第4章彎曲內力4.1引言4.2梁的計算簡圖4.3彎曲內力及內力圖4.4剪力、彎矩與載荷集度間的微分關系4.5平面剛架與曲桿的內力習題

4.1引言

工程中存在著大量的彎曲構件，如圖4-1所示的火車輪軸、圖4-2所示的造紙機上的壓榨輥軸、圖4-3所示的行車大梁等都是彎曲構件的實例。圖4-1

圖4-2圖4-3

一般來說，當桿件承受垂直于軸線的外力，或在其軸線平面內作用有外力偶時，桿的軸線將由直線變為曲線。以軸線變彎為主要特征的變形形式稱為彎曲。以彎曲為主要變形

的桿件稱為梁。

工程中常見梁的橫截面往往具有對稱軸(見圖4-4(a)~(d))，由對稱軸和梁的軸線組成的平面，稱為縱向對稱面(見圖4-4(e))。

圖4-4

4.2梁的計算簡圖

1.作用在梁上的外載荷作用在梁上的外載荷有以下三種：(1)集中載荷：若作用在梁上的橫向力分布范圍很小，可以近似地當作作用在一點的集中載荷，用F表示。(2)集中力偶：作用在微小梁段上的外力偶，可以近似地看作是作用在梁上一點的集中力偶，用M或Me表示。(3)分布載荷：沿梁軸線連續分布在較長范圍內的橫向力，稱為分布載荷。

2.梁支座的簡化

梁的支座可以簡化為以下三種形式：

(1)活動鉸支座：如圖4-5(a)所示，它對梁的約束力FR沿支承面法線方向，圖4-5(a)給出了活動鉸支座及其約束力簡圖。

(2)固定鉸支座：如圖4-5(b)所示，在研究平面問題時，固定鉸支座的約束力可用平面內兩個分力表示，一般情況下，用沿梁軸方向的約束力FRx與垂直于梁軸方向的約束力FRy來表示。

(3)固定端：如圖4-5(c)所示，在研究平面問題時，相應約束力用三個分量表示，即沿梁軸方向的約束力FRx、垂直于梁軸方向的約束力FRy和位于縱向對稱面內的約束力偶Me。

圖4-5

3.靜定梁的基本形式

根據梁的支承情況，靜定梁的基本形式可分為以下三種：

(1)簡支梁：一端為固定鉸支座支承，另一端為活動鉸支座支承的梁稱之為簡支梁，如圖4-6(a)所示。圖4-2所示造紙機上的壓榨輥軸可簡化為簡支梁。

(2)外伸梁：具有一個或兩個外伸部分的簡支梁稱為外伸梁，如圖4-6(b)所示。圖4-1所示火車輪軸可簡化為兩端外伸梁。

(3)懸臂梁：一端固定，另一端自由的梁稱為懸臂梁，如圖4-6(c)所示。高大塔器可簡化為下端固定的懸臂梁。

圖4-6

上述三種梁都可以用靜平衡方程來計算約束力，屬于靜定梁。有時為了保證梁的強度和剛度，為一個梁設置較多的支座，從而使梁的約束力數目多于獨立靜平衡方程數目，這時單憑靜力學知識就不能確定全部約束力，這種梁稱為靜不定梁(超靜定梁)。本章僅限于研究靜定梁的內力。

4.3彎曲內力及內力圖

4.3.1梁橫截面上的內力———剪力與彎矩梁的外力確定后，就可用截面法分析梁的內力。如圖4-7(a)所示簡支梁，用截面法確定距A端為x處截面m-m上的內力。假想沿m-m截面將梁截開，分成左右兩段，任選其中一段，例如左段(見圖4-7(b))進行研究。在左段梁上作用有外力FAy與F1，為了保持左段平衡，m-m截面上一定存在內力。

