河北省2023屆高三年級適應性考試

數學試卷

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項符合題目要求.

1,若集合A={x*-5x+6叫，5={#一1|>1},則A8=()

A.(2,3]B.[2,3]C.[0,3]D.(0,3]

【答案】A

【解析】

【分析】根據集合的交集運算即可求解.

【詳解】A=-5%+6<=[2,3],B=|x||x-l|>l|=(-<x>,0)u(2,+a)),

因此,Ai8=(2,3].

故選：A.

2.若z=l+i,則|Z2-2Z|=()

A0B.1C.72D.2

【答案】D

【解析】

【分析】由題意首先求得z2_2z的值，然后計算其模即可.

【詳解】由題意可得：Z2=(1+Z)2=2Z,則z2-2z=2i—2(l+i)=-2.

故歸一2z|=|一2|=2

故選：D.

【點睛】本題主要考查復數的運算法則和復數的模的求解等知識，屬于基礎題.

3.已知(石一應]的展開式中含廣2的項的系數為80,則。=()

IX)

A._72B.72C.-2D.2

【答案】C

【解析】

【分析】利用二項展開的通項公式J；5根據指定項求出乙再根據系數求出參數.

【詳解】解：根據二項展開的通項公式，則(+1=仁(4)5-'(-當"

X

5-3r

整理得7；“=C；(T)Z”亍，

因為展開式中含X-2的項的系數為80，

所以0:=—2,解得r=3,

2

所以系數C；(-1)3/=80,解得a=—2.

故選：C.

4.如圖為延安革命紀念館陳列的呈正四棱臺的木盒子，它是以前計量糧食用的斗，其四周和底部五面合

圍，上部開口的中間有一斗柄，作為手提之用.1947年，黨中央果斷做出了“撤離延安、轉戰陜北”的重

大決策，為了及時供應部隊軍糧，保證部隊的糧食需求，地方政府將米脂、鎮川和子洲等地的公糧集中

在沙家店糧站，這個斗就是沙家店糧站當時使用過的，紀念館測得該正四棱臺下底面邊長為38厘米，上

底面邊長為32厘米，側棱長23厘米.則斗的側面與底面夾角余弦值為()

,3V13OR37260「30n

2602602323

【答案】A

【解析】

【分析】作出斗的側面與底面夾角，求得相關線段長，解直角三角形，即可求得答案.

【詳解】如圖，正四棱臺A8CO-AB|GA中，設上下底面的中心為。”。，

設Bg,BC的中點分別為E,H，連接EHQROHQOi，作即，OH,垂足為F,

由于側面BBC。為等等腰梯形，故EHJ.BC,而OHJ.BC,

且O】E〃OH,EHOH=H,EH,OHu平面OHEO1,

故BC1平面OHEQ,EHu平面BBC。,O〃U平面A3C￡),

則NE”F即為平面84GC與底面ABC。所成二面角的平面角,

即NEHF即為斗的側面與底面的夾角，

由題意可知。七=16,。”=19,.?.777=19—16=3,

在等腰梯形BCC]BI中，BB1=23,則EH=7232-（19-16）2=J前=2V130,

在中，cosNEFH=^=:=豆畫,

EH2V130260

即斗的側面與底面夾角的余弦值為上叵，

260

故選：A

5.甲乙丙丁四名同學去聽同時舉行的三個講座，每名同學可自由選擇聽其中的一個講座，則甲乙二人正

好聽的同一講座而丙丁聽的不同講座的情況為（）種

A.6B.10C.18D.36

【答案】C

【解析】

【分析】先安排甲乙，再安排丙丁，根據分步乘法計數原理即可求解.

【詳解】解：先安排甲乙共有c；,再安排丙丁共有A；,

所以根據分步乘法計數原理得總共有C；?A：=18（種），

故選:C.

