第18講相似多邊形模塊一思維導圖串知識模塊二基礎知識全梳理（吃透教材）模塊三核心考點舉一反三模塊四小試牛刀過關測1．了解相似多邊形和相似比的概念；2．會根據條件判斷兩個多邊形是否為相似多邊形；3.掌握相似多邊形的性質，能根據相似比進行相關的計算.知識點一、相似圖形相似圖形：在數學上，我們把形狀相同的圖形稱為相似圖形.要點：(1)相似圖形就是指形狀相同，但大小不一定相同的圖形；(2)“全等”是“相似”的一種特殊情況，即當“形狀相同”且“大小相同”時，兩個圖形全等；知識點二、相似三角形在和中，如果我們就說與相似，記作∽.k就是它們的相似比，“∽”讀作“相似于”知識點三、相似多邊形相似多邊形的性質：（1）相似多邊形的對應角相等，對應邊的比相等．（2）相似多邊形的周長比等于相似比．（3）相似多邊形的面積比等于相似比的平方．要點：用相似多邊形定義判定特殊多邊形的相似情況：（1）對應角都相等的兩個多邊形不一定相似，如：矩形；（2）對應邊的比都相等的兩個多邊形不一定相似，如：菱形；（3）邊數相同的正多邊形都相似，如：正方形，正五邊形.考點一：相似圖形的判斷例1．（23-24九年級下·全國·課后作業）下列圖標中，不是相似圖形的是（

）A．B． C． D．【答案】C【分析】本題考查相似圖形，解題的關鍵是理解相似圖形的定義．根據相似圖形的定義判斷即可．【詳解】解：選項A，B，D是相似圖形，選項C不是相似圖形．故選：C．【變式1-1】（23-24九年級上·安徽六安·期末）下列多邊形一定相似的是（

）A．兩個等腰三角形 B．兩個平行四邊形C．兩個正五邊形 D．兩個六邊形【答案】C【分析】本題主要考查了相似圖形的判定，掌握相似形的定義（如果兩個邊數相同的多邊形的對應角相等，對應邊成比例，這兩個多邊形相似）是解題的關鍵．根據相似三角形的定義逐項判斷即可．【詳解】解：A、兩個等邊三角形相似，但是兩個等腰三角形并不一定相似，三個角度沒有確定，故A不正確；B、兩個平行四邊形對應角度及對應邊都不一定成比例，所以不一定相似，故B不正確；C、兩個正五邊形角度相等，放大縮小后可以完全重合，兩圖形相似，故C正確；D、兩個正六邊形相似，但是兩個六邊形并不一定相似，故D不正確．故選C．【變式1-2】（23-24九年級下·湖北武漢·開學考試）下面幾對圖形中，相似的是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】根據相似圖形的形狀相同，進行判斷即可．【詳解】解：A，B，D三個選項中的圖形形狀不同，不相似，C選項中的兩個圖形形狀相同，相似；故選：C．【變式1-3】（2024·江蘇連云港·中考真題）下列網格中各個小正方形的邊長均為1，陰影部分圖形分別記作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的為（

）

A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁【答案】D【分析】本題考查相似圖形，根據對應角相等，對應邊對應成比例的圖形是相似圖形結合正方形的性質，進行判斷即可．【詳解】解：由圖可知，只有選項甲和丁中的對應角相等，且對應邊對應成比例，它們的形狀相同，大小不同，是相似形．故選D．考點二：相似多邊形的性質及對應性例2.如圖，四邊形四邊形，，．(1)___________；(2)求邊的長度．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了相似多邊形的性質；（1）根據相似多邊形的性質得出對應角相等，根據四邊形內角和定理求得；（2）由四邊形四邊形，根據相似多邊形對應邊的比相等列出比例式，將，代入，計算即可求出邊的長．【詳解】（1）解：∵四邊形四邊形，∴∴故答案為：（2）解：∵四邊形四邊形∴∵，∴解得：【變式2-1】（22-23九年級上·陜西咸陽·期中）如圖，已知矩形矩形，且它們的相似比是，已知，．求和的長．【答案】，【分析】本題考查了相似多邊形的性質，熟練掌握相似多邊形的性質是解題關鍵．根據相似多邊形的性質求解即可得．【詳解】解：∵矩形矩形，且它們的相似比是，，∵，，，解得，．【變式2-2】（23-24九年級上·陜西榆林·期中）如圖，四邊形四邊形，，，，求x的值和的度數．

