2025數(shù)學(xué)步步高大一輪復(fù)習(xí)講義人教A版第四章§4.1任意角和弧度制、三角函數(shù)的概念§4.1任意角和弧度制、三角函數(shù)的概念課標(biāo)要求1.了解任意角的概念和弧度制.2.能進(jìn)行弧度與角度的互化，體會引入弧度制的必要性.3.借助單位圓理解任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義．知識梳理1．角的概念(1)定義：角可以看成一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所成的圖形．(2)分類eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(按旋轉(zhuǎn)方向不同分為正角、負(fù)角、零角.,按終邊位置不同分為象限角和軸線角.))(3)相反角：我們把射線OA繞端點(diǎn)O按不同方向旋轉(zhuǎn)相同的量所成的兩個(gè)角叫做互為相反角．角α的相反角記為－α.(4)終邊相同的角：所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．2．弧度制的定義和公式(1)定義：把長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角，弧度單位用符號rad表示．(2)公式角α的弧度數(shù)公式|α|＝eq\f(l,r)(弧長用l表示)角度與弧度的換算1°＝eq\f(π,180)rad；1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°弧長公式弧長l＝|α|r扇形面積公式S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r23.任意角的三角函數(shù)(1)定義：設(shè)α是一個(gè)任意角，α∈R，以它的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，以它的始邊為x軸的非負(fù)半軸，建立直角坐標(biāo)系，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)，那么y＝sinα，x＝cosα，eq\f(y,x)＝tanα(x≠0)．(2)三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如圖．(3)定義的推廣設(shè)P(x，y)是角α終邊上異于原點(diǎn)的任一點(diǎn)，它到原點(diǎn)的距離為r(r>0)，那么sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r)，tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)．常用結(jié)論1．象限角2．軸線角3．若角α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，則sinα<α<tanα.自主診斷1．判斷下列結(jié)論是否正確．(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢?(1)銳角是第一象限角，第一象限角也都是銳角．(×)(2)終邊相同的角不一定相等，但相等的角終邊一定相同．(√)(3)角α的三角函數(shù)值與其終邊上點(diǎn)P的位置有關(guān)．(×)(4)若sinα>0，則α是第一或第二象限角．(×)2．下列與eq\f(9π,4)的終邊相同的角的表達(dá)式中正確的是()A．2kπ－45°(k∈Z)B．k·360°＋eq\f(9π,4)(k∈Z)C．k·360°－315°(k∈Z)D．kπ＋eq\f(5π,4)(k∈Z)答案C解析與eq\f(9π,4)的終邊相同的角可以寫成2kπ＋eq\f(9π,4)(k∈Z)，但是角度制與弧度制不能混用，所以只有C正確．3．(必修第一冊P180T3改編)已知角θ的終邊過點(diǎn)P(－12,5)，則sinθ＋cosθ等于()A.eq\f(17,13)B．－eq\f(17,13)C.eq\f(7,13)D．－eq\f(7,13)答案D解析|OP|＝eq\r(－122＋52)＝13，∴sinθ＝eq\f(5,13)，cosθ＝－eq\f(12,13)，∴sinθ＋cosθ＝－eq\f(7,13).4．(必修第一冊P176T11改編)某次考試時(shí)間為120分鐘，則從開始到結(jié)束，墻上時(shí)鐘的分針旋轉(zhuǎn)了________弧度．答案－4π解析某次考試時(shí)間為120分鐘，則從開始到結(jié)束，墻上時(shí)鐘的分針旋轉(zhuǎn)了－720°，即－4π.題型一角及其表示例1(1)(2024·寧波模擬)若α是第二象限角，則()A．－α是第一象限角B.eq\f(α,2)是第三象限角C.eq\f(3π,2)＋α是第二象限角D．2α是第三或第四象限角或終邊在y軸非正半軸上答案D解析因?yàn)棣潦堑诙笙藿牵傻胑q\f(π,2)＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z，對于A，可得－π－2kπ<－α<－eq\f(π,2)－2kπ，k∈Z，此時(shí)－α的終邊在第三象限，所以－α是第三象限角，A錯(cuò)誤；對于B，可得eq\f(π,4)＋kπ<eq\f(α,2)<eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z，當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，eq\f(α,2)的終邊在第一象限；當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，eq\f(α,2)的終邊在第三象限，所以eq\f(α,2)是第一或第三象限角，B錯(cuò)誤；對于C，可得2π＋2kπ<eq\f(3π,2)＋α<eq\f(5π,2)＋2kπ，k∈Z，即2(k＋1)π<eq\f(3π,2)＋α<eq\f(π,2)＋2(k＋1)π，k∈Z，所以eq\f(3π,2)＋α的終邊在第一象限，所以eq\f(3π,2)＋α是第一象限角，C錯(cuò)誤；對于D，可得π＋4kπ<2α<2π＋4kπ，k∈Z，所以2α是第三或第四象限角或終邊在y軸非正半軸上，D正確．eq\f(θ,2)終邊所在位置若θ分別為第一、二、三、四象限角，則eq\f(θ,2)的終邊分別落在區(qū)域一、二、三、四內(nèi)，如圖所示．典例已知θ為第三象限角，且eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\f(θ,2)))＝－sineq\f(θ,2)，則角eq\f(θ,2)的終邊在()A．第一或第三象限 B．第二或第四象限C．第三象限 D．第四象限答案D解析∵θ為第三象限角，∴eq\f(θ,2)為第二或第四象限角，又eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\f(θ,2)))＝－sineq\f(θ,2)，∴sineq\f(θ,2)≤0，∴角eq\f(θ,2)的終邊在第四象限．(2)(2023·湖州模擬)如圖所示，終邊落在陰影部分的角α的取值集合為______________．答案{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}解析終邊落在射線OA上的角的集合是{β|β＝k·360°＋30°，k∈Z}，終邊落在射線OB上的角的集合是{γ|γ＝k·360°＋105°，k∈Z}，所以終邊落在陰影部分(含射線OA，不含射線OB)的角的集合是{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}．思維升華(1)利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫出與這個(gè)角的終邊相同的所有角的集合，然后通過集合中的參數(shù)k(k∈Z)賦值來求得所需的角．