6.已知函數/（力=5皿8（6853+5皿0，（口＞0）在區間（兀,當）上不單調，則。的最小正整數

值為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】由二倍角公式以及輔助角公式化簡/（x）=sin（2&x-2]+g,進而根據0為正整數，由

（4兀Tt

,2cox——的范圍,即可結合正弦函數的單調區間進行求解.

6

【詳解】/'(x)=sinGX(gcoscox+sinGX)=sin2cox--cos2cox+—1

sin2a)x——H--9

I6J2

由于①為正整數,

(兀、1

當0=1時，/(x)=sinlx——+—

I6)2

4兀

故此時在元’7上單調，口=1時不符合,

、,，，/、.兀)1f4兀)，71/23兀31兀1f7K9n}

當G=2時，/(x)=sinl4Ax——l+-,此時XGI7t,—L4x——GI—IoI—I,旦a

（23兀31兀]（9兀3E]

故此時/（X）在（兀,先增后減，因此不單調，0=2符合,

當口=3時，〃x)=sin(6x——j+—（4兀）,it（35兀47兀、47TI35兀°

此時汽兀,旬,6龍一片（甘-----=2兀

~6~6

而丁=5世的周期為2兀，止匕時/（X）在（兀,與）

上不單調，0=3符合，但不是最小的正整數，同理

切=4要求符合，但不是最小的正整數,

故選：B

7.拋物線C：丁=2。匹5>0）的準線與工軸交于點用，過C的焦點尸作斜率為2的直線交C于A、B

兩點，則tanZAMB=（）

A.乎B.2A/5C.4石D.不存在

【答案】C

【解析】

【分析】由△A4'M/XBB'M得出ZAMF=NMF,再由同角三角函數的基本關系得出

tanZ.AMF=最后根據倍角公式求解即可.

【詳解】作ANJ_x軸于N,分別過A,3作準線的垂線，垂足分別為A',B'，

A'MAFA4'

則，工△A4'M

B'MBFBB'

二ZAMF=ZBMF

sinZAFN一C

tanAAFN=---------=2.._2

由<cosZAFN,可得smNAFN=7

sin2/AFN+cos2ZAFN=1爽

.ANA!M22

又?/smZAFN----=tanZMAAr=-j=./.tanZAMF=—.

AFAA'V5V5

2x4-

?.tanNAMB=tan2ZAMF45/5

0

MFNx

B"r--闈8

故選：c

x-\nx,x>0

8.已知函數/(x)=<1八，若y=/(x)-日恰有兩個零點，則左的取值范圍為()

x+-,x<0

A.1--,1B.1--J

ee

1-1,+00

e

【答案】D

【解析】

【分析】將問題轉化為」工。=%恰有兩個實數根，求導確定函數的單調性，進而畫出函數的圖象，結合函

X

數圖象即可確定上的取值.

【詳解】y=/(x)—丘恰有兩個零點，即J。)一日=0恰有兩個實數根，由于xwo,所以

/(x)—丘=0恰有兩個實數根等價于工區=k恰有兩個實數根,

X

〔Inx八

1------,x>0

令g(x)=%L則g(x)=?x

i1

1H—7,X<n0

X

當x>0時，g(x)=1-也,g"=@三」，故當xAe,g4x)>0,此時g(x)單調遞增，當

0<x<e,g?x)<0,此時g(x)單調遞減，故當％=e時，g(x)取極小值也是最小值，且當x>l時,

In%八、/、?Inx?

—>0,\g(x)=1------v1,

當x<0時，g(x)=1+與>1,且g(x)單調遞增,

在直角坐標系中畫出g(x)的大致圖象如圖：

要使g(x)=左有兩個交點，則％e(l_：,l[51，+8)，

故選：D

二、不定項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多

項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.

9.某市兩萬名高中生數學期末統考成績(滿分100分)服從正態分布，其正態密度函數

1*75)2

f(x\=^=e128，則()

附：若隨機變量X服從正態分布'(〃,/)，則尸(//—b<XW〃+b)=0.6827,

尸(〃一2b<XW4+2cr)，0.9545,P(p-3a<X<p+3a)^0.9973.

