eq\a\vs4\al(第六節雙曲線)[備考方向要明了]考什么怎么考1.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程，知道它的簡單幾何性質．2.了解圓錐曲線的簡單應用、了解雙曲線的實際背景、了解雙曲線在刻畫現實世界或解決實際問題中的作用．3.理解數形結合的思想.1.雙曲線的定義、幾何性質和標準方程是高考常考內容，三種題型均有可能，高考對雙曲線的要求比橢圓要低，難度為中低檔，如年大綱全國T8，新課標全國T8等．2.直線與雙曲線也是高考的重點考查內容之一，多以解答題形式考查，題目難度較大.[歸納·知識整合]1．雙曲線的定義滿足以下三個條件的點的軌跡是雙曲線(1)在平面內；(2)動點到兩定點的距離的差的絕對值為一定值；(3)這一定值一定要小于兩定點的距離．[探究]1.與兩定點F1，F2的距離之差的絕對值等于常數2a的動點的軌跡一定為雙曲線嗎？提示：只有當2a<|F1F2|且2a≠0時，軌跡才是雙曲線；若2a＝|F1F2|，則軌跡是以F1，F2為端點的兩條射線；若2a>|F1F2|，則軌跡不存在．2．雙曲線的標準方程和幾何性質圖形標準方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)性質范圍x≥a或x≤－a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R對稱性對稱軸：坐標軸對稱中心：原點對稱軸：坐標軸對稱中心：原點頂點頂點坐標：A1(－a,0)，A2(a,0)頂點坐標：A1(0，－a)，A2(0，a)漸近線y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x離心率e＝eq\f(c,a)，e∈(1，＋∞)a，b，c的關系c2＝a2＋b2實虛軸線段A1A2叫做雙曲線的實軸，它的長|A1A2|＝2a；線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長|B1B2|＝2b；a叫做雙曲線的實半軸長，b叫做雙曲線的虛半軸長.[探究]2.雙曲線的離心率的大小與雙曲線“開口”大小有怎樣的關系？提示：離心率越大，雙曲線的“開口”越大．3．等軸雙曲線實軸與虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線，其標準方程為x2－y2＝λ(λ≠0)，離心率e＝eq\r(2)，漸近線方程為y＝±x.[自測·牛刀小試]1．雙曲線2x2－y2＝8的實軸長是()A．2 B．2eq\r(2)C．4 D．4eq\r(2)解析：選C由題意知，a＝2，故長軸長為2a＝4.2．雙曲線方程：eq\f(x2,|k|－2)＋eq\f(y2,5－k)＝1，那么k的范圍是()A．k>5 B．2<k<5C．－2<k<2 D．－2<k<2或k>5解析：選D由題意知，(|k|－2)(5－k)<0，解得－2<k<2或k>5.3．若雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為2，則一條漸近線的方程為()A．y＝eq\r(3)x＋1 B．y＝3xC．y＝－3x＋1 D．y＝eq\r(3)x解析：選D由題意知雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x＝±eq\r(\f(c2－a2,a2))x＝±eq\r(e2－1)x，故漸近線方程為y＝±eq\r(3)x.4．設P是雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,9)＝1上一點，雙曲線的一條漸近線方程為3x－2y＝0，F1，F2分別是雙曲線的左，右焦點，若|PF1|＝3，則|PF2|＝()A．1或5 B．6C．7 D．9解析：選C由漸近線方程3x－2y＝0，知eq\f(b,a)＝eq\f(3,2).又b2＝9，所以a＝2，從而|PF2|＝7.5．已知雙曲線的離心率為2，焦點是(－4,0)，(4,0)，則雙曲線方程為________．解析：由已知可得c＝4，a＝2，所以b2＝12，故雙曲線的方程為eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1.