(2)確定kα，eq\f(α,k)(k∈N*)的終邊位置的方法先寫出kα或eq\f(α,k)的范圍，然后根據(jù)k的可能取值確定kα或eq\f(α,k)的終邊所在的位置．跟蹤訓(xùn)練1(1)(2023·臨沂模擬)若α是第一象限角，則下列各角中屬于第四象限角的是()A．90°－α B．90°＋αC．360°－α D．180°＋α答案C解析若α是第一象限角，則90°－α的終邊在第一象限，90°＋α的終邊在第二象限，360°－α的終邊在第四象限，180°＋α的終邊在第三象限，故C是第四象限角．(2)終邊在直線y＝eq\r(3)x上，且在[－2π，2π)內(nèi)的角α構(gòu)成的集合為________________________．答案eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(5π,3)，－\f(2π,3)，\f(π,3)，\f(4π,3)))解析在直角坐標(biāo)系中畫出直線y＝eq\r(3)x(圖略)，可以發(fā)現(xiàn)它與x軸的夾角為eq\f(π,3)，在[0,2π)內(nèi)，終邊在直線y＝eq\r(3)x上的角有eq\f(π,3)和eq\f(4π,3)；在[－2π，0)內(nèi)，終邊在直線y＝eq\r(3)x上的角有－eq\f(2π,3)和－eq\f(5π,3)，故滿足條件的角α構(gòu)成的集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(5π,3)，－\f(2π,3)，\f(π,3)，\f(4π,3))).題型二弧度制及其應(yīng)用例2(1)已知一扇形的圓心角α＝eq\f(π,3)，半徑R＝10cm，則此扇形的弧長為________cm，面積為________cm2.答案eq\f(10π,3)eq\f(50π,3)解析由已知得α＝eq\f(π,3)，R＝10cm，所以l＝αR＝eq\f(π,3)×10＝eq\f(10π,3)(cm)，S扇形＝eq\f(1,2)αR2＝eq\f(1,2)×eq\f(π,3)×102＝eq\f(50π,3)(cm2)．延伸探究若本例(1)條件不變，求扇形的弧所在弓形的面積．解S弓形＝S扇形－S三角形＝eq\f(50π,3)－eq\f(1,2)·R2·sineq\f(π,3)＝eq\f(50π,3)－eq\f(1,2)×102×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(50π－75\r(3),3)(cm2)．(2)已知扇形AOB的周長為4，當(dāng)扇形的面積取得最大值時(shí)，扇形的弦長AB等于________．答案2sin1解析設(shè)扇形的半徑為r，弧長為l，則l＋2r＝4，l＝4－2r,0<r<2，則扇形的面積S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)(4－2r)r＝(2－r)r＝－r2＋2r＝－(r－1)2＋1，∴當(dāng)r＝1時(shí)，S取得最大值1，此時(shí)l＝2，則扇形的圓心角α＝eq\f(l,r)＝2，則AB＝2OAsineq\f(α,2)＝2sin1.思維升華應(yīng)用弧度制解決問題時(shí)應(yīng)注意(1)利用扇形的弧長和面積公式解題時(shí)，要注意角的單位必須是弧度．(2)求扇形面積最大值的問題時(shí)，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題．(3)在解決弧長問題和扇形面積問題時(shí)，要合理地利用圓心角所在的三角形．跟蹤訓(xùn)練2(1)(多選)(2023·廣安模擬)已知扇形的周長是6，面積是2，則下列選項(xiàng)可能正確的有()A．圓的半徑為2B．圓的半徑為1C．圓心角的弧度數(shù)是1D．圓心角的弧度數(shù)是2答案ABC解析設(shè)扇形半徑為r，圓心角弧度數(shù)為α，則由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2r＋αr＝6，,\f(1,2)αr2＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝1，,α＝4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝2，,α＝1，))可得當(dāng)圓的半徑為1時(shí)，圓心角的弧度數(shù)為4；當(dāng)圓的半徑為2時(shí)，圓心角的弧度數(shù)為1.(2)若圓弧長度等于圓內(nèi)接正三角形的邊長，則其圓心角的弧度數(shù)為()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,3)C．3D.eq\r(3)答案D解析如圖，等邊三角形ABC是半徑為r的圓O的內(nèi)接三角形，則線段AB所對的圓心角∠AOB＝eq\f(2π,3)，作OM⊥AB，垂足為M，在Rt△AOM中，AO＝r，∠AOM＝eq\f(π,3)，∴AM＝eq\f(\r(3),2)r，AB＝eq\r(3)r，∴l(xiāng)＝eq\r(3)r，由弧長公式得α＝eq\f(l,r)＝eq\f(\r(3)r,r)＝eq\r(3).題型三三角函數(shù)的概念例3(1)(2023·北京模擬)在平面直角坐標(biāo)系中，角α以x軸的非負(fù)半軸為始邊，終邊與單位圓交于點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0，\f(\r(6),3)))，則cos2α等于()A．－eq\f(1,3)B．±eq\f(1,3)C.eq\f(2\r(3),3)D.eq\f(1,3)答案A解析∵在平面直角坐標(biāo)系中，角α以x軸的非負(fù)半軸為始邊，終邊與單位圓交于點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0，\f(\r(6),3)))，∴sinα＝eq\f(\r(6),3)，∴cos2α＝1－2sin2α＝1－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),3)))2＝－eq\f(1,3).(2)sin2·cos3·tan4的值()A．小于0 B．大于0C．等于0 D．不存在答案A解析因?yàn)閑q\f(π,2)<2<3<π<4<eq\f(3π,2)，所以2rad和3rad的角是第二象限角，4rad的角是第三象限角，所以sin2>0，cos3<0，tan4>0，所以sin2·cos3·tan4<0.思維升華(1)利用三角函數(shù)的定義，已知角α終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)，可以求出α的三角函數(shù)值；已知角α的三角函數(shù)值，也可以求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．(2)利用角所在的象限判定角的三角函數(shù)值的符號時(shí)，特別要注意不要忽略角的終邊在坐標(biāo)軸上的情況．跟蹤訓(xùn)練3(1)已知角α的終邊過點(diǎn)P(－8m，－6sin30°)，且cosα＝－eq\f(4,5)，則m的值為()A．－eq\f(1,2) B．－eq\f(\r(3),2)C.eq\f(1,2) D.eq\f(\r(3),2)答案C解析由題意得點(diǎn)P(－8m，－3)，r＝eq\r(64m2＋9)，所以cosα＝eq\f(－8m,\r(64m2＋9))＝－eq\f(4,5)，所以m>0，解得m＝eq\f(1,2).(2)(2023·濟(jì)寧統(tǒng)考)若cosα·tanα<0，則角α的終邊在()A．第一、二象限 B．第二、三象限C．第三、四象限 D．第一、四象限答案C解析因?yàn)閏osα·tanα<0，所以cosα，tanα的值一正一負(fù)，所以角α的終邊在第三、四象限．課時(shí)精練一、單項(xiàng)選擇題1．給出下列四個(gè)命題，其中正確的是()A．－eq\f(3π,4)是第四象限角B.eq\f(4π,3)是第二象限角C．