A.試卷平均得分與試卷總分比值為該試卷難度，則該份試卷難度為0.5

B.任取該市一名學生，該生成績低于67分的概率約為0.023

C.若按成績靠前的16%比例劃定為優秀，則優秀分數線約為83分

D.該次數學成績高于99分的學生約有27人

【答案】CD

【解析】

【分析】根據正態分布的對稱性以及3cr原則，即可結合選項逐一求解.

1

【詳解】由正態密度函數/(x)=T=e128得日=75,。=8,故可知試卷的平均分為75,試卷總分為

85/271

100分，故難度為0.75,故A錯誤，

由于P(75—8<XW75+8卜0.6827,所以P(XW67卜匕笠里“0.1587,故B錯誤,

由于尸(X>83)=匕竽至“0.1587M16%,所以C正確,

,n/vruc八1-0.99731-09973

由于P(X>75+24)?-----，--故高于99分的學生約20000x—：一-=27A,所以D正確,

2

故選：CD

10.點(x,y)為圓x?+y?=1上一動點，則(

A.-l<x-y<lB.——<x+y+2xy<1+y/2

4

C.D.-+->2V2(Ay^0)

3x+2xy

【答案】BC

【解析】

【分析】設%=以"。,丁=5布。,。6[0,2兀)，可得x-y=cose-sine=J^cos(e+4),結合三角函數性

4

質可判斷A；將x+y+2肛化為x+y+2w=cos6+sine+2cosOsin。，繼而令cos6+sin6=f,轉

化為關于f的二次函數，求其最值，判斷B；將讓型轉化為1+>、'/),利用幾何意義，數形結合，可

x+2x+2

判斷C；舉出反例可判斷D.

【詳解】由題意點(x,y)為圓f+y2=1上一動點，故設X=cos，,y=sin9,e￡[0,27c),

則x-y=cos夕一sin6=0cos(?+Z),而。+乙￡[、,」),cos(^+—)e[-l,l]，

44444

故-厄4x-y46,A錯誤；

x+y+2Ay=cose+sin，+2cos6sin6,設cos6+sin6=，,

則1=J5sin(6+?)e[-V2,V2],2cos^sin^=/2—1，

4

故x+y+2孫=/+/-1=?+!)2—°，當/=一工時，尢+丁+2盯取最小值一*,

2424

當方=夜時，x+y+2盯取最大值-：=1+J^,

即—W冗+y+2xyW1+V2,B正確；

4

￡+2y=1+2(y-l)；設2zl=%,則丁=西+2左+1,

x+2x+2x+2

即2()’T)可看作點(x,y)與點P(-2,l)連線的斜率，

x+2

如圖示：當直線y=Ax+2Z+l與圓f+y2=1相切時，女取得最值，

斗

p|y=Ax+2)+l

|2Z+1|14

則/.二1，解得攵=0或%=—,

“2+13

4y-1八x+2y,2(y-l)5丁〃

則一一<--<0,故JZ-----=1+——-e[r一一,1],C正確；

3x+2x+2x+23

取(X,y)為(弓，—孝)，滿足f+y2=l,但此時(+：=0,D錯誤，

故選：BC

【點睛】方法點睛：對于A,B選項的判斷，結合其結構特征，利用三角代換，結合三角恒等變換或

cos6+sin。,2cos6sin6之間的關系，可進行判斷；對于匕亙，可變形為1+3.'二",利用幾何意

x+2x+2

義進行判斷.

11.函數“X）及導函數/'（X）的定義域均為R,則下列選項錯誤的是（）

A.若r（x）=r（x+2）,則“X）的周期為2

B.若/'（2x+4）=/'（-2x+4）,則/（x+2）為奇函數

C.若/'（2x+4）+/'（—2x+4）=2,則/（2x+4）為偶函數

D.若/'（2尤+4）+/'（—2%+4）=0,則〃4+?為偶函數

【答案】ABC

【解析】

【分析】根據導函數的對稱性可舉反例，即可判斷ABC,由定積分的性質以及導函數的對稱性即可求解D.