為了分析其內力，將作用在左段梁上的所有外力均向截面形心C簡化，得主矢F'S和主矩M'。由于外力均垂直于梁軸，主矢F'S也垂直于梁軸。由此可見，當梁彎曲時，橫截面上必然同時存在兩種內力分量：與主矢平衡的內力FS；與主矩平衡的內力偶矩M。這種作用線與橫截面相切的內力稱為剪力，記為FS；作用在縱向對稱面的內力偶矩稱為彎矩，記為M。

根據左段梁的平衡方程

可得

剪力FS的大小等于左段梁上所有橫向外力的代數和，彎矩M的大小等于左段梁上所有外力對形心C取矩的代數和。

同理，如果以右段梁為研究對象(見圖4-7(c))，并根據右段梁的平衡條件計算m-m截面的內力，將得到與左段大小相同的剪力和彎矩，但是其方向相反。

圖4-7

為了使選擇不同研究對象得到的同一橫截面上的剪力和彎矩，不但在數值上相同，而且正負號也一致，剪力和彎矩的正負號需根據變形來確定。規定如下：在梁內欲求內力截面的內側切取微段，凡使該微段沿順時針方向轉動的剪力規定為正(見圖4-8(a))，反之為負；使微段產生凸向下變形的彎矩規定為正(見圖4-8(b))，反之為負。按此規定，圖4-7(b)、(c)所示的m-m截面上的剪力與彎矩均為正值。

圖4-8

例4-1圖4-9所示外伸梁上的外載荷均為已知，試求圖示各指定截面的剪力和彎矩。圖4-9

解(1)求梁的約束力。由靜平衡方程可得

解得

(2)計算各指定截面的內力。對于截面55，取該截面右側部分為研究對象，其余各截面均取相應截面左側部分為研究對象。根據靜平衡方程可求得

1-1截面：

(因為11截面從右端無限接近支座A，即Δ→0，以下同樣理解。)

2-2截面

3-3截面：

4-4截面：

55截面：

4.3.2剪力圖與彎矩圖

一般情況下，在梁的不同橫截面上，剪力與彎矩均不相同，即剪力與彎矩隨橫截面位置的不同而變化。為了描述剪力與彎矩沿梁軸線的變化情況，取梁的軸線為x軸，以坐標x表示橫截面的位置，剪力、彎矩可表示成橫截面位置x的函數，即

上述關系式分別稱為剪力方程和彎矩方程。

描述剪力與彎矩沿梁軸變化的另一重要方法是圖示法。與軸力圖、扭矩圖的表示方式類似，作圖時，以x為橫坐標軸，表示橫截面位置，以FS或M為縱坐標軸，分別繪制剪力、彎矩沿梁軸線變化的曲線，上述曲線分別稱為剪力圖與彎矩圖。

例4-2某填料塔塔盤下的支承梁，在物料重力的作用下，可以簡化為一承受均布載荷的簡支梁，如圖4-10(a)所示，在全梁長度l上承受集度為q的均布載荷作用，試作梁的剪力、彎矩圖。圖4-10