答案：eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1雙曲線的定義、標準方程[例1](1)(·大綱全國卷)已知F1，F2為雙曲線C：x2－y2＝2的左，右焦點，點P在C上，|PF1|＝2|PF2|，則cos∠F1PF2＝()A.eq\f(1,4) B.eq\f(3,5)C.eq\f(3,4) D.eq\f(4,5)(2)已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一條漸近線方程是y＝eq\r(3)x，它的一個焦點在拋物線y2＝24x的準線上，則雙曲線的方程為()A.eq\f(x2,36)－eq\f(y2,108)＝1 B.eq\f(x2,9)－eq\f(y2,27)＝1C.eq\f(x2,108)－eq\f(y2,36)＝1 D.eq\f(x2,27)－eq\f(y2,9)＝1[自主解答](1)∵由雙曲線的定義有|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝2eq\r(2)，∴|PF1|＝2|PF2|＝4eq\r(2)，cos∠F1PF2＝eq\f(4\r(2)2＋2\r(2)2－42,2×4\r(2)×2\r(2))＝eq\f(3,4).(2)∵拋物線y2＝24x的準線方程為x＝－6，則在雙曲線中有a2＋b2＝(－6)2＝36.①又∵雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的一條漸近線為方程y＝eq\r(3)x，∴eq\f(b,a)＝eq\r(3).②聯立①②解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝9，,b2＝27.))所以雙曲線的方程為eq\f(x2,9)－eq\f(y2,27)＝1.[答案](1)C(2)B———————————————————雙曲線定義運用中的兩個注意點(1)在解決與雙曲線的焦點有關的距離問題時，通常考慮利用雙曲線的定義；(2)在運用雙曲線的定義解題時，應特別注意定義中的條件“差的絕對值”，弄清楚指整條雙曲線還是雙曲線的一支．1．已知△ABP的頂點A，B分別為雙曲線eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1的左，右焦點，頂點P在雙曲線上，則eq\f(|sinA－sinB|,sinP)的值等于()A.eq\f(4,5) B.eq\f(\r(7),4)C.eq\f(5,4) D.eq\r(7)解析：選A在△ABP中，由正弦定理知eq\f(|sinA－sinB|,sinP)＝eq\f(|PB－PA|,AB)＝eq\f(2a,2c)＝eq\f(8,10)＝eq\f(4,5).2．設F1，F2是雙曲線eq\f(x2,3)－y2＝1的兩個焦點，P在雙曲線上，當△F1PF2的面積為2時，1·2的值為()A．2 B．3C．4 D．6解析：選B設點P(x0，y0)，依題意得，|F1F2|＝2eq\r(3＋1)＝4，S△PF1F2＝eq\f(1,2)|F1F2|×|y0|＝2|y0|＝2，∴|y0|＝1.又∵P在曲線上，∴eq\f(x\o\al(2,0),3)－yeq\o\al(2,0)＝1，即xeq\o\al(2,0)＝3(yeq\o\al(2,0)＋1)＝6.∴1·2＝(－2－x0，－y0)·(2－x0，－y0)＝xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)－4＝3.雙曲線的幾何性質及應用[例2](1)(·福建高考)已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,5)＝1的右焦點為(3,0)，則該雙曲線的離心率等于()A.eq\f(3\r(14),14) B.eq\f(3\r(2),4)C.eq\f(3,2) D.eq\f(4,3)(2)(·新課標全國卷)等軸雙曲線C的中心在原點，焦點在x軸上，C與拋物線y2＝16x的準線交于A，B兩點|AB|＝4eq\r(3)，則C的實軸長為()A.eq\r(2) B．2eq\r(2)C．4 D．8[自主解答](1)因為雙曲線的右焦點坐標為(3,0)，所以c＝3，b2＝5，則a2＝c2－b2＝9－5＝4，所以a＝2.所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(3,2).(2)由題意可設雙曲線的方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,a2)＝1(a>0)．易知拋物線y2＝16x的準線方程為x＝－4，聯立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,a2)－\f(y2,a2)＝1，,x＝－4，))得16－y2＝a2.(*)因為|AB|＝4eq\r(3)，所以y＝±2eq\r(3).代入(*)式，得16－(±2eq\r(3))2＝a2，解得a＝2(a>0)．所以雙曲線C的實軸長為2a＝4.答案：(1)C(2)C———————————————————研究雙曲線幾何性質時的兩個注意點(1)實半軸、虛半軸所構成的直角三角形是值得關注的一個重點；(2)由于e＝eq\f(c,a)是一個比值，故只需根據條件得到關于a，b，c的一個關系式，利用b2＝c2－a2消去b，然后變形即可求e，并注意e>1.3．