－400°是第一象限角D．－315°是第一象限角答案D解析A中，－eq\f(3π,4)是第三象限角，故A錯(cuò)誤；B中，eq\f(4π,3)＝π＋eq\f(π,3)，則eq\f(4π,3)是第三象限角，故B錯(cuò)誤；C中，－400°＝－360°－40°，則－400°是第四象限角，故C錯(cuò)誤；D中，－315°＝－360°＋45°，則－315°是第一象限角，故D正確．2．(2023·咸陽模擬)若坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(sin5，cos5)，則點(diǎn)P位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案B解析因?yàn)閑q\f(3π,2)<5<2π，所以sin5<0，cos5>0，則點(diǎn)P位于第二象限．3．(2023·聊城統(tǒng)考)已知角x的終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(5π,6)，cos\f(5π,6)))，則角x的最小正值為()A.eq\f(5π,6)B.eq\f(5π,3)C.eq\f(11π,6)D.eq\f(2π,3)答案B解析因?yàn)閟ineq\f(5π,6)>0，coseq\f(5π,6)<0，所以角x的終邊在第四象限，根據(jù)三角函數(shù)的定義，可知sinx＝coseq\f(5π,6)＝－eq\f(\r(3),2)，故角x的最小正值為2π－eq\f(π,3)＝eq\f(5π,3).4．(2023·衡陽模擬)《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，卷一《方田》中有如下兩個(gè)問題：[三三]今有宛田，下周三十步，徑十六步．問為田幾何？[三四]又有宛田，下周九十九步，徑五十一步．問為田幾何？翻譯為：[三三]現(xiàn)有扇形田，弧長30步，直徑長16步．問這塊田面積是多少？[三四]又有一扇形田，弧長99步，直徑長51步．問這塊田面積是多少？則下列說法正確的是()A．問題[三三]中扇形的面積為240平方步B．問題[三四]中扇形的面積為eq\f(5049,4)平方步C．問題[三三]中扇形的面積為60平方步D．問題[三四]中扇形的面積為eq\f(5049,2)平方步答案B解析依題意，問題[三三]中扇形的面積為eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)×30×eq\f(16,2)＝120(平方步)，問題[三四]中扇形的面積為eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)×99×eq\f(51,2)＝eq\f(5049,4)(平方步)．5．將點(diǎn)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)，\f(4,5)))繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)eq\f(π,4)得到點(diǎn)B，則點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為()A．－eq\f(7\r(2),10)B．－eq\f(6\r(2),5)C．－eq\f(\r(2),10)D.eq\f(\r(2),10)答案A解析設(shè)點(diǎn)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)，\f(4,5)))所在的終邊角為θ，則點(diǎn)B所在終邊角為θ＋eq\f(π,4)，設(shè)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為x，則x＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝cosθcoseq\f(π,4)－sinθsineq\f(π,4)，又因?yàn)閏osθ＝－eq\f(3,5)，sinθ＝eq\f(4,5)，所以x＝－eq\f(3,5)×eq\f(\r(2),2)－eq\f(4,5)×eq\f(\r(2),2)＝－eq\f(7\r(2),10).6.在平面直角坐標(biāo)系中，eq\o(AB,\s\up9(︵))，eq\o(CD,\s\up9(︵))，eq\o(EF,\s\up9(︵))，eq\o(GH,\s\up9(︵))是圓x2＋y2＝1上的四段弧(如圖)，點(diǎn)P在其中一段上，角α以O(shè)x為始邊，OP為終邊．若tanα<cosα<sinα，則點(diǎn)P所在的圓弧是()A.eq\o(AB,\s\up9(︵))B.eq\o(CD,\s\up9(︵))C.eq\o(EF,\s\up9(︵))D.eq\o(GH,\s\up9(︵))答案C解析由題圖可知，在eq\o(AB,\s\up9(︵))上，tanα>sinα，不滿足；在eq\o(CD,\s\up9(︵))上，tanα>sinα，不滿足；在eq\o(EF,\s\up9(︵))上，sinα>0，cosα<0，tanα<0，且cosα>tanα，滿足；在eq\o(GH,\s\up9(︵))上，tanα>0，sinα<0，cosα<0，不滿足．二、多項(xiàng)選擇題7．已知角θ的終邊經(jīng)過點(diǎn)(－2，－eq\r(3))，且θ與α的終邊關(guān)于x軸對稱，則下列選項(xiàng)正確的是()A．sinθ＝－eq\f(\r(21),7)B．α為鈍角C．cosα＝－eq\f(2\r(7),7)D．點(diǎn)(tanθ，sinα)在第一象限答案ACD解析角θ的終邊經(jīng)過點(diǎn)(－2，－eq\r(3))，則sinθ＝－eq\f(\r(21),7)，A正確；θ與α的終邊關(guān)于x軸對稱，由題意得α的終邊經(jīng)過點(diǎn)(－2，eq\r(3))，α為第二象限角，不一定為鈍角，cosα＝－eq\f(2\r(7),7)，B錯(cuò)誤，C正確；因?yàn)閠anθ＝eq\f(\r(3),2)>0，sinα＝eq\f(\r(21),7)>0，所以點(diǎn)(tanθ，sinα)在第一象限，D正確．8．(2024·長春模擬)如圖，A，B是在單位圓上運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)．初始時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)A在點(diǎn)(1,0)處，質(zhì)點(diǎn)B在第一象限，且∠AOB＝eq\f(π,6).質(zhì)點(diǎn)A以eq\f(π,6)rad/s的角速度按順時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)B同時(shí)以eq\f(π,12)rad/s的角速度按逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)，則()A．經(jīng)過1s后，扇形AOB的面積為eq\f(5π,12)B．經(jīng)過2s后，劣弧eq\o(AB,\s\up9(︵))的長為eq\f(2π,3)C．經(jīng)過6s后，質(zhì)點(diǎn)B的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2)))D．