總復(fù)習(xí)期末復(fù)習(xí)課期末復(fù)習(xí)課（四）（第四章圖形的相似）數(shù)學(xué)九年級上冊BS版知識梳理典例講練目錄CONTENTS數(shù)學(xué)九年級上冊BS版01知識梳理

等于

ad＝

bc

ad＝

bc

2.平行線分線段成比例.基本圖形：（“日”型，“A”型，“X”型）圖1圖2圖3

3.相似三角形的判定及性質(zhì).（1）相似三角形的判定.①判定一：兩角分別相等的兩個三角形相似（最常用的判定）.②判定二：兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似.③判定三：三邊成比例的兩個三角形相似.④相似多邊形的判定：每個角對應(yīng)相等，每條邊對應(yīng)成比例的多邊形相似.（2）相似三角形（多邊形）的性質(zhì).①相似三角形對應(yīng)

的比、對應(yīng)

?的比和對應(yīng)

的比都等于相似比.②相似三角形（多邊形）的周長比等于

，面積比等于

?.高

角平分線

中線

相似比

相似比的平方

4.相似三角形的幾種常見模型.模型圖形“平行線”型

“斜交”型（∠1＝∠2）

“垂直”型

5.圖形的位似.（1）一般地，如果兩個相似多邊形任意一組對應(yīng)頂點P，P'所在的直線都經(jīng)過同一點O，且有OP'＝k·OP（k≠0），那么這樣的兩個多邊形做

?.（2）位似多邊形除具有相似多邊形的所有性質(zhì)外，還具有下列性質(zhì)：①對應(yīng)頂點的連線經(jīng)過

；②對應(yīng)邊平行或在同一條直線上；③對應(yīng)頂點到位似中心的距離之比等于

?

?.位似多邊形

位似中心

相

似比

數(shù)學(xué)九年級上冊BS版02典例講練類型一

成比例問題

如圖，AD是△ABC的中線，點E是AD上的一點，且3AE

＝

AD，CE的延長線交AB于點F.

若AF＝12cm，則AB

＝

?cm.60

【解析】如圖，過點D作FC的平行線DG，與AB交于點G.∵AD是△ABC的中線，根據(jù)平行線等分線段定理（或中位線性質(zhì)），得

BG＝FG.

根據(jù)平行線分線段成比例定理，得AF∶AG

＝

AE∶AD.

∵AF＝12cm，3AE＝AD，∴

AG＝36cm.∴FG

＝36－12＝24（cm）.∴

BG＝FG＝24cm.∴

AB＝AG＋BG＝36＋24＝60（cm）.故答案為60.

【點撥】遇到線段比值問題時，首先考慮構(gòu)造平行線，構(gòu)造出“A”型、“X”型斜交型或“垂直”型，再根據(jù)平行線分線段成比例求出線段的長.同時，一些特殊位置點，例如中點，是中考填空題常考內(nèi)容.我們要學(xué)會聯(lián)想中點在解決幾何問題中的兩個重要內(nèi)容：分線段長（中位線）和面積.

1.如圖，已知直線a，b被三條互相平行的直線l1，l2，l3所截，

AB＝3，BC＝2，則DE∶DF＝

?.（第1題圖）3∶5

2.如圖，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，點P在BC邊上的高

AD上，且2AP＝PD，BP的延長線交AC于點E.

若S△ABC＝10，則S△ABE＝

，S△DEC＝

?.（第2題圖）2

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類型二

相似三角形的判定與性質(zhì)

如圖，在△ABC中，AC＝12，AB＝15，BC＝18，點D是

BC邊上一點，AC2＝BC·CD，連接AD，點E，F(xiàn)分別是BC，

AB上的點（點F不與點A，B重合），∠CFE＝∠B，CF與

AD相交于點G.

（1）求AD，BD的長；（2）求證：△BEF∽△AFG.

（2）證明：由（1）可知，AD＝BD＝10.∴∠

B＝∠BAD.

∵∠

BEF＋∠B＝∠AFG＋∠CFE，∠

B＝∠CFE，∴∠

BEF＝∠AFG.

∴△BEF∽△AFG.

【點撥】在幾何解答題中，若題目中出現(xiàn)乘積式，則應(yīng)該想到的是相似三角形的性質(zhì)；若又含有平方，則考慮存在共邊，即子母型相似，再從圖形入手.