例4-3圖4-11(a)所示簡支梁，在梁上C點處承受集中載荷F的作用。試作梁的剪力圖和彎矩圖。圖4-11

解

(1)計算約束力。以梁AB為研究對象，對B、A兩點分別列出矩式平衡方程∑MB=0和∑MA=0，可解得A端和B端的約束力分別為

例4-4-圖4-12(a)所示懸臂梁，承受集中載荷F與集中力偶Me=Fa作用，試作梁的剪力、彎矩圖。圖4-12

解(1)建立剪力、彎矩方程。由于在截面C處作用有集中力偶，故應將梁分成AC、CB兩段。對于AC段，選坐標x1，可以看出，AC段的剪力、彎矩方程分別為

對于CB段，選坐標x2，可以看出，CB段的剪力、彎矩方程分別為

(2)畫剪力、彎矩圖。根據式(a)、(c)畫出剪力圖(見圖4-12(b))；根據式(b)、(d)畫出彎矩圖(見圖4-12(c))。

由剪力、彎矩圖可以看出，在集中力偶作用處，左右兩側橫截面上的剪力相同，而彎矩發生突變，突變量等于該力偶矩的大小。

例4-5圖4-13(a)所示的簡支梁，承受集中載荷F=qa與半跨度均布載荷q的作用，試作梁的剪力、彎矩圖。

解(1)計算約束力。由平衡方程∑MB=0與∑MA=0可分別計算出A端、B端約束力分別為

方向如圖4-13(a)所示。圖4-13

4.4

剪力、彎矩與載荷集度間的微分關系

圖4-14(a)所示的梁，承受集度為q(x)的分布載荷作用。在此規定載荷集度q向上為正，坐標軸y向上為正，x向右為正。為了研究剪力與彎矩沿梁軸的變化，在梁上切取微段dx(見圖4-14(b))。左截面上的剪力和彎矩分別為FS和M，由于微段上作用有連續變化的分布載荷，內力沿梁軸也將連續變化，因此，右截面上的剪力和彎矩分別為FS+dFS與M+dM。

圖4-14

在上述各力作用下，微段處于平衡狀態，y軸方向的靜平衡方程可寫為

可得

微段上的所有力對右側面形心C取矩的代數和為零，即

略去高階微量q(dx)2/2，可得

將式(4-2)再對x求導，并考慮到式(4-1)，可得

以上三式即為直梁的剪力FS、彎矩M和載荷集度q(x)間的微分關系。

剪力、彎矩與載荷集度間微分關系的幾何意義為：剪力圖某點處的切線斜率，等于梁上相應截面處的載荷集度；彎矩圖某點處的切線斜率，等于相應截面處的剪力；而彎矩圖某點處的二階導數，則等于相應截面處的載荷集度。

特別注意：載荷集度q規定向上為正，x軸向右為正。

根據上述微分關系，可以總結出剪力、彎矩圖的下述規律：

(1)無載荷作用的梁段：因為q(x)=0，即dFS/dx=0，故FS(x)=常數，則該梁段的剪力圖為水平直線。又因為FS(x)=常數，故dM/dx=FS(x)=常數，則該段梁彎矩圖的切線斜率為常數，彎矩圖為一斜直線。由此可見，當梁上僅有集中載荷作用時，其剪力與彎矩圖一定是由直線構成的(見表4-1(1))。

(2)均布載荷作用的梁段：因為q(x)=常數≠0，即

不為零的常數，故剪力圖為斜直線，而彎矩圖為二次拋物線。當均布載荷向上即q>0時，剪力圖為遞增斜直線，彎矩圖為開口向上的拋物線；當均布載荷向下即q<0時，剪力圖為遞減斜直線，彎矩圖為開口向下的拋物線。此外，由于dM/dx=FS，因此，在剪力FS=0的截面處，彎矩取極值，彎矩圖存在相應的極值點(見表4-1(2))。

(3)集中力作用處：在集中力作用處，剪力圖有突變，突變量等于集中力的大小；彎矩圖有折角(見表4-1(3))。

(4)集中力偶作用處：在集中力偶作用處，剪力圖無變化，彎矩圖有突變，突變量等于集中力偶矩的大小(見表4-1(4))。

上述結論可歸結為表4-1。

例4-6圖4-15(a)所示外伸梁，承受均布載荷q、集中載荷F和集中力偶Me作用，其中F=qa，Me=qa2，試作梁的剪力、彎矩圖，并檢驗其正確性。圖4-15

例4-7一外伸梁受均布載荷和集中力偶作用，如圖4-16(a)所示。試作梁的剪力、彎矩圖。圖4-16

解(1)求約束力。以懸臂梁為研究對象，根據靜平衡方程可求得A、B兩處的約束力分別為

(2)繪制剪力圖。根據梁的受力情況，將梁分為CA、AD、DB三段，CA段上作用有均布載荷，故剪力圖為一條斜直線；AD、DB段沒有載荷作用，AB間也沒有集中力作用，故剪力圖為一條水平直線。為準確地畫出剪力圖，需求出以下分段截面上的剪力值：