經(jīng)過eq\f(22,3)s后，質(zhì)點(diǎn)A，B在單位圓上第一次相遇答案BD解析由題意可知，經(jīng)過1s后，∠AOB＝eq\f(π,6)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＋eq\f(π,12)＝eq\f(5π,12)，所以此時(shí)扇形AOB的面積為eq\f(1,2)α·r2＝eq\f(1,2)×eq\f(5π,12)×12＝eq\f(5π,24)，故A錯(cuò)誤；經(jīng)過2s后，∠AOB＝eq\f(π,6)－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＋2×eq\f(π,12)＝eq\f(2π,3)，所以此時(shí)劣弧eq\o(AB,\s\up9(︵))的長為αr＝eq\f(2π,3)，故B正確；經(jīng)過6s后，質(zhì)點(diǎn)B轉(zhuǎn)過的角度為6×eq\f(π,12)＝eq\f(π,2)，結(jié)合題意，此時(shí)質(zhì)點(diǎn)B為角eq\f(π,6)＋eq\f(π,2)＝eq\f(2π,3)的終邊與單位圓的交點(diǎn)，所以質(zhì)點(diǎn)B的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，故C錯(cuò)誤；經(jīng)過eq\f(22,3)s后，質(zhì)點(diǎn)B轉(zhuǎn)過的角度為eq\f(22,3)×eq\f(π,12)＝eq\f(11π,18)，質(zhì)點(diǎn)A轉(zhuǎn)過的角度為eq\f(22,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＝－eq\f(11π,9)，因?yàn)閑q\f(11π,18)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11π,9)))＋eq\f(π,6)＝2π，所以經(jīng)過eq\f(22,3)s后，質(zhì)點(diǎn)A，B在單位圓上第一次相遇，故D正確．三、填空題9．若α＝1560°，角θ與角α終邊相同，且－360°<θ<360°，則θ＝________.答案120°或－240°解析因?yàn)棣粒?560°＝4×360°＋120°，所以與α終邊相同的角為k·360°＋120°，k∈Z，令k＝－1，得θ＝－240°；令k＝0，得θ＝120°.10．已知扇形的周長為8cm，則該扇形面積的最大值為________cm2.答案4解析設(shè)扇形半徑為rcm，弧長為lcm，則2r＋l＝8(0<r<4)，S＝eq\f(1,2)rl＝eq\f(1,2)r×(8－2r)＝－r2＋4r＝－(r－2)2＋4，當(dāng)r＝2時(shí)，扇形面積最大，所以Smax＝4(cm2)．11．已知角α的終邊在圖中陰影部分內(nèi)，則角α的取值范圍為________________________．答案{α|30°＋k·180°≤α<105°＋k·180°，k∈Z}解析終邊在30°角的終邊所在直線上的角的集合為S1＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}，終邊在180°－75°＝105°角的終邊所在直線上的角的集合為S2＝{α|α＝105°＋k·180°，k∈Z}，因此，終邊在題圖中陰影部分內(nèi)的角α的取值范圍為{α|30°＋k·180°≤α<105°＋k·180°，k∈Z}．12．(2024·蘭山模擬)如圖，在Rt△PBO中，∠PBO＝90°，以O(shè)為圓心、OB為半徑作圓弧交OP于點(diǎn)A.若圓弧AB等分△POB的面積，且∠AOB＝α，則eq\f(α,tanα)＝________.答案eq\f(1,2)解析設(shè)扇形的半徑為r，則扇形的面積為eq\f(1,2)αr2，在Rt△POB中，PB＝rtanα，則△POB的面積為eq\f(1,2)r2tanα，由題意得eq\f(1,2)r2tanα＝2×eq\f(1,2)αr2，即tanα＝2α，所以eq\f(α,tanα)＝eq\f(1,2).四、解答題13．若角θ的終邊過點(diǎn)P(－4a,3a)(a≠0)．(1)求sinθ＋cosθ的值；(2)試判斷cos(sinθ)·sin(cosθ)的符號．解(1)因?yàn)榻铅鹊慕K邊過點(diǎn)P(－4a,3a)(a≠0)，所以x＝－4a，y＝3a，r＝5|a|，當(dāng)a>0時(shí)，r＝5a，sinθ＋cosθ＝eq\f(3,5)－eq\f(4,5)＝－eq\f(1,5)；當(dāng)a<0時(shí)，r＝－5a，sinθ＋cosθ＝－eq\f(3,5)＋eq\f(4,5)＝eq\f(1,5).綜上，sinθ＋cosθ＝±eq\f(1,5).(2)當(dāng)a>0時(shí)，sinθ＝eq\f(3,5)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，cosθ＝－eq\f(4,5)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，則cos(sinθ)·sin(cosθ)＝coseq\f(3,5)·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))<0；當(dāng)a<0時(shí)，sinθ＝－eq\f(3,5)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，cosθ＝eq\f(4,5)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，則cos(sinθ)·sin(cosθ)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))·sineq\f(4,5)>0.綜上，當(dāng)a>0時(shí)，cos(sinθ)·sin(cosθ)的符號為負(fù)；當(dāng)a<0時(shí)，cos(sinθ)·sin(cosθ)的符號為正．14.某單位擬建一個(gè)扇環(huán)面形狀的花壇(如圖所示)，該扇環(huán)面是由以點(diǎn)O為圓心的兩個(gè)同心圓弧和延長后通過點(diǎn)O的兩條線段圍成．按設(shè)計(jì)要求扇環(huán)面的周長為30米，其中大圓弧所在圓的半徑為10米．設(shè)小圓弧所在圓的半徑為x米，圓心角(正角)為θ(弧度)．(1)求θ關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)已知在花壇的邊緣(實(shí)線部分)進(jìn)行裝飾時(shí)，直線部分的裝飾費(fèi)用為4元/米，弧線部分的裝飾費(fèi)用為9元/米．設(shè)花壇的面積與裝飾總費(fèi)用的比為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求出x為何值時(shí)，y取得最大值．解(1)由題意得，30＝θ(10＋x)＋2(10－x)，∴θ＝eq\f(10＋2x,10＋x)(0<x<10)．(2)花壇的面積為eq\f(1,2)θ(102－x2)＝(5＋x)(10－x)＝－x2＋5x＋50，裝飾總費(fèi)用為9θ(10＋x)＋8(10－x)＝170＋10x，∴花壇的面積與裝飾總費(fèi)用的比y＝eq\f(－x2＋5x＋50,170＋10x)(0<x<10)．令t＝17＋x，則t∈(17,27)，則y＝eq\f(39,10)－eq\f(1,10)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(324,t)))≤eq\f(39,10)－eq\f(2,10)eq\r(t·\f(324,t))＝eq\f(3,10)，當(dāng)且僅當(dāng)t＝eq\f(324,t)，即t＝18時(shí)，y取得最大值，最大值為eq\f(3,10)，此時(shí)x＝1，θ＝eq\f(12,11).故當(dāng)x＝1時(shí)，花壇的面積與裝飾總費(fèi)用的比最大．15．(多選)(2023·長沙模擬)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)O為圓心的圓與x軸正半軸交于點(diǎn)A(1,0)．已知點(diǎn)B(x1，y1)在圓O上，點(diǎn)T的坐標(biāo)是(x0，sinx0)，則下列說法中正確的是()A．若∠AOB＝α，則eq\o(ACB,\s\up9(︵))＝αB．若y1＝sinx0，則x1＝x0C．若y1＝sinx0，則eq\o(ACB,\s\up9(︵))＝x0D．