5．2平面與平面垂直[教材要點(diǎn)]要點(diǎn)一二面角半平面的定義平面內(nèi)的一條直線把平面分成________部分，其中的每一部分都稱為半平面二面角的定義從一條直線動(dòng)身的________所組成的圖形稱為二面角二面角的相關(guān)概念這條直線稱為二面角的________，這兩個(gè)半平面稱為二面角的________二面角的畫法二面角的記法二面角α-l-β或α-AB-β或P-l-Q或P-AB-Q二面角的平面角定義在二面角α-l-β的棱l上任取一點(diǎn)O，以點(diǎn)O為垂足，在半平面α和β內(nèi)分別作垂直于棱l的射線OA和OB，則射線OA和OB構(gòu)成的∠AOB叫做二面角的平面角圖形范圍∠AOB的范圍是________eq\x(狀元隨筆)作二面角的平面角的方法方法一(定義法)在二面角的棱上找一特別點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線．如圖①，∠AOB為二面角α-a-β的平面角．方法二(垂面法)過(guò)棱上一點(diǎn)作棱的垂直平面，該平面與二面角的兩個(gè)半平面產(chǎn)生交線，這兩條交線所成的角，即為二面角的平面角．如圖②，∠AOB為二面角α-l-β的平面角．方法三(垂線法)過(guò)二面角的一個(gè)面內(nèi)一點(diǎn)作另一個(gè)平面的垂線，過(guò)垂足作棱的垂線，利用線面垂直可找到二面角的平面角或其補(bǔ)角．如圖③，∠AFE為二面角A-BC-D的平面角．要點(diǎn)二平面與平面垂直的定義兩個(gè)平面相交，假如所成的二面角是________，就說(shuō)這兩個(gè)平面相互垂直．記作________．要點(diǎn)三平面與平面垂直的性質(zhì)文字語(yǔ)言兩個(gè)平面垂直，假如一個(gè)平面內(nèi)有一條直線垂直于這兩個(gè)平面的________，那么這條直線與另一個(gè)平面________符號(hào)語(yǔ)言eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥βα∩β＝l))?a⊥β圖形語(yǔ)言作用①面面垂直?________垂直；②作面的垂線要點(diǎn)四平面與平面垂直的判定文字語(yǔ)言假如一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的________，那么這兩個(gè)平面垂直符號(hào)語(yǔ)言eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥β))?α⊥β圖形語(yǔ)言eq\x(狀元隨筆)(1)由該定理可知要證明平面與平面垂直，可轉(zhuǎn)化為從現(xiàn)有直線中找尋平面的垂線，即證明線面垂直．(2)兩個(gè)平面垂直的判定定理，不僅是判定兩個(gè)平面相互垂直的依據(jù)，也是找出一個(gè)平面的垂面的依據(jù)．例如，建筑工人在砌墻時(shí)，常用一端系有鉛錘的線來(lái)檢查所砌的墻面是否和水平面垂直，事實(shí)上，就是依據(jù)這個(gè)原理．[基礎(chǔ)自測(cè)]1．推斷正誤(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)(1)已知一條直線垂直于某一個(gè)平面，則過(guò)該直線的隨意一個(gè)平面與該平面都垂直．()(2)兩個(gè)平面垂直，其中一個(gè)平面內(nèi)的任一條直線與另一個(gè)平面肯定垂直．()(3)假如平面α不垂直于平面β，那么平面α內(nèi)肯定不存在直線垂直于平面β.()(4)假如平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ.()2．空間四邊形ABCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，那么有()A．平面ABC⊥平面ADCB．平面ABC⊥平面ADBC．平面ABC⊥平面DBCD．平面ADC⊥平面DBC3．對(duì)于直線m、n和平面α、β，能得出α⊥β的一個(gè)條件是()A．m⊥n，m∥α，n∥βB．m⊥n，α∩β＝m，n?αC．m∥n，n⊥β，m?αD．m∥n，m⊥α，n⊥β4．如圖所示，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，則圖中相互垂直的平面有________對(duì)．題型一平面與平面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用——師生共研例1如圖，正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面相互垂直，EF∥AC，AB＝eq\r(2)，CE＝EF＝1，求證：CF⊥平面BDE.方法歸納(1)兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理可作為判定線面垂直的依據(jù)．當(dāng)已知兩個(gè)平面垂直時(shí)，可在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線，即是另一平面的垂線．(2)證明線面垂直的常用方法：①線面垂直的判定定理；②面面垂直的性質(zhì)定理；③a∥b，b⊥α?a⊥α.跟蹤訓(xùn)練1在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.求證：BC⊥AB.

