5垂直關(guān)系5.2平面與平面垂直學(xué)案北師大版必修第二冊(cè)_第2頁(yè)
新教材2025版高中數(shù)學(xué)第六章立體幾何初步5垂直關(guān)系5.2平面與平面垂直學(xué)案北師大版必修第二冊(cè)_第3頁(yè)
新教材2025版高中數(shù)學(xué)第六章立體幾何初步5垂直關(guān)系5.2平面與平面垂直學(xué)案北師大版必修第二冊(cè)_第4頁(yè)
新教材2025版高中數(shù)學(xué)第六章立體幾何初步5垂直關(guān)系5.2平面與平面垂直學(xué)案北師大版必修第二冊(cè)_第5頁(yè)
已閱讀5頁(yè),還剩3頁(yè)未讀 繼續(xù)免費(fèi)閱讀

下載本文檔

版權(quán)說(shuō)明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請(qǐng)進(jìn)行舉報(bào)或認(rèn)領(lǐng)

文檔簡(jiǎn)介

5.2平面與平面垂直[教材要點(diǎn)]要點(diǎn)一二面角半平面的定義平面內(nèi)的一條直線把平面分成________部分,其中的每一部分都稱為半平面二面角的定義從一條直線動(dòng)身的________所組成的圖形稱為二面角二面角的相關(guān)概念這條直線稱為二面角的________,這兩個(gè)半平面稱為二面角的________二面角的畫法二面角的記法二面角α-l-β或α-AB-β或P-l-Q或P-AB-Q二面角的平面角定義在二面角α-l-β的棱l上任取一點(diǎn)O,以點(diǎn)O為垂足,在半平面α和β內(nèi)分別作垂直于棱l的射線OA和OB,則射線OA和OB構(gòu)成的∠AOB叫做二面角的平面角圖形范圍∠AOB的范圍是________eq\x(狀元隨筆)作二面角的平面角的方法方法一(定義法)在二面角的棱上找一特別點(diǎn),在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線.如圖①,∠AOB為二面角α-a-β的平面角.方法二(垂面法)過(guò)棱上一點(diǎn)作棱的垂直平面,該平面與二面角的兩個(gè)半平面產(chǎn)生交線,這兩條交線所成的角,即為二面角的平面角.如圖②,∠AOB為二面角α-l-β的平面角.方法三(垂線法)過(guò)二面角的一個(gè)面內(nèi)一點(diǎn)作另一個(gè)平面的垂線,過(guò)垂足作棱的垂線,利用線面垂直可找到二面角的平面角或其補(bǔ)角.如圖③,∠AFE為二面角A-BC-D的平面角.要點(diǎn)二平面與平面垂直的定義兩個(gè)平面相交,假如所成的二面角是________,就說(shuō)這兩個(gè)平面相互垂直.記作________.要點(diǎn)三平面與平面垂直的性質(zhì)文字語(yǔ)言兩個(gè)平面垂直,假如一個(gè)平面內(nèi)有一條直線垂直于這兩個(gè)平面的________,那么這條直線與另一個(gè)平面________符號(hào)語(yǔ)言eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥βα∩β=l))?a⊥β圖形語(yǔ)言作用①面面垂直?________垂直;②作面的垂線要點(diǎn)四平面與平面垂直的判定文字語(yǔ)言假如一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的________,那么這兩個(gè)平面垂直符號(hào)語(yǔ)言eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥β))?α⊥β圖形語(yǔ)言eq\x(狀元隨筆)(1)由該定理可知要證明平面與平面垂直,可轉(zhuǎn)化為從現(xiàn)有直線中找尋平面的垂線,即證明線面垂直.(2)兩個(gè)平面垂直的判定定理,不僅是判定兩個(gè)平面相互垂直的依據(jù),也是找出一個(gè)平面的垂面的依據(jù).例如,建筑工人在砌墻時(shí),常用一端系有鉛錘的線來(lái)檢查所砌的墻面是否和水平面垂直,事實(shí)上,就是依據(jù)這個(gè)原理.[基礎(chǔ)自測(cè)]1.推斷正誤(正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”)(1)已知一條直線垂直于某一個(gè)平面,則過(guò)該直線的隨意一個(gè)平面與該平面都垂直.()(2)兩個(gè)平面垂直,其中一個(gè)平面內(nèi)的任一條直線與另一個(gè)平面肯定垂直.()(3)假如平面α不垂直于平面β,那么平面α內(nèi)肯定不存在直線垂直于平面β.()(4)假如平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么l⊥平面γ.()2.空間四邊形ABCD中,若AD⊥BC,BD⊥AD,那么有()A.平面ABC⊥平面ADCB.平面ABC⊥平面ADBC.平面ABC⊥平面DBCD.平面ADC⊥平面DBC3.對(duì)于直線m、n和平面α、β,能得出α⊥β的一個(gè)條件是()A.m⊥n,m∥α,n∥βB.m⊥n,α∩β=m,n?αC.m∥n,n⊥β,m?αD.m∥n,m⊥α,n⊥β4.如圖所示,已知PA⊥矩形ABCD所在的平面,則圖中相互垂直的平面有________對(duì).題型一平面與平面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用——師生共研例1如圖,正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面相互垂直,EF∥AC,AB=eq\r(2),CE=EF=1,求證:CF⊥平面BDE.方法歸納(1)兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理可作為判定線面垂直的依據(jù).當(dāng)已知兩個(gè)平面垂直時(shí),可在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線,即是另一平面的垂線.(2)證明線面垂直的常用方法:①線面垂直的判定定理;②面面垂直的性質(zhì)定理;③a∥b,b⊥α?a⊥α.跟蹤訓(xùn)練1在三棱錐P-ABC中,PA⊥平面ABC,平面PAB⊥平面PBC.求證:BC⊥AB.