若eq\o(ACB,\s\up9(︵))＝x0，則y1＝sinx0答案AD解析由于單位圓的半徑為1，根據(jù)弧長公式有eq\o(ACB,\s\up9(︵))＝1·α＝α，所以A正確；由于點(diǎn)B是∠AOB的一邊與單位圓的交點(diǎn)，則y1是對應(yīng)∠AOB的正弦值，x1是對應(yīng)∠AOB的余弦值，若y1＝sinx0，則x1＝cosx0，所以B錯(cuò)誤；當(dāng)y1＝sinx0時(shí)，∠AOB＝x0＋2kπ，k∈Z，所以C錯(cuò)誤；反過來，當(dāng)∠AOB＝x0，即eq\o(ACB,\s\up9(︵))＝x0時(shí)，y1＝sinx0一定成立，所以D正確．16．(2023·沈陽模擬)石碾子是我國電氣化以前的重要糧食加工工具．它是依靠人力或畜力把谷子、稻子等谷物脫殼或把米碾碎成碴子或面粉的石制工具．如圖，石碾子主要由碾盤、碾滾和碾架等組成，一個(gè)底面直徑為60cm的圓柱形碾滾的最外側(cè)與碾柱的距離為100cm，碾滾最外側(cè)正上方為點(diǎn)A，若人推動(dòng)拉桿繞碾盤轉(zhuǎn)動(dòng)一周，則點(diǎn)A距碾盤的垂直距離約為_________cm.答案15解析由題意碾滾最外側(cè)滾過的距離為2π×100＝200π(cm)，碾滾的周長為2π×30＝60π(cm)，所以碾滾滾過eq\f(200π,60π)＝eq\f(10,3)(圈)，即滾過了eq\f(10,3)×360°＝3×360°＋120°，所以點(diǎn)A距碾盤的垂直距離為30－30×cos(180°－120°)＝15(cm)．§4.2同角三角函數(shù)基本關(guān)系式及誘導(dǎo)公式課標(biāo)要求1.理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式sin2α＋cos2α＝1，eq\f(sinα,cosα)＝tanαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).2.掌握誘導(dǎo)公式，并會簡單應(yīng)用．知識梳理1．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(1)平方關(guān)系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商數(shù)關(guān)系：eq\f(sinα,cosα)＝tanαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).2．三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－αeq\f(π,2)－αeq\f(π,2)＋α正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcosα余弦cosα－cosαcosα－cosαsinα－sinα正切tanαtanα－tanα－tanα口訣奇變偶不變，符號看象限常用結(jié)論同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的常見變形(1)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cosα)(1－cosα)；cos2α＝1－sin2α＝(1＋sinα)(1－sinα)；(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα.(2)sinα＝tanαcosαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).自主診斷1．判斷下列結(jié)論是否正確．(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢?(1)當(dāng)α為鈍角時(shí)，cos(π－α)＝cosα.(×)(2)若sin(2kπ－α)＝eq\f(3,5)(k∈Z)，則sinα＝eq\f(3,5).(×)(3)若α，β為銳角，則sin2α＋cos2β＝1.(×)(4)若α∈R，則tanα＝eq\f(sinα,cosα)恒成立．(×)2．(必修第一冊P194練習(xí)T2改編)(多選)已知x∈R，則下列等式恒成立的是()A．sin(－x)＝sinxB．sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－x))＝cosxC．coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋x))＝－sinxD．cos(x－π)＝－cosx答案CD解析sin(－x)＝－sinx，故A不成立；sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－x))＝－cosx，故B不成立；coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋x))＝－sinx，故C成立；cos(x－π)＝－cosx，故D成立．3．(必修第一冊P185T6改編)若sinα＝eq\f(\r(5),5)，eq\f(π,2)<α<π，則tanα等于()A．－2B．2C.eq\f(1,2)D．－eq\f(1,2)答案D解析∵eq\f(π,2)<α<π，∴cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\f(2\r(5),5)，∴tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(1,2).4．已知cosα＝eq\f(1,5)，－eq\f(π,2)<α<0，則eq\f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)),tanα＋πcos－αtanα)的值為．答案eq\f(\r(6),12)解析因?yàn)椋璭q\f(π,2)<α<0，所以sinα＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))2)＝－eq\f(2\r(6),5)，所以tanα＝－2eq\r(6).則eq\f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)),tanα＋πcos－αtanα)＝eq\f(－sinα,tanαcosαtanα)＝－eq\f(1,tanα)＝eq\f(1,2\r(6))＝eq\f(\r(6),12).題型一同角三角函數(shù)基本關(guān)系式例1(1)(2023·深圳模擬)已知tanα＝－3，則eq\f(sin3α－sinα,cosα)等于()A．－eq\f(3,4)B.eq\f(3,4)C.eq\f(3,10)D．－eq\f(3,10)答案C解析因?yàn)閠anα＝－3，所以eq\f(sin3α－sinα,cosα)＝eq\f(sinαsin2α－1,cosα)＝－eq\f(sinαcos2α,cosα)＝－eq\f(sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝－eq\f(tanα,tan2α＋1)＝－eq\f(－3,9＋1)＝eq\f(3,10).(2)(多選)(2023·天津模擬)已知θ∈(0，π)，sinθ＋cosθ＝eq\f(1,5)，則()A．θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π)) B．cosθ＝－eq\f(3,5)C．tanθ＝－eq\f(3,4) D．sinθ－cosθ＝eq\f(7,5)答案ABD解析∵sinθ＋cosθ＝eq\f(1,5)，①∴(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ＝eq\f(1,25)，∴2sinθcosθ＝－eq\f(24,25)，∵θ∈(0，π)，∴sinθ>0，cosθ<0，∴θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，故A正確；(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ＝eq\f(49,25)，∴sinθ－cosθ＝eq\f(7,5)，②故D正確；由①②得sinθ＝eq\f(4,5)，cosθ＝－eq\f(3,5)，故B正確；tanθ＝eq\f(sinθ,cosθ)＝－eq\f(4,3)，故C錯(cuò)誤．