已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為eq\f(\r(5),2)，則該雙曲線的漸近線斜率為()A．±2 B．±eq\f(4,3)C．±eq\f(1,2) D．±eq\f(3,4)解析：選Ceq\f(b2,a2)＝eq\f(c2－a2,a2)＝e2－1＝eq\f(1,4)，由此可得雙曲線的漸近線的斜率為k＝±eq\f(b,a)＝±eq\f(1,2).直線與雙曲線的綜合[例3]已知雙曲線的中心在原點，離心率為2，一個焦點F(－2,0)．(1)求雙曲線方程；(2)設Q是雙曲線上一點，且過點F，Q的直線l與y軸交于點M，若||＝2||，求直線l的方程．[自主解答](1)由題意可設所求的雙曲線方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，則有e＝eq\f(c,a)＝2，c＝2，所以a＝1，則b＝eq\r(3).所以所求的雙曲線方程為x2－eq\f(y2,3)＝1.(2)因為直線l與y軸相交于M且過焦點F(－2,0)，所以l的斜率一定存在，設為k，則l：y＝k(x＋2)，令x＝0，得M(0,2k)，因為||＝2||且M，Q，F共線于l，所以＝2或＝－2.當＝2時，xQ＝－eq\f(4,3)，yQ＝eq\f(2,3)k，所以Q的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)，\f(2,3)k)).因為Q在雙曲線x2－eq\f(y2,3)＝1上，所以eq\f(16,9)－eq\f(4k2,27)＝1，解得k＝±eq\f(\r(21),2).所以直線l的方程為y＝eq\f(±\r(21),2)(x＋2)．當＝－2時，同理求得Q(－4，－2k)代入雙曲線方程得，16－eq\f(4k2,3)＝1，解得k＝±eq\f(3\r(5),2).所以直線l的方程為y＝±eq\f(3\r(5),2)(x＋2)．綜上：所求的直線l的方程為y＝±eq\f(\r(21),2)(x＋2)或y＝±eq\f(3\r(5),2)(x＋2)．———————————————————求解雙曲線綜合問題的主要方法雙曲線的綜合問題主要為直線與雙曲線的位置關系．解決這類問題的常用方法是設出直線方程或雙曲線方程，然后把直線方程和雙曲線方程組成方程組，消元后轉化成關于x(或y)的一元二次方程，利用根與系數的關系及整體代入的思想解題．設直線與雙曲線交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，直線的斜率為k，則|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|.4．P(x0，y0)(x0≠±a)是雙曲線E：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上一點，M，N分別是雙曲線E的左，右頂點，直線PM，PN的斜率之積為eq\f(1,5).(1)求雙曲線的離心率；(2)過雙曲線E的右焦點且斜率為1的直線交雙曲線于A，B兩點，O為坐標原點，C為雙曲線上一點，滿足＝λ＋，求λ的值．解：(1)點P(x0，y0)(x0≠±a)在雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1上，有eq\f(x\o\al(2,0),a2)－eq\f(y\o\al(2,0),b2)＝1，由題意又有eq\f(y0,x0－a)·eq\f(y0,x0＋a)＝eq\f(1,5)，可得a2＝5b2，c2＝a2＋b2＝6b2，則e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(30),5).(2)聯立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－5y2＝5b2，,y＝x－c，))得4x2－10cx＋35b2＝0.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝\f(5c,2)，,x1x2＝\f(35b2,4).))①設＝(x3，y3)，＝λ＋，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x3＝λx1＋x2，,y3＝λy1＋y2，))又C為雙曲線上一點，則xeq\o\al(2,3)－5yeq\o\al(2,3)＝5b2，即(λx1＋x2)2－5(λy1＋y2)2＝5b2，化簡得λ2(xeq\o\al(2,1)－5yeq\o\al(2,1))＋(xeq\o\al(2,2)－5yeq\o\al(2,2))＋2λ(x1x2－5y1y2)＝5b2.