第一節分類加法計數原理與分步乘法計數原理·最新考綱·理解分類加法計數原理和分步乘法計數原理，會用分類加法計數原理或分步乘法計數原理分析和解決一些簡潔的實際問題．·考向預料·考情分析：分類加法計數原理、分步乘法計數原理、兩個原理的綜合應用是高考的熱點，題型以選擇題為主，難度將會變小．學科素養：通過兩個計數原理的應用考查數學抽象、數學建模的核心素養．積累必備學問——基礎落實贏得良好開端一、必記1個學問點兩個計數原理分類加法計數原理分步乘法計數原理條件完成一件事有________，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不種的方法完成一件事須要________，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法結論完成這件事共有N＝________種不同的方法完成這件事共有N＝________種不同的方法[提示]分類的關鍵在于要做到“不重不漏”；分步的關鍵在于要正確設計分步的程序，即合理分類，精確分步．在分類與分步之前要確定題目中是否有特別條件限制．二、必明2個常用結論1．分類加法計數原理中，完成一件事的方法屬于其中一類，并且只屬于其中一類．2．分步乘法計數原理中，各個步驟相互依存，步與步之間“相互獨立，分步完成”．三、必練3類基礎題(一)推斷正誤1．推斷下列說法是否正確(請在括號中打“√”或“×”)．(1)在分類加法計數原理中，兩類不同方案中的方法可以相同．()(2)在分類加法計數原理中，每類方案中的方法都能干脆完成這件事．()(3)在分步乘法計數原理中，每個步驟中完成這個步驟的方法是各不相同的．()(4)在分步乘法計數原理中，事情是分兩步完成的，其中任何一個單獨的步驟都能完成這件事．()(二)教材改編2．[選修2－3·P10練習T4改編]已知某公園有4個門，從一個門進，另一個門出，則不同的走法的種數為()A．16B．13C．12D．103．[選修2－3·P12T5改編]設集合A＝{1，3，5，7，9}，B＝{2，4，6，8}，a∈A，b∈B，則直線ax＋by＝2021有()條．A．4B．5C．20D．94．[選修2－3·P5例3改編]書架的第1層放有4本不同的計算機書，第2層放有3本不同的文藝書，第3層放有2本不同的體育書．從書架中任取1本書，則不同取法的種數為________．(三)易錯易混5．(分類分步不清導致出錯)有3女2男共5名志愿者要全部安排到3個社區去參與志愿服務，每個社區1到2人，甲、乙2名女志愿者需到同一社區，男志愿者到不同社區，則不同的分法種數為________．6．(分類分步不清導致出錯)從0，2中選一個數字，從1，3，5中選兩個數字，組成無重復數字的三位數，其中奇數的個數為________．提升關鍵實力——考點突破駕馭類題通法考點一分類加法計數原理[基礎性、應用性][例1](1)橢圓x2m+y2n＝1(m>0，n>0)的焦點在A．10B．12C．20D．35(2)在全部的兩位數中，個位數字大于十位數字的兩位數的個數為________．聽課筆記：一題多變1．(變條件)在例1(1)中，若m∈{1，2，…，k}，n∈{1，2，…，k}(k∈N*)，其他條件不變，則這樣的橢圓有多少個？2．(變條件)若例1(2)條件變為“個位數字不小于十位數字”，則這樣的兩位數有多少個？反思感悟應用分類加法計數原理解決問題的三個步驟【對點訓練】1．[2024·湘贛十四校聯考]有一數學問題可用綜合法和分析法兩種方法證明，有5名同學只會用綜合法證明，有3名同學只會用分析法證明，現從這些同學中任選1名同學證明這個問題，不同的選法種數為()A．8B．15C．18D．302.如圖，從A到O有________種不同的走法(不重復過一點)．3．