思維升華(1)利用sin2α＋cos2α＝1可以實(shí)現(xiàn)角α的正弦、余弦的互化，利用eq\f(sinα,cosα)＝tanα可以實(shí)現(xiàn)角α的弦切互化．(2)形如eq\f(asinα＋bcosα,csinα＋dcosα)，asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α等類型可進(jìn)行弦化切．(3)對于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα這三個(gè)式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二．跟蹤訓(xùn)練1(1)已知sinαcosα＝eq\f(3,8)，且eq\f(π,4)<α<eq\f(π,2)，則cosα－sinα的值為()A.eq\f(1,2)B．±eq\f(1,2)C．－eq\f(1,4)D．－eq\f(1,2)答案D解析∵sinαcosα＝eq\f(3,8)，∴(cosα－sinα)2＝cos2α－2sinαcosα＋sin2α＝1－2sinαcosα＝1－2×eq\f(3,8)＝eq\f(1,4)，∵eq\f(π,4)<α<eq\f(π,2)，∴cosα<sinα，即cosα－sinα<0，∴cosα－sinα＝－eq\f(1,2).(2)(2023·全國乙卷)若θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，tanθ＝eq\f(1,2)，則sinθ－cosθ＝.答案－eq\f(\r(5),5)解析因?yàn)棣取蔱q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，則sinθ>0，cosθ>0，又因?yàn)閠anθ＝eq\f(sinθ,cosθ)＝eq\f(1,2)，則cosθ＝2sinθ，且cos2θ＋sin2θ＝4sin2θ＋sin2θ＝5sin2θ＝1，解得sinθ＝eq\f(\r(5),5)或sinθ＝－eq\f(\r(5),5)(舍去)，所以sinθ－cosθ＝sinθ－2sinθ＝－sinθ＝－eq\f(\r(5),5).題型二誘導(dǎo)公式例2(1)(2024·安康模擬)若sin(π＋α)＝－eq\f(4,5)，則cos(π－2α)等于()A.eq\f(3,5)B．－eq\f(3,5)C.eq\f(7,25)D．－eq\f(7,25)答案C解析∵sin(π＋α)＝－eq\f(4,5)，∴sinα＝eq\f(4,5)，∴cos(π－2α)＝－cos2α＝－(1－2sin2α)＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))2－1＝eq\f(7,25).(2)已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＝eq\f(12,13)，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))等于()A.eq\f(5,13)B.eq\f(12,13)C．－eq\f(5,13)D．－eq\f(12,13)答案B解析因?yàn)閟ineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＝eq\f(12,13)，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＝eq\f(12,13).延伸探究若把本例(2)中條件換為“coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＝－eq\f(1,3)”，那么sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)＋α))的值為．答案－eq\f(1,3)解析因?yàn)閏oseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＝－eq\f(1,3)，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)＋α))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋\f(π,6)＋α))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＝－eq\f(1,3).思維升華誘導(dǎo)公式的兩個(gè)應(yīng)用(1)求值：負(fù)化正，大化小，化到銳角為終了．(2)化簡：統(tǒng)一角，統(tǒng)一名，同角名少為終了．跟蹤訓(xùn)練2(1)化簡：eq\f(sinθ－5πcos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)－θ))cos8π－θ,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(3π,2)))sin－θ－4π)等于()A．－sinθ B．sinθC．cosθ D．－cosθ答案A解析原式＝eq\f(sinθ－πcos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋θ))cosθ,cosθsin－θ)＝eq\f(－sinθ－sinθcosθ,cosθ－sinθ)＝－sinθ.(2)已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))＝eq\f(3,5)，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)－x))等于()A．－eq\f(4,5)B．－eq\f(3,5)C.eq\f(3,5)D.eq\f(4,5)答案B解析coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)－x))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))))＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))＝－eq\f(3,5).題型三同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用例3(1)已知α為銳角，且2tan(π－α)－3coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋β))＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，則sinα的值是()A.eq\f(2\r(5),5)B.eq\f(2\r(7),7)C.eq\f(3\r(10),10)D.eq\f(1,3)答案C解析由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3sinβ－2tanα＋5＝0，,tanα－6sinβ－1＝0，))消去sinβ，得tanα＝3，∴sinα＝3cosα，代入sin2α＋cos2α＝1，化簡得sin2α＝eq\f(9,10)，又α為銳角，∴sinα>0，則sinα＝eq\f(3\r(10),10).(2)已知－π<x<0，sin(π＋x)－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))＝－eq\f(1,5)，則eq\f(sin2x＋2sin2x,1－tanx)的值為．答案－eq\f(24,175)解析由已知得sinx＋cosx＝eq\f(1,5)，兩邊平方得sin2x＋2sinxcosx＋cos2x＝eq\f(1,25)，整理得2sinxcosx＝－eq\f(24,25)，∴(sinx－cosx)2＝1－2sinxcosx＝eq\f(49,25).