題型二平面與平面垂直的判定定理的應(yīng)用——微點(diǎn)探究微點(diǎn)1利用面面垂直的定義證明例2如圖,四面體ABCD中,△ABC是正三角形,△ACD是直角三角形,∠ABD=∠CBD,AB=BD.證明:平面ACD⊥平面ABC.方法歸納證明二面角的平面角為直角的判定方法(1)找出兩相交平面的平面角;(2)證明這個(gè)平面角是直角;(3)依據(jù)定義,這兩個(gè)相交平面相互垂直.微點(diǎn)2利用面面垂直的判定定理證明欲證平面EBD⊥平面ABCD,只需在平面EBD內(nèi)找到一條直線垂直于平面ABCD,可考慮直線EF.例3如圖,在四棱錐S-ABCD中,底面四邊形ABCD是平行四邊形,SC⊥平面ABCD,E為SA的中點(diǎn).求證:平面EBD⊥平面ABCD.方法歸納利用判定定理證明面面垂直的一般方法:先從已知條件的直線中找尋平面的垂線,若這樣的垂線存在,則可通過(guò)線面垂直來(lái)證明面面垂直;若這樣的垂線不存在,則需通過(guò)作協(xié)助線來(lái)解決.跟蹤訓(xùn)練2如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)棱垂直底面,∠ACB=90°,AC=BC=eq\f(1,2)AA1,D是棱AA1的中點(diǎn).證明:平面BDC1⊥平面BDC.題型三求二面角——師生共研例4如圖,AB是⊙O的直徑,PA垂直于⊙O所在平面,C是圓周上不同于A、B的一點(diǎn),且AB=2,PA=BC=1.(1)求證:平面PAC⊥平面PBC;(2)求二面角P-BC-A的大小.變式探究本例條件不變,試求二面角C-PA-B的大小.方法歸納(1)求二面角大小的關(guān)鍵是先找出或作出平面角,再把平面角放在三角形中,最終利用解三角形得到平面角的大小或三角函數(shù)值,其步驟為:作角證明計(jì)算.(2)要在適當(dāng)位置作出二面角的平面角,就要留意視察二面角兩個(gè)面的特點(diǎn),如是否為等腰三角形等.易錯(cuò)辨析平面與平面垂直的條件把握不精確致誤例5[多選題]已知兩個(gè)平面垂直,則下列說(shuō)法中正確的有()A.一個(gè)平面內(nèi)的已知直線必垂直于另一個(gè)平面內(nèi)的隨意一條直線B.一個(gè)平面內(nèi)的已知直線必垂直于另一個(gè)平面內(nèi)的多數(shù)條直線C.經(jīng)過(guò)一個(gè)平面的垂線的平面與這個(gè)平面垂直D.過(guò)一個(gè)平面內(nèi)隨意一點(diǎn)作交線的垂線,則此垂線必垂直于另一個(gè)平面解析:如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,對(duì)于A,AD1?平面AA1D1D,BD?平面ABCD,AD1與BD是異面直線,且?jiàn)A角為60°,故A錯(cuò)誤;B正確;對(duì)于C,A1A⊥平面ABCD,A1A?平面A1ABB1,所以平面A1ABB1⊥平面ABCD,C正確;對(duì)于D,過(guò)平面AA1D1D內(nèi)的點(diǎn)D1,作D1C,因?yàn)锳D⊥平面D1DCC1,D1C?平面D1DCC1,所以AD⊥D1C,但D1C不垂直于平面ABCD,故D錯(cuò)誤.故選BC.