假如一個三位正整數如“a1a2a3”滿意a1<a2，且a2>a3，則稱這樣的三位數為凸數(如120，343，275等)，那么全部凸數的個數為________．考點二分步乘法計數原理[基礎性、綜合性][例2](1)如圖，小明從街道的E處動身，先到F處與小紅會合，再一起到位于G處的老年公寓參與志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數為()A．24B．18C．12D．9(2)有六名同學報名參與三個智力項目，每項限報一人，且每人至多參與一項，則共有________種不同的報名方法．聽課筆記：一題多變1．(變條件)若本例2(2)中將條件“每項限報一人，且每人至多參與一項”改為“每人恰好參與一項，每項人數不限”，則有多少種不同的報名方法？2．(變條件)若將本例2(2)條件中的“每人至多參與一項”改為“每人參與的項目數不限”，其他不變，則有多少種不同的報名方法？反思感悟用分步乘法計數原理解決問題的三個步驟【對點訓練】1．[2024·蘭州市高三診斷考試]2024年9月1日蘭州地鐵1號線啟用新列車運行圖，進一步增加上線列車數量、縮短列車運行間隔、延長運營時間．兩位同學同時去乘坐地鐵，一列地鐵有6節車廂，兩人進入車廂的方法共有()A．15種B．30種C．36種D．64種2．[2024·東北三校聯考]永定土樓，位于中國東南沿海的福建省龍巖市，是世界上獨一無二的奇妙的山區居民建筑，是中國古建筑的一朵奇葩.2008年7月，永定土樓勝利列入世界遺產名錄．它歷史悠久、風格獨特，規模宏大、結構精致．土樓詳細有圓樓、方樓、五角樓、八角樓、日字形樓、回字形樓、吊腳樓等類型．現某高校建筑系學生要重點對這七種類型的土樓依次進行調查探討．要求調查依次中，圓樓要排在第一個或最終一個，方樓、五角樓相鄰，則不同的排法種數為()A．480B．240C．384D．1440考點三兩個計數原理的綜合應用[綜合性、應用性]角度1與數字有關的問題[例3]用0，1，2，3，4，5，6這7個數字可以組成________個無重復數字的四位偶數．(用數字作答)聽課筆記：反思感悟與數字有關的問題常見的有以下4類：(1)組成的數為“奇數”“偶數”被某數整除的數”；(2)在某范圍內的數；(3)各數字的和具有某種特征；(4)各數字滿意某種關系.角度2與涂色、種植有關的問題[例4]現有5種不同顏色的染料，要對如圖所示的四個不同區域進行涂色，要求有公共邊的兩個區域不能運用同一種顏色，則不同的涂色方法的種數是()A．120B．140C．240D．260聽課筆記：反思感悟涂色問題大致有兩種解答方案(1)選擇正確的涂色依次，按步驟逐一涂色，這時用分步乘法計數原理進行計數．(2)依據涂色時所用顏色數的多少，進行分類處理，這時用分類加法計數原理進行計數.角度3與幾何圖形有關的問題[例5]假如一條直線與一個平面垂直，那么稱此直線與平面構成一個“正交線面對”．在一個正方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構成的“正交線面對”的個數是()A．48B．18C．24D．36聽課筆記：反思感悟求解此類問題可借助于空間幾何體，細致分析題意中涉及的點、線、面的位置關系，把握好分類的標準和分步的依次是求解的關鍵.角度4與集合、數列有關的問題[例6](1)已知集合M＝{1，2，3，4}，集合A，B為集合M的非空子集，若對?x∈A，y∈B，x<y恒成立，則稱(A，B)為集合M的一個“子集對”，則集合M的“子集對”共有________個．(2)[2024·山西太原模擬]如圖所示，玩具計數算盤的三檔上各有7個算珠，現將每檔算珠分為左、右兩部分，左側的每個算珠表示數2，右側的每個算珠表示數1(允許一側無珠)，記上、中、下三檔的數字和分別為a，b，c.例如，圖中上檔的數字和a＝9.若a，b，c成等差數列，則不同的分珠計數法有________種．