由－π<x<0知，sinx<0，又sinxcosx＝－eq\f(12,25)<0，∴cosx>0，∴sinx－cosx<0，∴sinx－cosx＝－eq\f(7,5).∴eq\f(sin2x＋2sin2x,1－tanx)＝eq\f(2sinxcosx＋sinx,1－\f(sinx,cosx))＝eq\f(2sinxcosxcosx＋sinx,cosx－sinx)＝eq\f(－\f(24,25)×\f(1,5),\f(7,5))＝－eq\f(24,175).思維升華(1)利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式求值或化簡時(shí)，關(guān)鍵是尋求條件、結(jié)論間的聯(lián)系，靈活使用公式進(jìn)行變形．(2)注意角的范圍對三角函數(shù)值符號的影響．跟蹤訓(xùn)練3(1)(2024·榆林模擬)已知tan(α－π)＝eq\f(1,3)，則eq\f(2cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,2)))＋sinα＋π,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(3π,2))))等于()A.eq\f(1,3)B．3C．－eq\f(1,3)D．－3答案C解析由tan(α－π)＝eq\f(1,3)，解得tanα＝eq\f(1,3)，則eq\f(2cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,2)))＋sinα＋π,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(3π,2))))＝eq\f(sinα,－cosα)＝－tanα＝－eq\f(1,3).(2)(多選)下列結(jié)論中，正確的是()A．sin(π＋α)＝－sinα成立的條件是角α是銳角B．若cos(nπ－α)＝eq\f(1,3)(n∈Z)，則cosα＝eq\f(1,3)C．若α≠eq\f(kπ,2)(k∈Z)，則taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝－eq\f(1,tanα)D．若sinα＋cosα＝1，則sinnα＋cosnα＝1答案CD解析由誘導(dǎo)公式二知當(dāng)α∈R時(shí)，sin(π＋α)＝－sinα，故A錯(cuò)誤；當(dāng)n＝2k(k∈Z)時(shí)，cos(nπ－α)＝cos(－α)＝cosα，此時(shí)cosα＝eq\f(1,3)；當(dāng)n＝2k＋1(k∈Z)時(shí)，cos(nπ－α)＝cos[(2k＋1)π－α]＝cos(π－α)＝－cosα，此時(shí)cosα＝－eq\f(1,3)，故B錯(cuò)誤；若α≠eq\f(kπ,2)(k∈Z)，則taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)))＝eq\f(cosα,－sinα)＝－eq\f(1,tanα)，故C正確；將等式sinα＋cosα＝1兩邊平方，得sinαcosα＝0，所以sinα＝0或cosα＝0.若sinα＝0，則cosα＝1，此時(shí)sinnα＋cosnα＝1；若cosα＝0，則sinα＝1，此時(shí)sinnα＋cosnα＝1，故sinnα＋cosnα＝1，故D正確．課時(shí)精練一、單項(xiàng)選擇題1．若角α的終邊在第三象限，則eq\f(cosα,\r(1－sin2α))＋eq\f(2sinα,\r(1－cos2α))等于()A．3B．－3C．1D．－1答案B解析由角α的終邊在第三象限，得sinα<0，cosα<0，故原式＝eq\f(cosα,|cosα|)＋eq\f(2sinα,|sinα|)＝eq\f(cosα,－cosα)＋eq\f(2sinα,－sinα)＝－1－2＝－3.2．以下四個(gè)數(shù)中，與sin2024°的值最接近的是()A．－eq\f(1,2)B.eq\f(1,2)C．－eq\f(\r(2),2)D.eq\f(\r(2),2)答案C解析sin2024°＝sin(360°×5＋224°)＝sin224°＝sin(180°＋44°)＝－sin44°，∵sin45°＝eq\f(\r(2),2)，∴sin2024°的值最接近－eq\f(\r(2),2).3．(2023·安康模擬)已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋θ))＝eq\f(1,4)，－eq\f(π,2)<θ<eq\f(π,6)，則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋θ))等于()A．－eq\f(1,4)B．－eq\f(\r(15),4)C.eq\f(\r(15),4)D.eq\f(1,4)答案C解析sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋θ))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋θ＋\f(π,2)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋θ))，∵－eq\f(π,2)<θ<eq\f(π,6)，∴－eq\f(π,6)<eq\f(π,3)＋θ<eq\f(π,2)，又sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋θ))＝eq\f(1,4)>0，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋θ))＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))2)＝eq\f(\r(15),4)，即sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋θ))＝eq\f(\r(15),4).4．(2023·天津模擬)在計(jì)算機(jī)尚未普及的年代，人們在計(jì)算三角函數(shù)時(shí)常常需要查表得到正弦值和余弦值，三角函數(shù)表的制作最早可追溯到古希臘數(shù)學(xué)家托勒密．下面給出了正弦表的一部分，例如，通過查表可知2°12′的正弦值為0.0384,30°54′的正弦值為0.5135，等等．則根據(jù)該表，416.5°的余弦值為()0′6′12′18′24′30′36′42′48′54′60′0°0.000000170035005200700087010501220140015701751°017501920209022702440262027902970314033203492°0349036603840401041904360454047104880506052330°5000501550305045506050755090510551205135515031°5150516551805195521052255240525552705284529932°5299531453295344535853735388540254175432544633°5446546154765490550555195534554855635577559234°55925606562156355650566456785693570757215736……A.0.5461B．0.5519C．0.5505D．0.5736答案B解析由題意查表可得sin33.5°＝sin33°30′＝0.5519，可得cos416.5°＝cos(360°＋56.5°)＝cos56.5°＝sin(90°－56.5°)＝sin33.5°＝0.5519.5．(2024·北京模擬)已知cosα＝eq\f(3,5)，α是第一象限角，且角α，β的終邊關(guān)于y軸對稱，則tanβ等于()A.eq\f(3,4)B．－eq\f(3,4)C.eq\f(4,3)D．