第一章特殊平行四邊形2矩形的性質(zhì)與判定（第二課時(shí)）數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)BS版課前預(yù)習(xí)典例講練目錄CONTENTS課前導(dǎo)入數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)BS版課前預(yù)習(xí)01矩形的判定定理.（1）對(duì)角線

的平行四邊形是矩形；（2）有

個(gè)角是直角的四邊形是矩形.相等

三

數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)BS版課前導(dǎo)入02復(fù)習(xí)引入問題1

矩形的定義是什么？有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形.問題2

矩形有哪些性質(zhì)？矩形邊：角：對(duì)角線：對(duì)邊平行且相等四個(gè)角都是直角對(duì)角線互相平分且相等思考工人師傅在做矩形門窗或零件時(shí)，如何確保圖形是矩形呢？現(xiàn)在師傅帶了兩種工具（卷尺和量角器），他說用這兩種工具的任意一種就可以解決問題，這是為什么呢？這節(jié)課我們一起探討矩形的判定吧.對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形類比平行四邊形的定義也是判定平行四邊形的一種方法，那么矩形的定義也是判定矩形的一種方法.問題1

除了定義以外，判定矩形的方法還有沒有呢？類似地，那我們研究矩形的性質(zhì)的逆命題是否成立.矩形是特殊的平行四邊形.新課講授問題2

上節(jié)課我們已經(jīng)知道“矩形的對(duì)角線相等”，反過來，小明猜想對(duì)角線相等的四邊形是矩形，你覺得對(duì)嗎？思考你能證明這一猜想嗎？我猜想：對(duì)角線相等的四邊形是矩形.不對(duì)，等腰梯形的對(duì)角線也相等.不對(duì)，矩形是特殊的平行四邊形，所以它的對(duì)角線不僅相等且平分.ABCD證一證證明：∵

AB=DC，BC=CB，AC=DB，

∴△ABC≌△DCB.

∴∠ABC=∠DCB.

∵

AB∥CD，

∴∠ABC+∠DCB=180°.

∴∠ABC=90°.

∴□

ABCD是矩形（矩形的定義）.已知：如圖，在□ABCD中，AC，DB是它的兩條對(duì)角線，且

AC=DB.

求證：□ABCD是矩形.矩形的判定定理1：對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形.歸納總結(jié)幾何語言描述：在平行四邊形

ABCD中，∵AC=BD，∴平行四邊形

ABCD是矩形.ADCB思考數(shù)學(xué)來源于生活，事實(shí)上工人師傅為了檢驗(yàn)兩組對(duì)邊相等的四邊形窗框是否成矩形，其中一種方法就是量一量這個(gè)四邊形的兩條對(duì)角線長度，如果對(duì)角線的長相等，那么窗框一定是矩形，你現(xiàn)在知道為什么了嗎？對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形.數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)BS版典例講練03

如圖,在?ABCD中,添加下列條件后,不能得出四邊形ABCD是矩形的是（

D

）DA.∠DAB＋∠DCB＝180°B.AB2＋BC2＝AC2C.AC＝BDD.AC⊥BD【解析】

A

.

∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠DAB＝∠

DCB.

∵∠DAB＋∠DCB＝180°，∴∠DAB＝90°.∴?ABCD是矩形.選項(xiàng)

A

正確.

B

.

∵AB2＋BC2＝AC2，∴∠ABC＝90°.∴?

ABCD是矩形.選項(xiàng)

B

正確.

C

.

∵AC＝BD，∴?ABCD是矩形.選項(xiàng)

C

正確.D.∵AC⊥BD，∴?ABCD是菱形.選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選D.【點(diǎn)撥】矩形是特殊的平行四邊形，特殊在：①四個(gè)角都為直角；②對(duì)角線相等.在平行四邊形的基礎(chǔ)上滿足其中一條即為矩形.

1.如圖，在△ABC中，已知點(diǎn)D,E,F分別在BC,AB,AC

上，且DE∥AC,DF∥AB.