聽課筆記：反思感悟在解決綜合問題時，可能同時應用兩個計數原理，即分類的方法可能要運用分步完成，分步的方法可能會實行分類的思想求解．分清完成該事情是分類還是分步，“類”間相互獨立，“步”間相互聯系．【對點訓練】1．用數字0，1，2，3，4，5組成沒有重復數字的五位數，其中比40000大的偶數共有()A．144個B．120個C．96個D．72個2.如圖是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形，現在用四種顏色給這四個直角三角形區域涂色，規定每個區域只涂一種顏色，相鄰區域顏色不相同，則有多少種不同的涂色方法()A．24B．72C．84D．1203．從集合{1，2，3，…，10}中隨意選出三個不同的數，使這三個數成等比數列，這樣的等比數列的個數為()A．3B．4C．6D．84.如圖所示，在連接正八邊形的三個頂點而成的三角形中，與正八邊形有公共邊的三角形有________個(用數字作答)．第一節分類加法計數原理與分步乘法計數原理積累必備學問一、兩類不同方案兩個步驟m＋nm·n三、1．答案：(1)×(2)√(3)√(4)×2．解析：將4個門編號為1，2，3，4，從1號門進入后，有3種出門的方式，共有3種走法，從2，3，4號進入，同樣各有3種走法，故共有不同走法3×4＝12(種)．答案：C3．解析：分兩個步驟：第一步確定a，有5種方法，其次步確定b，有4種方法，所以由分步乘法計數原理得直線有5×4＝20(條)．答案：C4．解析：由分步乘法計數原理知，從第1，2，3層共取1本書，不同的取法共有4＋3＋2＝9(種)．答案：95．解析：設3名女志愿者分別為甲，乙，丙.2名男志愿者分別為A，B，則將5人分為3組可以是((甲，乙)，(丙，A)，B)，((甲，乙)，(丙，B)，A)2種狀況，每種狀況是6種安排方式，故有2×6＝12(種)．答案：126．解析：若組成的三位數是奇數，則其百位、十位、個位數字狀況只能為“奇、偶、奇”或“偶、奇、奇”．假如是“奇、偶、奇”，先選個位，則個位有3種狀況，十位有2種狀況，百位有2種狀況，共3×2×2＝12(個)；假如是“偶、奇、奇”，先選個位，則個位有3種狀況，十位有2種狀況，百位只有1種狀況，共3×2×1＝6(個)．因此其中總共有12＋6＝18(個)奇數．答案：18提升關鍵實力考點一例1解析：(1)因為焦點在x軸上，所以m>n.以m的值為標準可分為四類：①m＝5時，n有4種選擇；②m＝4時，n有3種選擇；③m＝3時，n有2種選擇；④m＝2時，n有1種選擇．故由分類加法計數原理可知，符合條件的橢圓共有10個．(2)依據題意，將十位上的數字按1，2，3，4，56，7，8的狀況分成8類，在每一類中滿意題目條件的兩位數分別有8個，7個，6個，5個，4個，3個，2個，1個．由分類加法計數原理知，符合條件的兩位數共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(個)．答案：(1)A(2)36一題多變1．解析：因為m>n，所以當m＝k時，n＝1，2，…，k－1；當m＝k－1時，n＝1，2，…，k－2；…；當m＝3時，n＝1，2；當m＝2時，n＝1.所以共有1＋2＋…＋(k－1)＝kk-12．解析：分兩類：①個位數字大于十位數字的兩位數，由例1(2)知共有36個；②個位數字與十位數字相同的有11，22，33，44，55，66，77，88，99，共9個．由分類加法計數原理知，共有36＋9＝45(個)．對點訓練1．解析：由題意知本題是一個分類計數問題：證明方法分成兩類，一是用綜合法證明，有5種選法，二是用分析法證明，有3種選法，依據分類加法計數原理知共有3＋5＝8種選法．答案：A2．解析：分3類：第一類，干脆由A到O，有1種走法；其次類，中間過一個點，有A→B→O和A→C→O2種不同的走法；第三類，中間過兩個點，有A→B→C→O和A→C→B→O2種不同的走法．