【詳解】對于A,由/'（x）=/'（x+2）可得;（X）是周期函數且周期為2,無法確定了（X）的周期性，例

如r（x）=sin7LT+2為周期2的函數，但是用x）＞0恒成立，/（X）單調遞增，不具有周期性，故A錯

誤，

對于B,由r（2x+4）=r（-2x+4）可得了'（X）關于X=4對稱，可取尸（x）=（x—4）2,則

/（x）=1（x-4）\/（x+2）=；（x-2）3不是奇函數，故B錯誤，

對于C,由/'（2x+4）+/'（-2x+4）=2可知/'（X）關于點（4,1）對稱，取f（x）=（x—盯+1,則

/（X）=；（X—4）4+X,故/（2X+4）=；（2X+4—4『+2X+4=4X4+2X+4為非奇非偶函數，故C

錯誤，

對于D,由/'（2x+4）+/'（—2x+4）=0得尸（力關于點（4,0）對稱，所以/'（力=一/'（一x+8）,則

xx+44-x

〃x）=Jr（r）df，則〃x+4）=Jr（f）df,“4—x）=廳⑺df,

444

x+4x+4

由于r⑺=—r（T+8）,所以〃x+4）=jr（r）d/=_jr（T+8）df,

44

44-x

令加=8-3則〃x+4）=-Jr（m）dm==—所以/（4+x）為偶函數,故D

4-A4

正確，

故選:ABC

12.函數/(x)=a*(a>0且arl),g(x)=log〃x(a>0且a/1),則()

A.當”=上時?，/(x)與g(x)有唯一的公共點

16

B.當時，”力與g(x)沒有公共點

C.當“=④時，”X)與g(x)有唯一公共點

D.當1<」<五時,/(X)與g(x)有兩公共點

【答案】BCD

【解析】

【分析】根據求解交點確定A選項，根據反函數性質，列式求解，分情況討論無交點，一個交點和兩個

公共點求參可以判斷BCD選項.

【詳解】/(x)=a*g(x)=log?x(a>0且awl)互為反函數.

當a<1時，/(x)與g(x)均遞減且與丁=%交于一點.

Y時,/(*)=篇),『({H’《撲”/㈤唱

而y=bg，x也過和.?.當“=々時，"X)與8")有三個交點.

16124J142)16

當a>l時，設f(x)=a*與丁=%相切，

設切點為(X。),/'(x)=a'lna,

---=]①

</，由①得，。*二々)，兩邊取對數，x()lna=\nx(),

ax°\na=1②

=e

將a'°-x()代入②得，％olna=1,lnx0=1,x0e,a=Q,。=r=<

由指數函數性質得a=孤時，與N=x相切，

則a>加時，與y=x無交點，

l<a<“時，/(x)與丁=%有兩個交點,

故BCD均正確.

故選：BCD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.若數列｛4｝為等比數列，q+67=-6,%卬3=6,則4=

【答案】-V6

【解析】

【分析】根據等比數列的性質，得佝=士"，再通過分析可得為=-6.

【詳解】解：根據等比數列的性質得，％%3=。；=6,所以％=±#，

又q+47=4（l+q">）=-6<0,所以q<0,所以%=6夕8<0

所以（=—V6,

故答案為：-屈.

14.點M、N分別是正四面體ABCD棱BC、AO的中點，則cos（AM,CN）=.

【答案】一］

【解析】

【分析】以A8,AC,AO為基底，AM=^（AB+AC）,CN=^AD-AC,即可求解.