題型二平面與平面垂直的判定定理的應(yīng)用——微點(diǎn)探究微點(diǎn)1利用面面垂直的定義證明例2如圖，四面體ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD＝∠CBD，AB＝BD.證明：平面ACD⊥平面ABC.方法歸納證明二面角的平面角為直角的判定方法(1)找出兩相交平面的平面角；(2)證明這個(gè)平面角是直角；(3)依據(jù)定義，這兩個(gè)相交平面相互垂直．微點(diǎn)2利用面面垂直的判定定理證明欲證平面EBD⊥平面ABCD，只需在平面EBD內(nèi)找到一條直線垂直于平面ABCD，可考慮直線EF.例3如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面四邊形ABCD是平行四邊形，SC⊥平面ABCD，E為SA的中點(diǎn)．求證：平面EBD⊥平面ABCD.方法歸納利用判定定理證明面面垂直的一般方法：先從已知條件的直線中找尋平面的垂線，若這樣的垂線存在，則可通過(guò)線面垂直來(lái)證明面面垂直；若這樣的垂線不存在，則需通過(guò)作協(xié)助線來(lái)解決．跟蹤訓(xùn)練2如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)棱垂直底面，∠ACB＝90°，AC＝BC＝eq\f(1,2)AA1，D是棱AA1的中點(diǎn)．證明：平面BDC1⊥平面BDC.題型三求二面角——師生共研例4如圖，AB是⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在平面，C是圓周上不同于A、B的一點(diǎn)，且AB＝2，PA＝BC＝1.(1)求證：平面PAC⊥平面PBC；(2)求二面角P-BC-A的大小．變式探究本例條件不變，試求二面角C-PA-B的大小．方法歸納(1)求二面角大小的關(guān)鍵是先找出或作出平面角，再把平面角放在三角形中，最終利用解三角形得到平面角的大小或三角函數(shù)值，其步驟為：作角證明計(jì)算．(2)要在適當(dāng)位置作出二面角的平面角，就要留意視察二面角兩個(gè)面的特點(diǎn)，如是否為等腰三角形等．易錯(cuò)辨析平面與平面垂直的條件把握不精確致誤例5[多選題]已知兩個(gè)平面垂直，則下列說(shuō)法中正確的有()A．一個(gè)平面內(nèi)的已知直線必垂直于另一個(gè)平面內(nèi)的隨意一條直線B．一個(gè)平面內(nèi)的已知直線必垂直于另一個(gè)平面內(nèi)的多數(shù)條直線C．經(jīng)過(guò)一個(gè)平面的垂線的平面與這個(gè)平面垂直D．過(guò)一個(gè)平面內(nèi)隨意一點(diǎn)作交線的垂線，則此垂線必垂直于另一個(gè)平面解析：如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，對(duì)于A，AD1?平面AA1D1D，BD?平面ABCD，AD1與BD是異面直線，且?jiàn)A角為60°，故A錯(cuò)誤；B正確；對(duì)于C，A1A⊥平面ABCD，A1A?平面A1ABB1，所以平面A1ABB1⊥平面ABCD，C正確；對(duì)于D，過(guò)平面AA1D1D內(nèi)的點(diǎn)D1，作D1C，因?yàn)锳D⊥平面D1DCC1，D1C?平面D1DCC1，所以AD⊥D1C，但D1C不垂直于平面ABCD，故D錯(cuò)誤．故選BC.答案：BC易錯(cuò)警示易錯(cuò)緣由糾錯(cuò)心得對(duì)平面與平面垂直的條件把握不精確，很簡(jiǎn)單認(rèn)為D正確，導(dǎo)致錯(cuò)選為BCD.D選項(xiàng)其實(shí)與平面與平面垂直的性質(zhì)定理是不同的，即“兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直”與“兩個(gè)平面垂直，則過(guò)一個(gè)平面內(nèi)隨意一點(diǎn)作交線的垂線，此垂線與另一個(gè)平面垂直”是不同的，關(guān)鍵是過(guò)點(diǎn)作的直線不肯定在平面內(nèi).eq\x(溫馨提示：請(qǐng)完成課時(shí)作業(yè)46)5．