第一章特殊平行四邊形3正方形的性質與判定（第一課時）數學九年級上冊BS版課前導入典例講練目錄CONTENTS課前預習數學九年級上冊BS版01課前預習1.正方形的定義.有一組

相等，并且有一個角是

?的平行四邊形

叫做正方形.2.正方形的性質定理.（1）正方形的四個角都是

，四條邊

?；（2）正方形的兩條對角線

且互相

?.注：正方形具有一般平行四邊形、菱形、矩形的一切性質.鄰邊

直角

直角

相等

相等

垂直平分

數學九年級上冊BS版02課前導入觀察下面圖形，正方形是我們熟悉的幾何圖形，在生活中無處不在.情景引入你還能舉出其他的例子嗎？

矩形||||問題1：矩形怎樣變化后就成了正方形呢?你有什么發現？問題引入正方形的性質正方形問題2：菱形怎樣變化后就成了正方形呢?你有什么發現？正方形鄰邊相等矩形〃〃正方形〃〃

菱形一個角是直角正方形∟正方形的定義：

有一組鄰邊相等，并且有一個角是直角的平行四邊形叫正方形.歸納總結(1)已知：如圖，四邊形

ABCD是正方形.求證：正方形

ABCD四邊相等，四個角都是直角.ABCD證明：∵

四邊形

ABCD是正方形. ∴∠A=90°，AB=AD(正方形的定義).

又∵

正方形是平行四邊形， ∴正方形是矩形(矩形的定義)，

正方形是菱形

(菱形的定義).

∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，

AB=BC=CD=AD.證一證(2)已知：如圖，四邊形

ABCD是正方形.對角線

AC、BD相交于點

O.求證：AO=BO=CO=DO，AC⊥BD.ABCDO證明：∵

正方形

ABCD是矩形，

∴AO=BO=CO=DO.

∵

正方形

ABCD是菱形， ∴

AC⊥BD.思考請同學們拿出準備好的正方形紙片，折一折，觀察并思考：正方形是不是軸對稱圖形？如果是，那么對稱軸有幾條？對稱性：

，對稱軸：

.軸對稱圖形4條ABCD

矩形

菱形正方形平行四邊形平行四邊形、矩形、菱形、正方形之間的關系：性質：1.正方形的四個角都是直角，四條邊相等；2.正方形的對角線相等且互相垂直平分.歸納總結正方形是特殊的平行四邊形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性質，正方形都有.數學九年級上冊BS版03典例講練

下列關于正方形的說法中，正確的是

（填序號）.①它的四條邊相等，四個角相等；②兩條對角線把正方形分成四個全等的等腰直角三角形；③是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形；④它的對稱軸有4條.【思路導航】根據正方形具有菱形和矩形的所有性質，以及正

方形的特有性質判斷即可.①②④

【解析】正方形的四條邊相等，四個角都是直角，故①正確；根據正方形的對角線互相垂直平分且相等，可得出兩條對角線把正方形分成四個全等的等腰直角三角形，故②正確；正方形既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形，故③錯誤；正方形有4條對稱軸，故④正確.故答案為①②④.【點撥】（1）正方形具有平行四邊形、菱形、矩形的所有性質.（2）正方形的每一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形，兩條對角線把正方形分成四個全等的等腰直角三角形.（3）正方形既是中心對稱圖形，它的對稱中心是對角線的交點；又是軸對稱圖形，它有四條對稱軸，分別是對角線所在的直線和對邊中點連線所在的直線.

1.下列描述中，錯誤的是（

C

）A.正方形的四個角都是直角B.正方形的對角線相等且互相垂直C.菱形、矩形的對角線都相等D.正方形、矩形、菱形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形C2.如圖,在正方形ABCD中,連接BD，點O是BD的中點.點

M,N是邊AD上的兩點,連接MO,NO,并分別延長交邊BC

于點M',N',則圖中的全等三角形共有（

C

）A.2對B.3對C.4對D.5對C

（2022·恩施）如圖，已知四邊形ABCD是正方形，點G為線段

AD上任意一點，CE⊥BG于點E，DF⊥CE于點F.

求證：DF

＝BE＋EF.

【思路導航】先證出△BCE≌△CDF，即可求得BE＝CF，

CE＝DF，最后根據線段的和差、等量代換即可得證.證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∠BCD＝90°.∴∠BCE＋∠DCF＝90°.∵CE⊥BG，DF⊥CE，∴∠BEC＝∠CFD＝90°.∴∠BCE＋∠CBE＝90°.∴∠CBE＝∠DCF.

如圖，在正方形ABCD中，已知AB＝1，點E，F分別是正方形的邊BC，DC上的一點，且∠EAF＝45°.（1）求證：EF＝BE＋DF；（1）證明：如答圖，將△ADF繞點A按順時針方向旋轉90°，得到△ABF'，則∠1＝∠2，∠ABF'＝∠D，

AF'＝AF，BF'＝

DF.

∵四邊形ABCD為正方形，答圖

（2）求△CEF的周長.（2）解：由（1）可知，EF＝BE＋DF.

∵C△CEF＝EC＋FC＋EF，∴C△CEF＝EC＋FC＋BE＋DF＝BC＋CD.

∵四邊形ABCD為正方形，∴CD＝BC＝AB＝1.∴C△CEF＝1＋1＝2.

如圖，已知四邊形ABCD是正方形，點F是線段AD上的一個動點，連接CF，以CF為對角線作正方形CGFE（點C，G，F，

E按逆時針方向排列），連接BE，DG.

求證：

【點撥】解與正方形有關的問題時，要充分利用正方形的四邊相等、四個角為直角和對角線互相垂直平分且相等的性質，再結合全等三角形的性質和判定、勾股定理進行綜合運用.（2）如圖，在線段CD上截取CH＝FD，連接HG，設FG與

CD相交于點M.

∵四邊形ABCD和四邊形CGFE都是正方形，∴∠ADC＝∠CGF＝90°，GC＝GF.∴∠MFD＋∠FMD＝90°，∠

MCG＋∠CMG＝90°.

∵∠FMD＝∠CMG，∴∠MFD＝∠MCG.在△FDG和△CHG中，

∴DG＝HG，∠DGF＝∠HGC.

∴∠DGF＋∠FGH＝∠HGC＋∠FGH＝90°，即∠DGH＝90°.在Rt△DGH中，∵DH2＝DG2＋HG2＝2DG2，

∵CD－FD＝CD－HC＝DH，

如圖，在正方形ABCD中，AB＝2，點E是BC邊上一動點（不與點B，C重合），連接AE，以AE為邊，在AE右側作正方形

AEFG，連接CF.

當點E運動時，∠ECF的大小會不會發生變化？如果會變化，請說明理由；如果不會變化，請求出∠ECF

的度數.解：∠ECF的大小不會變化.理由如下：如答圖，過點F作FH⊥BC，交BC的延長線于點H.

∵四邊形ABCD和四邊形AEFG都是正方形，∴∠H＝∠ABC＝∠AEF＝90°，AE＝EF.

∴∠EAB＋∠AEB＝