【詳解】解：以A3,AC,AO為基底，它們兩兩之間均為60°,設正四面體A8C。棱長為2,則

AM=^AB+AC）,CN=^AD-AC,

—抽+可—卜唱皿如泊…。—。

=1(1+1-2-4)=-2

所以AB+AC也AB。+2AB.AC+AC[="

CN卜AD-AC=^AD2-AD-AC+AC2=6，

歷以\/|畫JCN|3,

5口f=e=2'

故答案為：2

16.近年我國基礎研究和原始創新不斷加強，一些關鍵核心技術實現突破，載人航天、探月探火、深海深

地探測、超級計算機、衛星導航、量子信息等都取得重大成果.如圖正方體為制作某深海探測器零件的

新型材料，其棱長為2厘米，制作中要用與正方體內切球相切的平面去裁切正方體的一個角，要求截面

為正三角形.若正方體八個角都做這樣的裁切，則所剩幾何體體積為cm3.

【答案】40-2073

【解析】

【分析】由題意可得所截正三棱錐高AO'=6-1，從而求得其體積匕一E/物=9-56,又因為相鄰兩個

三棱錐重疊部分為三棱錐P-MN。，求出匕.=/5百，從而可得剩余體積.

由正方體樓長2,可知其內切球球心為正方體中心。，半徑為1,

正方體頂點到球心距離AO=G，由題意截面EE0為正三角形，切點。',

AO',。三點共線，則AO，=J5-1，

設正三棱錐A—耳70側棱AM=AE=AF=a，則EF=EM=FM=42a?

O'為正三角形中心，所以則AO，=正〃=6一1，解得”3—6，

33

所以喂根=卜#=9-56,

又因為相鄰兩個三棱錐重疊部分為三棱錐P-MNQ,可得“V=4-2百，

則直角三角形MNQ中，MQ=（4-26?孝=2血一"，

%-MN2=；xg（20-J）xg（4-2力）=1-56,

所以剩下的體積為：V=23-8（9-5V3）+12^y-5V3j=40-20V3.

故答案為：40-20^

【點睛】關鍵點點睛：確定與內切球相切的截面所截部分位置關系，進而應用柱體、錐體體積公式求兒

何體體積.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

sinB-sinA_sinC-sinA

17.己知。，b,c分別為_43。內角A,B,C的對邊，且

a+b

（1）求8的值；

（2）若..ABC面積為6,求AC邊上的高〃的最大值.

【答案】（1）B=y

（2）6

【解析】

【分析】（1）由正余弦定理邊角轉化即可求解，

（2）由三角形面積公式，結合基本不等式即可求解最值.

【小問1詳解】

..sinB-sinA_sinC-sinA.b-a_c-a

?一，??一，

ca+hca+b

b2-a2=c2-ac，a2+c2-b2=ac，

.?.cosJ+fJ

lac2

0<3<兀，

【小問2詳解】

—acsinB=\fi,而sin8=正，

由面積為百得:

22

ac=4

邊上高為

■-S^ABC=--b-h^^,則/?=殛

Z_AZ10Vcj

2h

a2+c2-h2=4，

：.b2=a2+c2-4>2ac-4=41當且僅當a=c=2時，取"=”,

即b的最小值為2.此時力最大為G.

z、33M

18.已知函數｛4｝的首項4=不，且滿足。向二五)

jS”

(1)求證為等比數列，并求為.

j2310Q

(2)對于實數x,表小不超過x的最大整數，求---1----1----b-H----的值.

L?1a2%?I(X)_

【答案】(1)證明見解析，a=-^—

"3"+2

(2)5051

【解析】

12111(11

【分析】(1)由已知可推得——=T3+—,變形可得-----1=-一―1,即可得出證明.由已知

%3%??+13gJ

1,21,2

一—1=--進而得出一—1=/，整理即可得出答案；

?,3an3

123100f12100、100x(100+1)、

(2)分組求和得出1-1----1---1----=2x-T+—----H——H-------...根據錯位相減法

&a、a.%13,323100J2

求了=＞231003203

-------4---------4-???-4--------------，得出丁=:一丁一7而，即可得出

3233310044x3'°°

123100203203

丁丁丁…薩=5CA0C511c5—雙不然后根據0＜一＜1,即可得出答案.