答案:BC易錯(cuò)警示易錯(cuò)緣由糾錯(cuò)心得對(duì)平面與平面垂直的條件把握不精確,很簡(jiǎn)單認(rèn)為D正確,導(dǎo)致錯(cuò)選為BCD.D選項(xiàng)其實(shí)與平面與平面垂直的性質(zhì)定理是不同的,即“兩個(gè)平面垂直,則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直”與“兩個(gè)平面垂直,則過(guò)一個(gè)平面內(nèi)隨意一點(diǎn)作交線的垂線,此垂線與另一個(gè)平面垂直”是不同的,關(guān)鍵是過(guò)點(diǎn)作的直線不肯定在平面內(nèi).eq\x(溫馨提示:請(qǐng)完成課時(shí)作業(yè)46)5.2平面與平面垂直新知初探·課前預(yù)習(xí)要點(diǎn)一兩兩個(gè)半平面棱面[0°,180°]要點(diǎn)二直二面角α⊥β要點(diǎn)三交線垂直a?αa⊥l線面要點(diǎn)四垂線l?α[基礎(chǔ)自測(cè)]1.(1)√(2)×(3)√(4)√2.解析:因?yàn)锳D⊥BC,AD⊥BD,BC∩BD=B,所以AD⊥平面DBC.又因?yàn)锳D?平面ADC,所以平面ADC⊥平面DBC.故選D.答案:D3.解析:取正方體ABCD-A1B1C1D1,連接AC,A1C1,把AD所在直線看作直線m,BB1所在直線看作直線n,把平面BB1C1C作為平面α,平面AA1C1C作為平面β.對(duì)于A雖滿意m⊥n,m∥α,n∥β,但α不垂直于β,從而否定A.類似地可否定B和D.答案:C4.解析:由PA⊥矩形ABCD知,平面PAD⊥平面ABCD,平面PAB⊥平面ABCD;由AB⊥平面PAD知,平面PAB⊥平面PAD;由BC⊥平面PAB知,平面PBC⊥平面PAB;由DC⊥平面PAD知,平面PDC⊥平面PAD.故題圖中相互垂直的平面有5對(duì).答案:5題型探究·課堂解透題型一例1證明:如圖,設(shè)AC∩BD=G,連接EG,F(xiàn)G.由AB=eq\r(2)易知CG=1,則EF=CG=CE.又EF∥CG,所以四邊形CEFG為菱形,所以CF⊥EG.因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形,所以BD⊥AC.又平面ACEF⊥平面ABCD,且平面ACEF∩平面ABCD=AC,所以BD⊥平面ACEF,CF?平面ACEF,所以BD⊥CF.又BD∩EG=G,所以CF⊥平面BDE.跟蹤訓(xùn)練1證明:如圖所示,在平面PAB內(nèi)作AD⊥PB于點(diǎn)D.∵平面PAB⊥平面PBC,且平面PAB∩平面PBC=PB,∴AD⊥平面PBC.又BC?平面PBC,∴AD⊥BC.∵PA⊥平面ABC,BC?平面ABC,∴PA⊥BC.∵PA∩AD=A,∴BC⊥平面PAB.又AB?平面PAB,∴BC⊥AB.題型二例2證明:由題設(shè)可得△ABD≌△CBD,從而AD=CD.又△ACD是直角三角形,所以∠ADC=90°.如圖,取AC的中點(diǎn)O,連接DO,BO,則DO⊥AC,DO=AO.又因?yàn)椤鰽BC是正三角形,故BO⊥AC,所以∠DOB為二面角D-AC-B的平面角.在Rt△AOB中,BO2+AO2=AB2,又AB=BD,所以BO2+DO2=BO2+AO2=AB2=BD2,故∠DOB=90°.