②又A(x1，y1)，B(x2，y2)在雙曲線上，所以xeq\o\al(2,1)－5yeq\o\al(2,1)＝5b2，xeq\o\al(2,2)－5yeq\o\al(2,2)＝5b2.③由①式得x1x2－5y1y2＝x1x2－5(x1－c)(x2－c)＝－4x1x2＋5c(x1＋x2)－5c2＝10b2.④將③④代入②化簡得λ2＋4λ＝0，解得λ＝0或λ＝－4.1個規律——等軸雙曲線的離心率及漸近線的關系雙曲線為等軸雙曲線?雙曲線的離心率e＝eq\r(2)?雙曲線的兩條漸近線互相垂直(位置關系)．2種方法——求雙曲線標準方程的兩種方法(1)定義法，根據題目的條件，若滿足定義，求出相應a，b，c即可求得方程．(2)待定系數法①②待定系數法求雙曲線方程的常用方法eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(與雙曲線\f(x2,a2)－\f(y2,b2)＝1共漸近線的可設為\f(x2,a2)－\f(y2,b2)＝λλ≠0；,若漸近線方程為y＝±\f(b,a)x，則可設為\f(x2,a2)－\f(y2,b2)＝λλ≠0；,若過兩個已知點則設為\f(x2,m)＋\f(y2,n)＝1mn<0.))3個關注點——雙曲線幾何性質的關注點雙曲線的幾何性質從以下三點關注：(1)“六點”：兩焦點、兩頂點、兩虛軸端點；(2)“四線”：兩對稱軸(實、虛軸)，兩漸近線；(3)“兩形”：中心、頂點、虛軸端點構成的三角形，雙曲線上的一點(不包括頂點)與兩焦點構成的三角形．3個防范——雙曲線問題的三個易混點(1)區分雙曲線中的a，b，c大小關系與橢圓a，b，c關系，在橢圓中a2＝b2＋c2，而在雙曲線中c2＝a2＋b2.(2)雙曲線的離心率大于1，而橢圓的離心率e∈(0,1)．(3)雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線方程是y＝±eq\f(b,a)x，eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線方程是y＝±eq\f(a,b)x.易誤警示——雙曲線幾何性質的解題誤區[典例](·湖南高考)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的焦距為10，點P(2,1)在C的漸近線上，則C的方程為()A.eq\f(x2,20)－eq\f(y2,5)＝1 B.eq\f(x2,5)－eq\f(y2,20)＝1C.eq\f(x2,80)－eq\f(y2,20)＝1 D.eq\f(x2,20)－eq\f(y2,80)＝1[解析]由已知可得雙曲線的焦距2c＝10，a2＋b2＝52＝25，排除C，D，又由漸近線方程為y＝eq\f(b,a)x＝eq\f(1,2)x，得eq\f(1,2)＝eq\f(b,a)，解得a2＝20，b2＝5.[答案]Aeq\a\vs4\al([易誤辨析])1．因對雙曲線的幾何性質不清，誤以為c＝10，錯選C；2．因對雙曲線漸近線理解不清而出現漸近線求解錯誤，錯解成eq\f(1,2)＝eq\f(a,b)，從而錯選B.3．解決與雙曲線性質有關的問題時，還易出現對a，b，c之間的關系式c2＝a2＋b2與橢圓中a，b，c之間的關系式a2＝c2＋b2的混淆，從而出現解題錯誤等．eq\a\vs4\al([變式訓練])已知點(2,3)在雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上，C的焦距為4，則它的離心率為________．解析：法一：點(2,3)在雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1上，則eq\f(4,a2)－eq\f(9,b2)＝1，又由于2c＝4，所以a2＋b2＝4.解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4,a2)－\f(9,b2)＝1，,a2＋b2＝4，))得a＝1或a＝4.由于a<c，故a＝1.所以離心率為e＝eq\f(c,a)＝2.法二：∵雙曲線的焦距為4，∴雙曲線的兩焦點分別為F1(－2,0)，F2(2,0)，點(2,3)到兩焦點的距離之差的絕對值為2，即2a＝2，∴a＝1，離心率e＝eq\f(c,a)＝2.答案：2一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分)1．若k∈R則“k>5”是“方程eq\f(x2,k－5)－eq\f(y2,k＋2)＝1表示雙曲線”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：選A當k>5時，方程表示雙曲線；反之，方程表示雙曲線時，有k>5或k<－2.故選A.2．