－eq\f(4,3)答案D解析∵α是第一象限角，且角α，β的終邊關(guān)于y軸對稱，∴β＝π－α＋2kπ，k∈Z，∴tanβ＝tan(π－α＋2kπ)＝tan(π－α)＝－tanα＝－eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))2),\f(3,5))＝－eq\f(4,3).6．已知α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，且滿足sinαcosβ－2cosαsinβ＝0，則tan(2π＋α)＋taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－β))的最小值為()A．2B.eq\r(2)C．1D．2eq\r(2)答案D解析因?yàn)閟inαcosβ－2cosαsinβ＝0，α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以tanα>0，tanβ>0，tanα＝2tanβ，所以tan(2π＋α)＋taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－β))＝tanα＋eq\f(1,tanβ)＝2tanβ＋eq\f(1,tanβ)≥2eq\r(2)，當(dāng)且僅當(dāng)tanβ＝eq\f(\r(2),2)時(shí)，等號成立．二、多項(xiàng)選擇題7．在△ABC中，下列結(jié)論正確的是()A．sin(A＋B)＝sinCB．sineq\f(B＋C,2)＝coseq\f(A,2)C．tan(A＋B)＝－tanCeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C≠\f(π,2)))D．cos(A＋B)＝cosC答案ABC解析在△ABC中，有A＋B＋C＝π，則sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC，A正確；sineq\f(B＋C,2)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\f(A,2)))＝coseq\f(A,2)，B正確；tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tanCeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C≠\f(π,2)))，C正確；cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cosC，D錯(cuò)誤．8．已知sinθ＋cosθ＝t，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，t∈(－1，eq\r(2)]，函數(shù)f(θ)＝sinθ＋cosθ－sinθcosθ，則下列選項(xiàng)正確的是()A．當(dāng)t＝eq\f(1,2)時(shí)，sinθcosθ的值為eq\f(3,8)B．當(dāng)t＝eq\f(1,2)時(shí)，sin3θ－cos3θ的值為－eq\f(5\r(7),16)C．函數(shù)f(θ)的值域?yàn)?－1，eq\r(2)]D．函數(shù)f(θ)的值域?yàn)?－1,1]答案BD解析當(dāng)t＝eq\f(1,2)時(shí)，sinθ＋cosθ＝eq\f(1,2)，兩邊平方，可得1＋2sinθcosθ＝eq\f(1,4)，可得sinθcosθ＝－eq\f(3,8)<0，故A錯(cuò)誤；所以θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，所以sinθ－cosθ＝－eq\r(sinθ－cosθ2)＝－eq\r(1－2sinθcosθ)＝－eq\f(\r(7),2)，可得sin3θ－cos3θ＝(sinθ－cosθ)(sin2θ＋cosθsinθ＋cos2θ)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(7),2)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,8)))＝－eq\f(5\r(7),16)，故B正確；因?yàn)閟inθ＋cosθ＝t，t∈(－1，eq\r(2)]，兩邊平方，可得1＋2sinθcosθ＝t2，可得sinθcosθ＝eq\f(t2－1,2)，所以sinθ＋cosθ－sinθcosθ＝t－eq\f(t2－1,2)＝1－eq\f(1,2)(t－1)2，因?yàn)閠∈(－1，eq\r(2)]，所以f(θ)＝sinθ＋cosθ－sinθcosθ∈(－1,1]，故C錯(cuò)誤，D正確．三、填空題9．(2023·重慶模擬)若sinα＝2cosα，則cos2α＋sinαcosα－sin2α＝.答案－eq\f(1,5)解析由sinα＝2cosα，得tanα＝2，則cos2α＋sinαcosα－sin2α＝eq\f(cos2α＋sinαcosα－sin2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(1＋tanα－tan2α,tan2α＋1)＝eq\f(1＋2－4,4＋1)＝－eq\f(1,5).10．已知tanα＝cosα，則eq\f(1,1－sinα)－eq\f(1,sinα)＝.答案1解析因?yàn)閠anα＝eq\f(sinα,cosα)＝cosα，故sinα＝cos2α，則eq\f(1,1－sinα)－eq\f(1,sinα)＝eq\f(sinα－1－sinα,1－sinαsinα)＝eq\f(2sinα－1,sinα－sin2α)＝eq\f(2sinα－1,sinα－1－cos2α)＝eq\f(2sinα－1,2sinα－1)＝1.11．已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝eq\f(1,3)，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋α))＝，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－α))＝.答案－eq\f(1,3)eq\f(1,3)解析coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋α))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))))＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝－eq\f(1,3).sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－α))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝eq\f(1,3).12．已知θ是第一象限角，若sinθ－2cosθ＝－eq\f(2,5)，則sinθ＋cosθ＝.答案eq\f(7,5)解析因?yàn)閟inθ－2cosθ＝－eq\f(2,5)，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2cosθ－\f(2,5)))2＋cos2θ＝1，所以5cos2θ－eq\f(8,5)cosθ－eq\f(21,25)＝0，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosθ－\f(3,5)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5cosθ＋\f(7,5)))＝0，又因?yàn)棣葹榈谝幌笙藿牵詂osθ＝eq\f(3,5)，所以sinθ＝eq\f(4,5)，從而sinθ＋cosθ＝eq\f(7,5).四、解答題13．(1)若α是第二象限角，且coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝－e