2平面與平面垂直新知初探·課前預(yù)習(xí)要點(diǎn)一兩兩個(gè)半平面棱面[0°，180°]要點(diǎn)二直二面角α⊥β要點(diǎn)三交線垂直a?αa⊥l線面要點(diǎn)四垂線l?α[基礎(chǔ)自測(cè)]1．(1)√(2)×(3)√(4)√2．解析：因?yàn)锳D⊥BC，AD⊥BD，BC∩BD＝B，所以AD⊥平面DBC.又因?yàn)锳D?平面ADC，所以平面ADC⊥平面DBC.故選D.答案：D3.解析：取正方體ABCD-A1B1C1D1，連接AC，A1C1，把AD所在直線看作直線m，BB1所在直線看作直線n，把平面BB1C1C作為平面α，平面AA1C1C作為平面β.對(duì)于A雖滿意m⊥n，m∥α，n∥β，但α不垂直于β，從而否定A.類似地可否定B和D.答案：C4．解析：由PA⊥矩形ABCD知，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAB⊥平面ABCD；由AB⊥平面PAD知，平面PAB⊥平面PAD；由BC⊥平面PAB知，平面PBC⊥平面PAB；由DC⊥平面PAD知，平面PDC⊥平面PAD.故題圖中相互垂直的平面有5對(duì)．答案：5題型探究·課堂解透題型一例1證明：如圖，設(shè)AC∩BD＝G，連接EG，F(xiàn)G.由AB＝eq\r(2)易知CG＝1，則EF＝CG＝CE.又EF∥CG，所以四邊形CEFG為菱形，所以CF⊥EG.因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，所以BD⊥AC.又平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，所以BD⊥平面ACEF，CF?平面ACEF，所以BD⊥CF.又BD∩EG＝G，所以CF⊥平面BDE.跟蹤訓(xùn)練1證明：如圖所示，在平面PAB內(nèi)作AD⊥PB于點(diǎn)D.∵平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC＝PB，∴AD⊥平面PBC.又BC?平面PBC，∴AD⊥BC.∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC.∵PA∩AD＝A，∴BC⊥平面PAB.又AB?平面PAB，∴BC⊥AB.題型二例2證明：由題設(shè)可得△ABD≌△CBD，從而AD＝CD.又△ACD是直角三角形，所以∠ADC＝90°.如圖，取AC的中點(diǎn)O，連接DO，BO，則DO⊥AC，DO＝AO.又因?yàn)椤鰽BC是正三角形，故BO⊥AC，所以∠DOB為二面角D-AC-B的平面角．在Rt△AOB中，BO2＋AO2＝AB2，又AB＝BD，所以BO2＋DO2＝BO2＋AO2＝AB2＝BD2，故∠DOB＝90°.所以平面ACD⊥平面ABC.例3證明：如圖，連接AC，與BD交于點(diǎn)F，連接EF.∵F為?ABCD的對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)，∴F為AC的中點(diǎn)．∵E為SA的中點(diǎn)，∴EF為△SAC的中位線，∴EF∥SC.∵SC⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD.又∵EF?平面EBD，∴平面EBD⊥平面ABCD.跟蹤訓(xùn)練2證明：由題設(shè)知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC＝C，所以BC⊥平面ACC1A1.又DC1?平面ACC1A1，所以DC1⊥BC.由題設(shè)知∠A1DC1＝∠ADC＝45°，所以∠CDC1＝90°，即DC1⊥DC.又DC∩BC＝C.所以DC1⊥平面BDC.又DC1?平面BDC1，故平面BDC1⊥平面BDC.題型三例4解析：(1)證明：∵A，B，C在⊙O上，∴⊙O所在平面可記為平面ABC，∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC.∵C在圓周上，且異于A、B兩點(diǎn)，AB是⊙O的直徑∴BC⊥AC.又AC∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC.又BC?平面PBC，∴平面PAC⊥平面PBC.(2)由(1)知，BC⊥平面PAC，∵PC?平面PAC，∴PC⊥BC，又∵AC⊥BC，∴∠PCA為二面角P-BC-A的