與橢圓eq\f(x2,4)＋y2＝1共焦點且過點P(2,1)的雙曲線方程是()A.eq\f(x2,4)－y2＝1 B.eq\f(x2,2)－y2＝1C.eq\f(x2,3)－eq\f(y2,3)＝1 D．x2－eq\f(y2,2)＝1解析：選B橢圓的焦點坐標為(±eq\r(3)，0)，四個選項中，只有eq\f(x2,2)－y2＝1的焦點為(±eq\r(3)，0)，且經過點P(2,1)．3．(·惠州模擬)已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1與直線y＝2x有交點，則雙曲線離心率的取值范圍為()A．(1，eq\r(5)) B．(1，eq\r(5)]C．(eq\r(5)，＋∞) D．[eq\r(5)，＋∞)解析：選C∵雙曲線的一條漸近線方程為y＝eq\f(b,a)x，則由題意得eq\f(b,a)>2.∴e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)>eq\r(1＋4)＝eq\r(5).4．(·浙江高考)如圖，中心均為原點O的雙曲線與橢圓有公共焦點，M，N是雙曲線的兩頂點．若M，O，N將橢圓長軸四等分，則雙曲線與橢圓的離心率的比值是()A．3 B．2C.eq\r(3) D.eq\r(2)解析：選B設焦點為F(±c,0)，雙曲線的實半軸長為a，則雙曲線的離心率e1＝eq\f(c,a)，橢圓的離心率e2＝eq\f(c,2a)，所以eq\f(e1,e2)＝2.5．已知雙曲線eq\f(x2,2)－eq\f(y2,b2)＝1(b>0)的左，右焦點分別是F1，F2，其一條漸近線方程為y＝x，點P(eq\r(3)，y0)在雙曲線上．則1·2＝()A．－12 B．－2C．0 D．4解析：選C∵由漸近線方程為y＝x知雙曲線是等軸雙曲線，∴雙曲線方程是x2－y2＝2，于是兩焦點坐標分別是(－2,0)和(2,0)，且P(eq\r(3)，1)或P(eq\r(3)，－1)．不妨取P(eq\r(3)，1)，則1＝(－2－eq\r(3)，－1)，2＝(2－eq\r(3)，－1)．∴1·2＝(－2－eq\r(3)，－1)·(2－eq\r(3)，－1)＝－(2＋eq\r(3))·(2－eq\r(3))＋1＝0.6．(·皖南八校聯考)已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點為F，若過點且斜率為eq\f(\r(3),3)的直線與雙曲線漸近線平行，則此雙曲線離心率是()A.eq\f(2\r(3),3) B.eq\r(3)C．2 D．2eq\r(3)解析：選A依題意，應有eq\f(b,a)＝eq\f(\r(3),3)，又eq\f(b,a)＝eq\r(e2－1)，即eq\r(e2－1)＝eq\f(\r(3),3)，解得e＝eq\f(2\r(3),3).二、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分)7．(·江蘇高考)在平面直角坐標系xOy中，若雙曲線eq\f(x2,m)－eq\f(y2,m2＋4)＝1的離心率為eq\r(5)，則m的值為________．解析：由題意得m>0，a＝eq\r(m)，b＝eq\r(m2＋4)，所以c＝eq\r(m2＋m＋4).由e＝eq\f(c,a)＝eq\r(5)得eq\f(m2＋m＋4,m)＝5，解得m＝2.答案：28．P為雙曲線x2－eq\f(y2,15)＝1右支上一點，M，N分別是圓(x＋4)2＋y2＝4和(x－4)2＋y2＝1上的點，則|PM|－|PN|的最大值為________．解析：雙曲線的兩個焦點為F1(－4,0)，F2(4,0)，為兩個圓的圓心，半徑分別為r1＝2，r2＝1，|PM|max＝|PF1|＋2，|PN|min＝|PF2|－1，故|PM|－|PN|的最大值為(|PF1|＋2)－(|PF2|－1)＝|PF1|－|PF2|＋3＝5.答案：59．(·遼寧高考)已知雙曲線x2－y2＝1，點F1，F2為其兩個焦點，點P為雙曲線上一點，若PF1⊥PF2，則|PF1|＋|PF2|的值為________．解析：不妨設點P在雙曲線的右支上，因為PF1⊥PF2，所以(2eq\r(2))2＝|PF1|2＋|PF2|2，又因為|PF1|－|PF2|＝2，所以(|PF1|－|PF2|)2＝4，可得2|PF1|·|PF2|＝4，則(|PF1|＋|PF2|)2＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝12，所以|PF1|＋|PF2|＝2eq\r(3).答案：2eq\r(3)三、解答題(本大題共3小題，每小題12分，共36分)10．雙曲線C與橢圓eq\f(x2,27)＋eq\f(y2,36)＝1有相同焦點，且經過點(eq\r(15)，4)．(1)求雙曲線C的方程；(2)若F1，F2是雙曲線C的兩個焦點，點P在雙曲線C上，且∠F1PF2＝120°，求△F1PF2的面積．