連接AD.（1）若∠BAC＝90°，則四邊形AEDF是

形；矩

（2）若AD是△ABC的角平分線，則四邊形AEDF是

形.（第1題圖）菱

2.如圖,在矩形ABCD中,點(diǎn)M為AD邊的中點(diǎn),點(diǎn)P為BC上一點(diǎn),PE⊥MC,PF⊥MB.

當(dāng)AB,BC滿足條件

時(shí)，則四邊形PEMF為矩形.（第2題圖）

（2022·巴中）如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E為BC邊的中點(diǎn)，連接

AE并延長交DC的延長線于點(diǎn)F，延長EC至點(diǎn)G，使CG＝CE，連接DG，DE，F(xiàn)G.（1）求證：△ABE≌△FCE；（2）若AD＝2AB，求證:四邊形DEFG是矩形.

（2）∵△ABE≌△FCE，∴AB＝CF.

∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝DC.

∴DC＝CF.

又∵CE＝CG，∴四邊形DEFG是平行四邊形.∵點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，CG＝CE，∴BC＝EG.

又∵AD＝BC＝EG＝2AB，且DF＝CD＋CF＝2CD＝2AB，∴DF＝EG.

∴?DEFG是矩形.【點(diǎn)撥】矩形判定的常見思路有兩種：（1）利用角證明：平行四邊形＋一個(gè)內(nèi)角是直角（定義）；三個(gè)角是直角；（2）利用對(duì)角線證明：平行四邊形＋對(duì)角線相等.（2）若AD＝2AB，求證:四邊形DEFG是矩形.

答圖

如圖，在△ABC中，已知點(diǎn)O是AC邊上一點(diǎn)，過點(diǎn)O作BC的平行線，交∠BCA的平分線于點(diǎn)E，交外角∠ACD的平分線于點(diǎn)F.（1）求證：EO＝FO；（2）連接AE，AF.當(dāng)點(diǎn)O沿AC移動(dòng)時(shí)，四邊形AECF是否能成為一個(gè)矩形？若能，點(diǎn)O在什么位置？請(qǐng)說明理由.（1）證明：∵EF∥BC，∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠DCF.

又∵CE平分∠BCO，CF平分∠DCO，∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠DCF.

∴∠OCE＝∠OEC，∠OCF＝∠OFC.

∴EO＝CO，F(xiàn)O＝CO.

∴EO＝FO.

（2）連接AE，AF.當(dāng)點(diǎn)O沿AC移動(dòng)時(shí)，四邊形AECF是否能成為一個(gè)矩形？若能，點(diǎn)O在什么位置？請(qǐng)說明理由.（2）解：當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF是矩形.理由如下：當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，AO＝CO.

又∵EO＝FO，∴四邊形AECF是平行四邊形.∵FO＝CO，∴AO＝CO＝EO＝FO.

∴AO＋CO＝EO＋FO，即AC＝EF.

∴?AECF是矩形.【點(diǎn)撥】（2）小題也可根據(jù)互為鄰補(bǔ)角的角平分線所成的角為直角，結(jié)合角平分線和平行線的性質(zhì)得到等腰三角形，易得△

ECF恒為直角三角形，在此基礎(chǔ)上，得到平行四邊形特征即可.

如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AD和BC上，且AE＝FC，連接AF,CE并延長，分別交DC，BA的延長線于點(diǎn)H,G.（1）求證：△ABF≌△CDE；（2）當(dāng)△

ABF滿足什么條件時(shí)，四邊形

AHCG是矩形？請(qǐng)說明理由.

（2）當(dāng)△ABF滿足什么條件時(shí)，四邊形AHCG是矩形？請(qǐng)說

明理由.（2）解：當(dāng)△ABF滿足∠BAF＝90°時(shí)，四邊形AHCG是矩形.理由如下：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB∥CD.

∴∠DEC＝