2.如圖，在Rt△ABC中，已知∠A＝90°，AB＝20cm，AC＝15cm，在這個直角三角形內(nèi)有一個內(nèi)接正方形，正方形的一邊

FG在邊BC上，另兩個頂點E，H分別在邊AB，AC上.（1）求△ABC的BC邊上的高；

答圖（2）求正方形EFGH的邊長.

類型三

相似三角形的實際應(yīng)用

如圖，某水平地面上建筑物的高度為AB，在點D和點F處分別豎立高是2m的標(biāo)桿CD和EF，兩標(biāo)桿相隔8m，并且建筑物

AB、標(biāo)桿CD和EF在同一豎直平面內(nèi).從標(biāo)桿CD后退2m到點

G處，在點G處測得建筑物頂端A和標(biāo)桿頂端C在同一條直線上；從標(biāo)桿EF后退4m到點H處，在點H處測得建筑物頂端A

和標(biāo)桿頂端E在同一條直線上.求建筑物AB的高度.

【點撥】構(gòu)造相似三角形，利用其性質(zhì)解決問題.

如圖，一電線桿AB的影子分別落在了地上和墻上.同一時刻，小明豎起1m高的直桿MN，量得其影長MF為0.5m.量得電線桿

AB落在地上的影子BD長3m，落在墻上的影子CD的高為2m.你能利用小明測量的數(shù)據(jù)計算出電線桿AB的高嗎？解：如答圖，過點C作CG⊥AB于點G，則GC＝BD＝3m，GB＝CD＝2m.∵∠NMF＝∠AGC＝90°，NF∥AC，∴∠NFM＝∠ACG.

∴△NMF∽△AGC.

∴AG＝6m.∴AB＝AG＋GB＝6＋2＝8（m）.答圖故電線桿AB的高為8m.答圖類型四

圖形的位似

如圖，

在△ABC中，

已知A，B兩個頂點在x軸的上方，點

C的坐標(biāo)是（1，0），以點C為位似中心，在x軸的下方作△

ABC的位似圖形△A'B'C，使它與△ABC的相似比為2∶1.設(shè)點

B的橫坐標(biāo)是a，則點B的對應(yīng)點B'的橫坐標(biāo)是

?.－2a＋3

【解析】設(shè)點B'的橫坐標(biāo)為x，則點B，C間的水平距離為a－1，

點

B'，C間的水平距離為－x＋1.∵△A'B'C與△ABC的相似比為2∶1，∴2（a－1）＝－x＋1.解得x＝－2a＋3.故答案為－2a＋3.【點撥】在位似變換與坐標(biāo)問題中，關(guān)鍵在于熟練運(yùn)用數(shù)形結(jié)

合法，會在數(shù)與圖之間轉(zhuǎn)換.如此題中，將相似比為2∶1轉(zhuǎn)化為

B'C＝2BC，又轉(zhuǎn)化為點B'，C的水平距離為點B，C水平距離

的2倍，最后轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)之間的關(guān)系（等式）.

如圖，在由邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格圖中，已知點O及△ABC的頂點均為網(wǎng)格線的交點.（1）在給定網(wǎng)格中，以點O為位似中心，將△ABC放大，得到△

A'B'C'，使A'C'＝3AC.

請畫出△A'B'C'；（1）

解：如圖，△A'B'C'即為所求.（2）B'C'的長度為

，△A'B'C'的面積為

?.

9

類型五

相似三角形中的等積式

如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，AE⊥BC于點E，

AF⊥CD于點F.

求證：（1）△ABE∽△ADF；（2）CD·EF＝AC·AE.

證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠

B＝∠D.

∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠

AEB＝∠AFD＝90°.∴△ABE∽△ADF.

【點撥】證明等積式時，先將等積式化為比例式，再根據(jù)比例式“橫看”或“豎看”找到要證明的兩個相似三角形.有時根據(jù)比例式不能直接找到相似三角形，可能需要等線段替換或等比替換，這需要多次嘗試.

如圖，在?ABCD中，已知對角線AC與BD相交于點O，點E是

DB延長線上的一點，且EA＝EC，分別延長AD，EC交于點F.

（1）求證：四邊形ABCD是菱形；證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴

OA＝OC.

又∵EA＝EC，∴

EO⊥AC，即BD⊥AC.

∴?ABCD是菱形.（2）若∠AEC＝2∠BAC，求證：CE·CF＝AF·AD.

類型六

相似三角形中的動點問題

如圖，已知正方形ABCD的邊長是1，點P是CD的中點，點

Q是線段BC上一動點.當(dāng)BQ的長度為多少時，以點A，