【小問1詳解】

33%

因為4=y,〃"+1

24+1

所以《學0,

12a+l21

所以一Tn——---，

33??

所以」-1

-1=---1.

an+\3(見

1,2

又因為不i=§

1121

所以數列一-1是首項為彳，公比為；的等比數列,

33

172

所以「--l='x

435~y

12,3"

所以一=還+1,所以4

an33"+2

【小問2詳解】

12,

因為一=m+1,

anJ

所以L"a+…吧…+桀+1+2+3+-+1。。

切“q/q4oo3132嚴

12100^100x(100+1)

2x—H—7-------

31323'002

設『="二+…喘

3,32333100

叱，J.123100

所以一T=—+^-+—H---**FT，

33233343,01

-2T1111100

所以一T=—I--H-rH---1----

3332333'003'01

-竽=31100

訶—訶'

3203

所以T=：一■-~不而

44x3l(x)

123100203203

所以廠丁丁…薩=5050+--5051.5--=^.

22x3,1002x3100

203

因為0＜湎＜1，

…，、2031

所以0<―Tioo<T，

2x31002

203

所以5051<5051.5----^-<5051.5,

2x3100

,123100

所以一+—+—+…+f=5051.

4a2a3a

19.如圖所示，多面體ABC。/中，底面ABC。為正方形，四邊形3。所為矩形，且石DJ_AB，

(1)求平面￡4。與平面“8。所成二面角大小；

(2)求多面體A8CDEE的體積；

(3)點P在線段防上，當。P〃平面E4c時，求DP與平面所成的角的正弦值.

【答案】(1)90°

4

(2)

3

⑶I

【解析】

【分析】(1)由線面垂直的判定定理證平面ABCQ,從而證平面平面A3CD,即可得到

AC_L平面上EBZ),從而得到平面APC_L平面￡7話￡),即平面B4c與平面硒2所成二面角為90。；

(2)由(1)知，AC_L平面EEBD，把多面體ABCDEF看做兩個同底的四棱錐人一后即。和C-EEBO

組合而成，即可求體積.

(3)設AC80=0,由。尸〃平面AR7得。尸〃"，即P為石產的中點.建立空間直角坐標系，求

和平面AEE的法向量〃的坐標，代入夾角公式即可求DP和〃所成角的余弦值，即可得到￡>P與平

面AEF所成的角的正弦值.

【小問1詳解】

,??四邊形瓦為矩形，EP_L

又；EDLAB，3。八4?=4,3。匚平面488,45匚平面48。。，

E￡)J_平面ABCZ)，

EDu平面EFBD；.平面EFBD上平面ABCD.

???平面瓦BD與平面A3CD的交線為8。，AC_L平面EEBD,

又；ACu平面AFC,.?.平面ART_L平面石EBZ),

，平面AR?與平面￡/沏)所成二面角為90°.

【小問2詳解】

由(1)知，ACJ_平面耳8D,

又?：BD=2,。￡=1,底面筋8為正方形，...4。=2,

多面體ABCDEF體積=VA.EFBD+匕.印BD=gxSEFBDx|AC|=1x(2xl)x2-1.

【小問3詳解】

如圖，

設AC。80=0,連接OF.

則平面ART與平面EFBD交于OF,

：PeEF，???DPu平面石必。，

,/。尸〃平面AFC/.DP//OF,則P為瓦'的中點.

以。為坐標原點,D4、DC、OE所在直線分別為x軸、N軸、z軸建立空間直角坐標系.

則￡＞（0,0,0）,P千,芋』，A（屈0,0）,￡（0,0,1）,F（V2,V2,1）

\7

ULM（Ay^21/UUUI/L\

所以。P=三,三,1,AE=（-x/2,0,l）,A/=（0,0,1）,

I22

.、AE-/?=0-V2x+z=0

設平面AEF的法向量〃=（%,丁*）得＜即，/-，

AFn=0[j2y+z=0

令x=l,則y=—l,z=V^,所以〃=（1,—1,,

/?八力、.DPV21

則的=而=中;

所以PO與平面AEF所成角的正弦值為g.