由分類加法計數原理可得共有1＋2＋2＝5(種)不同的走法．答案：53．解析：若a2＝2，則百位數字只能選1，個位數字可選1或0，“凸數”為120，121，共2個；若a2＝3，則百位數字有兩種選擇，個位數字有三種選擇，則“凸數”有2×3＝6(個)；若a2＝4，滿意條件的“凸數”有3×4＝12(個)；……；若a2＝9，滿意條件的“凸數”有8×9＝72(個)．所以全部凸數共有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240(個)．答案：240考點二例2解析：(1)由題意可知E→F共有6種走法，F→G共有3種方法，由分步乘法計數原理知，共有6×3＝18(種)走法．解析：(2)每項限報一人，且每人至多參與一項，因此可由項目選人：第一個項目有6種選法，其次個項目有5種選法，第三個項目有4種選法，依據分步乘法計數原理可得，不同的報名方法共有6×5×4＝120(種)．答案：(1)B(2)120一題多變1．解析：每人都可以從這三個智力項目中選報一項，各有3種不同的報名方法，依據分步乘法計數原理可得，不同的報名方法共有36＝729(種)．2．解析：每人參與的項目數不限，因此每一個項目都可以從六人中任選一人，依據分步乘法計數原理可得，不同的報名方法共有63＝216(種)．對點訓練1．解析：設這兩位同學分別為甲、乙，由題意，可分為兩步：第一步，甲同學從這6節車廂中選擇一節進入有6種選法，其次步，乙同學從這6節車廂中選擇一節進入有6種選法，所以兩人進入車廂的方法共有6×6＝36(種)．答案：C2．解析：解決本題分三步，第一步，由于方樓、五角樓相鄰，故先將二者捆綁看成一個整體，有A2其次步，圓樓要排在第一個或最終一個，有A2第三步，其余五種(八角樓、日字形樓、回字形樓、吊腳樓、方樓＋五角樓)全排列，有A5答案：A考點三例3解析：要完成的“一件事”為“組成無重復數字的四位偶數”，所以千位數字不能為0，個位數字必需是偶數，且組成的四位數中四個數字不重復，因此應先分類，再分步．①第1類，當千位數字為奇數，即取1，3，5中的隨意一個時，個位數字可取0，2，4，6中的隨意一個，百位數字不能取與這兩個數字重復的數字，十位數字不能取與這三個數字重復的數字．依據分步乘法計數原理，有3×4×5×4＝240(種)取法．②第2類，當千位數字為偶數，即取2，4，6中的隨意一個時，個位數字可以取除首位數字的隨意一個偶數數字，百位數字不能取與這兩個數字重復的數字，十位數字不能取與這三個數字重復的數字．依據分步乘法計數原理，有3×3×5×4＝180(種)取法．③依據分類加法計數原理，共可以組成240＋180＝420(個)無重復數字的四位偶數．答案：420例4解析：由題意，先涂A處共有5種涂法，再涂B處有4種涂法，最終涂C處，若C處與A處所涂顏色相同，則C處共有1種涂法，D處有4種涂法；若C處與A處所涂顏色不同，到C處有3種涂法，D處有3種涂法，由此可得不同的涂色方法有5×4×(1×4＋3×3)＝260(種)．答案：D例5解析：第1類，對于每一條棱，都可以與兩個側面構成“正交線面對”，這樣的“正交線面對”有2×12＝24(個)；第2類，對于每一條面對角線，都可以與一個對角面構成“正交線面對”，這樣的“正交線面對”有12個．所以正方體中“正交線面對”共有24＋12＝36(個)．答案：D例6解析：(1)A＝{1}時，B有23－1種狀況；A＝{2}時，B有22－1種狀況；A＝{3}時，B有1種狀況；A＝{1，2}時，B有22－1種狀況；A＝{1，3}，{2，3}，{1，2，3}時，B均有1種狀況．故滿意題意的“子集對”共有7＋3＋1＋3＋3＝17(個)．(2)依據題意知a，b，c的取值分別是區間[7，14]中的8個整數之一，故公差d的取值范圍是區間[－3，