(3)繪制彎矩圖。CA段上作用有向下的均布載荷，彎矩圖為開口向下的拋物線；AD、DB上無載荷，其彎矩圖為斜直線。為準確畫出各段的彎矩圖，需求出以下各分段截面上的彎矩：

根據以上數據可畫出梁的彎矩圖(見圖4-16(c))。

例4-8利用微分關系畫出圖4-17所示組合梁的剪力圖與彎矩圖。圖4-17

解(1)計算支反力。梁AC受力如圖4-17(a)所示，由平衡方程得A、C處的約束反力為

梁CD(含鉸鏈C)受力如圖4-17(b)所示，由平衡方程得D處的約束反力為

(2)畫剪力圖。將整個組合梁劃分成AB、BC與CD三段，因為梁上僅作用集中載荷，所以各梁段的剪力圖均為水平線，而彎矩圖則為斜直線。

利用截面法，求得各段起點截面的剪力分別為

上述截面的剪力值，在剪力圖中對應a、b與c點，如圖4-17(c)所示。于是，在AB、BC與CD段內，分別過a、b與c點畫水平直線，即得梁的剪力圖。

(3)畫彎矩圖。如上所述，各段梁的彎矩圖均為斜直線。利用截面法，求得各段起點與終點截面的彎矩分別為

4.5平面剛架與曲桿的內力

工程中，某些機器的機身或機架的軸線是由幾段直線組成的折線，如液壓機機身、軋鋼機機架、鉆床床架(見圖4-18)等。在這種結構中，桿與桿的交點稱為節點。由于其剛度很大，受力前后節點處各桿間的夾角保持不變，即桿與桿在節點處不發生相對轉動，因此這樣的節點稱為剛節點。由剛節點連接桿件組成的結構稱為剛架。剛節點處的內力通常包含軸力、剪力和彎矩。

圖4-18

工程中還有一些構件，其軸線是一條平面曲線，稱為平面曲桿，如活塞環、鏈環、拱(見圖4-19)等。平面曲桿橫截面上的內力通常包含軸力、剪力和彎矩。下面舉例說明平面剛架和平面曲桿內力的計算方法和內力圖的繪制。圖4-19

1.平面剛架

平面剛架上的軸力和剪力，其正負規定與直桿相同。而彎矩沒有正負號的規定，彎矩圖畫在桿件受壓纖維的一側即可。

例4-9圖4-20(a)所示剛架ABC，設在AB段承受均布載荷q作用，試分析剛架的內力，畫出內力圖。

圖4-20

2.平面曲桿

平面曲桿橫截面上軸力和剪力正負號的規定與直桿相同。彎矩正負號的規定為：使軸線曲率增加的彎矩為正，反之為負。畫內力圖時，以桿的軸線為基準線，可將正軸力和正剪力畫在曲桿內凹的一側，將彎矩圖畫在曲桿受壓的一側，并以曲率半徑方向的值度量其大小。

例4-10圖4-21所示的曲桿軸線為四分之一圓弧，A處受力F作用。試畫出曲桿的彎矩圖。圖4-21

解(1)內力分析。為了分析內力，在極角為φ的任意橫截面處假想地將曲桿切開，選取上段AC為研究對象，如圖4-21(b)所示。AC在力F及曲桿內力的作用下應處于平衡狀態，曲桿內力包括軸力FN、剪力FS、彎矩M。根據靜平衡方程可得內力方程分別為

(2)畫出內力圖。根據內力方程即可畫出曲桿的內力圖，其彎矩圖如圖4-21(c)所示。作圖時，以曲桿的軸線為基線，并將與所求彎矩相應的點，描在軸線的法線上。彎矩圖畫在曲桿受壓的一側。

4-1試計算題4-1圖所示各梁1、2、3、4截面的剪力與彎矩(2、3截面無限接近于C,1截面無限接近于左端部)。題4-1圖

4-2試列出題4-2圖所示各梁的剪力、彎矩方程,作剪力、