20.隨著全球新能源汽車市場蓬勃增長，在政策推動下，中國新能源汽車企業在10余年間實現了“彎道超

車”，一躍成為新能源汽車產量連續7年居世界第一的全球新能源汽車強國.某新能源汽車企業基于領先

技術的支持，改進并生產純電動車、插電混合式電動車、氫燃料電池車三種車型，生產效益在短期內逐

月攀升，該企業在1月份至6月份的生產利潤y（單位，百萬元）關于月份x的數據如下表所示，并根據

數據繪制了如圖所示的散點圖.

月份X123456

收入y（百萬元）6.88616.119.628.140.0

（1）根據散點圖判斷，丁=必+。與曠=憂心（a,h,c,d均為常數）哪一個更適宜作為利潤y關于

月份X的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）

（2）根據（1）的結果及表中的數據，求出y關于x的回歸方程；

（3）該車企為提高新能源汽車的安全性，近期配合中國汽車技術研究中心進行了包括跌落、追尾、多車

碰撞等一系列安全試驗項目，其中在實驗場進行了一項甲、乙、丙三車同時去碰撞實驗車的多車碰撞實

驗，測得實驗車報廢的概率為0.188,并且當只有一車碰撞實驗車發生，實驗車報廢的概率為0.1,當有

兩車碰撞實驗車發生，實驗車報廢的概率為0.2,由于各種因素，實驗中甲乙丙三車碰撞實驗車發生概率

分別為0.7,0.5,0.4,且互不影響，求當三車同時碰撞實驗車發生時實驗車報廢的概率.

參考數據：

6〉

yu

Z=1Z=11=1

19.872.8017.50113.756.30

其中，設〃=lny,%=lny(i=l,2,3,4,5,6).

參考公式：對于一組具有線性相關關系的數據(x,.,y)(i=l,2,3,,〃)，其回歸直線g=/x+a的斜率

.工(七一可(弘一?一

和截距的最小二乘估計公式分別為夕=上匕-----——,a=y-/3x.

/=1

【答案】(1)選用y=ce4作為利潤y關于月份x的回歸方程更合適

(2)尸8%0垢

(3)0.5

【解析】

【分析】(1)由散點的分布在一條曲線附近，即可選擇非線性的.

(2)由對數運算，結合最小二乘法即可求解，

(3)由概率的乘法公式，結合全概率公式即可求解.

【小問1詳解】

散點圖中的點的分布不是一條直線，相鄰兩點在y軸上的差距是增大的趨勢.故選用y=c、e曲作為利潤y

關于月份x的回歸方程更合適.

【小問2詳解】

由曠=。6"，取對數可得Iny=lnc+<lr,設〃=lny,所以〃=ar+lnc，

1+2+3+4+5+6=35>工卜7)-=17.50,-w)=6.30,1=2.80,

6z=l/=1

2.80=0.36x3.5+Inc,所以Inc=2.80—0.36x3.5=1.54,

\ny=0.36x+1.54,即y=e'-54e036jt.

【小問3詳解】

設事件8為“實驗車報廢”，事件人為“只有一車碰撞實驗車”，事件為為“恰有兩車碰撞實驗車”，事件A3

為“三車碰撞實驗車”，

則P(A)=(1-0.7)x(l—0.5)x0.4+(l-0.7)x().5x(l—().4)+0.7x(l-0.5)x(l-0.4)

=0.3x0.5x0.4+0.3x0.5x0.6+0.7x0.5x0.6=0.36

P(A)=(l-O.7)xO.5x0.4+0.7x(l-0.5)x0.4+0.7x0.5x(1-0.4)

=0.3x0.5x0.4+0.7x0.5x0.5+0.7x0.5x0.6=0.41

P(A,)=0.7x0.5x0.4=0.14

由已知得尸(514)=0.1,P(5|4)=0.2

利用全概率公式得

P(B)=P(A)P(例A)+P(4)P(3|4)+P(A)P(3I4)

=0.36x0.1+0.41x0.2+0.14x0(81A)=0.188

解得P(BIA)=O.5

所以當三車同時碰撞實驗車發生時實驗車報廢的概率為0.5.