所以平面ACD⊥平面ABC.例3證明:如圖,連接AC,與BD交于點(diǎn)F,連接EF.∵F為?ABCD的對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn),∴F為AC的中點(diǎn).∵E為SA的中點(diǎn),∴EF為△SAC的中位線,∴EF∥SC.∵SC⊥平面ABCD,∴EF⊥平面ABCD.又∵EF?平面EBD,∴平面EBD⊥平面ABCD.跟蹤訓(xùn)練2證明:由題設(shè)知BC⊥CC1,BC⊥AC,CC1∩AC=C,所以BC⊥平面ACC1A1.又DC1?平面ACC1A1,所以DC1⊥BC.由題設(shè)知∠A1DC1=∠ADC=45°,所以∠CDC1=90°,即DC1⊥DC.又DC∩BC=C.所以DC1⊥平面BDC.又DC1?平面BDC1,故平面BDC1⊥平面BDC.題型三例4解析:(1)證明:∵A,B,C在⊙O上,∴⊙O所在平面可記為平面ABC,∵PA⊥平面ABC,BC?平面ABC,∴PA⊥BC.∵C在圓周上,且異于A、B兩點(diǎn),AB是⊙O的直徑∴BC⊥AC.又AC∩PA=A,∴BC⊥平面PAC.又BC?平面PBC,∴平面PAC⊥平面PBC.(2)由(1)知,BC⊥平面PAC,∵PC?平面PAC,∴PC⊥BC,又∵AC⊥BC,∴∠PCA為二面角P-BC-A的

溫馨提示

  • 1. 本站所有資源如無(wú)特殊說(shuō)明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請(qǐng)下載最新的WinRAR軟件解壓。
  • 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請(qǐng)聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
  • 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁(yè)內(nèi)容里面會(huì)有圖紙預(yù)覽,若沒(méi)有圖紙預(yù)覽就沒(méi)有圖紙。
  • 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
  • 5. 人人文庫(kù)網(wǎng)僅提供信息存儲(chǔ)空間,僅對(duì)用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護(hù)處理,對(duì)用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對(duì)任何下載內(nèi)容負(fù)責(zé)。
  • 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當(dāng)內(nèi)容,請(qǐng)與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
  • 7. 本站不保證下載資源的準(zhǔn)確性、安全性和完整性, 同時(shí)也不承擔(dān)用戶因使用這些下載資源對(duì)自己和他人造成任何形式的傷害或損失。

評(píng)論

0/150

提交評(píng)論