解：(1)橢圓的焦點為F1(0，－3)，F2(0,3)．設雙曲線的方程為eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，則a2＋b2＝32＝9.①又雙曲線經過點(eq\r(15)，4)，所以eq\f(16,a2)－eq\f(15,b2)＝1，②解①②得a2＝4，b2＝5或a2＝36，b2＝－27(舍去)，所以所求雙曲線C的方程為eq\f(y2,4)－eq\f(x2,5)＝1.(2)由雙曲線C的方程，知a＝2，b＝eq\r(5)，c＝3.設|PF1|＝m，|PF2|＝n，則|m－n|＝2a＝4，平方得m2－2mn＋n2＝16.①在△F1PF2中，由余弦定理得(2c)2＝m2＋n2－2mncos120°＝m2＋n2＋mn＝36.②由①②得mn＝eq\f(20,3).所以△F1PF2的面積為S＝eq\f(1,2)mnsin120°＝eq\f(5\r(3),3).11．設A，B分別為雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左，右頂點，雙曲線的實軸長為4eq\r(3)，焦點到漸近線的距離為eq\r(3).(1)求雙曲線的方程；(2)已知直線y＝eq\f(\r(3),3)x－2與雙曲線的右支交于M，N兩點，且在雙曲線的右支上存在點D，使＋＝t，求t的值及點D的坐標．解：(1)∵由題意知a＝2eq\r(3)，∴一條漸近線為y＝eq\f(b,2\r(3))x，即bx－2eq\r(3)y＝0.∴eq\f(|bc|,\r(b2＋12))＝eq\r(3)，解得b2＝3，∴雙曲線的方程為eq\f(x2,12)－eq\f(y2,3)＝1.(2)設M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，則x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0.將直線方程代入雙曲線方程得x2－16eq\r(3)x＋84＝0，則x1＋x2＝16eq\r(3)，y1＋y2＝12.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x0,y0)＝\f(4\r(3),3)，,\f(x\o\al(2,0),12)－\f(y\o\al(2,0),3)＝1.))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝4\r(3)，,y0＝3.))∴t＝4，點D的坐標為(4eq\r(3)，3)．12．設雙曲線eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,3)＝1的兩個焦點分別為F1，F2，離心率為2.(1)求此雙曲線的漸近線l1，l2的方程；(2)若A，B分別為l1，l2上的點，且2|AB|＝5|F1F2|，求線段AB的中點M的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線．解：(1)∵e＝2，∴c2＝4a2.∵c2＝a2＋3，∴a＝1，c＝2.∴雙曲線方程為y2－eq\f(x2,3)＝1，漸近線方程為y＝±eq\f(\r(3),3)x.(2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中點M(x，y)．∵2|AB|＝5|F1F2|，∴|AB|＝eq\f(5,2)|F1F2|＝eq\f(5,2)×2c＝10.∴eq\r(x1－x22＋y1－y22)＝10.又y1＝eq\f(\r(3),3)x1，y2＝－eq\f(\r(3),3)x2,2x＝x1＋x2,2y＝y1＋y2，∴y1＋y2＝eq\f(\r(3),3)(x1－x2)，y1－y2＝eq\f(\r(3),3)(x1＋x2)，∴eq\r([\r(3)y1＋y2]2＋\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)x1＋x2))2)＝10，∴3(2y)2＋eq\f(1,3)(2x)2＝100，即eq\f(x2,75)＋eq\f(3y2,25)＝1.則M的軌跡是中心在原點，焦點在x軸上，長軸長為10eq\r(3)，短軸長為eq\f(10\r(3),3)的橢圓．1．已知雙曲線中心在原點且一個焦點為F(eq\r(7)，0)，直線y＝x－1與其相交于M，N兩點，MN中點的橫坐標為－eq\f(2,3)，則此雙曲線的方程是()A.eq\f(x2,3)－eq\f(y2,4)＝1 B.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,3)＝1C.eq\f(x2,5)－eq\f(y2,2)－1 D.eq\f(x2,2)－eq\f(y2,5)＝1解析：選D∵中點