21.在平面直角坐標系xOy中，點4在x軸上滑動，點8在丁軸上滑動，A、8兩點間距離為l+6.點

P滿足BP=6PA，且點尸的軌跡為C.

(1)求C的方程；

(2)設M,N是C上的不同兩點，直線MN斜率存在且與曲線Y+y2=i相切，若點尸為(夜,0),那

么.MN尸的周長是否有最大值.若有，求出這個最大值，若沒有，請說明理由.

2

【答案】(1)—+/=1

3

(2)有，最大值為40

【解析】

【分析】(1)根據向量的坐標運算可得a=匕盧x,b=(l+G)y,由點點距離即可求解.

>/3

(2)聯立直線與橢圓方程，得到韋達定理，進而由弦長公式求解|MV|,由兩點距離公式求解|N目,目,

結合不等式或者二次函數的性質即可求解最值.

【小問1詳解】

設點P坐標為(x,y),點A,B的坐標分別為(a,0),(0,/?).

由題意=得(x,y—Z?)=G(a—x,—y)

事ix,萬=(1+G)y,

則a=

又因為A、8兩點間距離為1+百，則。2+/=(1+6,

號L2+(]+@2)y]+@2

整理得點尸的軌跡為橢圓，其方程C：—+/=1.

3-

【小問2詳解】

因為直線MN的斜率存在，設N&M，

設直線MN：y=kx+m,因為M,N是橢圓C上的不同兩點，所以左

由直線MN與曲線f+V=i相切可得‘色;=1,得M+1,

y=kx+m

聯立《2可得(1+342)*2+6kmx+3m2-3=0,

X2，

—+V=1

3

6km3m2-3

所以％+々

所以IMN\=Jl+k2.J(X]+冗2)2-4小工2

I2,3m2-3,2

1-4-T73F爾

"J-年B然5密1+3&2

\MF\=「亞j+y；=#"2缶+2）+4

..X；2i

.廠=1,

W=#一2%+2）+1一午=杵—2以+3=卜j"9==6一件X、

同理=64

網+|附=2有一條+動=2⑸鼠濕卜2代+2對懸）

所以，MNF的周長=J24儲加+26+2遙[上=]

當kw<0時，MA4的周長=2百

當加>0時，，JWN/的周長=26+4指

（法一）由加之=父+1

當1=',即/=4時,

t4

/&二1（lc=-l

此時，322+1=4，所以左=±1,即（廠或《

[m=v2[m=——

此時直線MN：y=x+&或y=-*一0,

廠

所以一MN￡的周長最大值為2J3+4J廠6（于6\=44r3.

(4-)26+4灰?一^=2昌4而km

"玄一[+3人2(/_%2)+3女2

426+4病丁鈾一=4&

2"拈』2sjm2-2k2

當m2=2k2>即々2=1時，等號成立,

此時直線AfN：y=x+J5或y=—x-J5,

所以肱\下的周長最大值為26+46==46.

I4J

【點睛】圓錐曲線中的范圍或最值問題，可根據題意構造關于參數的目標函數，然后根據題目中給出的范

圍或由判別式得到的范圍求解，解題中注意函數單調性和基本不等式的作用.另外在解析幾何中還要注意

向量的應用，根據向量的共線得到點的坐標之間的關系，進而為消去變量起到了重要的作用.

(1r1、、

22.已知函數/(x)=ar+Mnx+l,且點-處的切線為y=x-ln2.

(1)求〃、b的值，并證明：當x＞0時，一［一＜ln三口＜，成立；