【答案】，．【分析】本題主要考查了相似多邊形的性質．根據“相似多邊的對應角相等，對應邊成比例”，即可求解．【詳解】解：∵，，，∴．∵四邊形四邊形，∴，，∴，∴．【變式2-3】（22-23九年級上·河北邯鄲·階段練習）如圖，四邊形∽四邊形(1)的度數為_______，四邊形與四邊形的相似比為_______；(2)分別求邊BC與邊的長度．【答案】(1)；(2)，【分析】（1）根據相似得到對應角相等，再根據四邊形內角和定理即可得到答案；（2）根據相似得到對應線段成比例即可得到答案．【詳解】（1）解：∵四邊形∽四邊形，∴，，∴，相似比為：．（2）解：∵四邊形∽四邊形，∴，∴，．【點睛】本題考查相似圖形的性質及四邊形內角和定理，解題的關鍵是找準對應角對應邊．考點三：相似多邊形性質的應用例3.（23-24九年級下·全國·課后作業）在的矩形花壇四周修筑小路．(1)如圖①，如果四周小路的寬均相等，且寬度為x，那么矩形和矩形相似嗎？請說明理由；(2)如圖②，如果互相平行的兩條小路的寬相等，且寬度分別為，試問：當兩條小路的寬x與y的比值為多少時，矩形和矩形相似？請說明理由．【答案】(1)不相似，見解析(2)，見解析【分析】此題考查了相似多邊形的判定．此題難度適中，注意掌握數形結合思想與方程思想的應用．（1）首先設四周的小路的寬為x，易得，則可判定：小路四周所圍成的矩形和矩形不相似；（2）由相似多邊形的性質可得：當時，小路四周所圍成的矩形和矩形相似，繼而求得答案．【詳解】（1）解：不相似，理由如下：如果四周的小路的寬均相等，那么小路四周所圍成的矩形和矩形不相似；設四周的小路的寬為x，∵，，∴，∴小路四周所圍成的矩形和矩形不相似；（2）解：當小路的寬x與y的比值為時，矩形和矩形相似．理由如下：當矩形和矩形相似時，解得所以當小路的寬x與y的比值為時，矩形和矩形相似．【變式3-1】（22-23九年級上·寧夏銀川·期中）一個矩形的較短邊長為2．(1)如圖1，若沿長邊對折后得到的矩形與原矩形相似，求的長；(2)如圖2，已知矩形的另一邊長為4，剪去一個矩形后，余下的矩形與原矩形相似，求矩形的面積．【答案】(1)(2)2【分析】（1）根據題意可得，，根據相似多邊形的性質得，據此代值計算即可；（2）根據相似多邊形的性質得，然后利用比例性質求出，再利用矩形面積公式計算矩形的面積．【詳解】（1）解：由題意得，，∵沿長邊對折后得到的矩形與原矩形相似，∴矩形與矩形相似，∴，∴，即，∴；（2）解：∵矩形與原矩形相似，∴，∵，，∴，∴矩形的面積．【點睛】本題考查了相似多邊形的性質，解決本題的關鍵是掌握如果兩個多邊形的對應角相等，對應邊的比相等，則這兩個多邊形是相似多邊形；相似多邊形對應邊的比叫做相似比．【變式3-2】（22-23九年級上·浙江杭州·期末）如圖，把一個矩形劃分成三個全等的小矩形．(1)若原矩形的長，寬．問：每個小矩形與原矩形相似嗎？請說明理由．(2)若原矩形的長，寬，且每個小矩形與原矩形相似，求矩形長與寬應滿足的關系式．【答案】(1)不相似；證明過程見詳解(2)【分析】（1）根據劃分后小矩形的長為，寬為，可得，進而可判斷結論；（2）根據劃分后小矩形的長為，寬為，再根據每個小矩形與原矩形相似，可得，從而可得與的關系式．【詳解】（1）解：不相似．理由如下：∵原矩形的長，寬，∴劃分后小矩形的長為，寬為，又∵，即原矩形與每個小矩形的邊不成比例，∴每個小矩形與原矩形不相似．（2）∵原矩形的長，寬，∴劃分后小矩形的長為，寬為，又∵每個小矩形與原矩形相似，∴∴，即．【點睛】本題考查了相似多邊形的性質，本題的關鍵是根據兩矩形相似得到比例式．【變式3-3】（2022九年級上·浙江·專題練習）矩形紙片的邊長為，動直線l分別交于E、F兩點，且∶(1)若直線l是矩形的對稱軸，且沿著直線l剪開后得的矩形與原矩形相似，試求的長？(2)若使，試探究：在邊上是否存在點E，使剪刀沿著直線l剪開后，所得到的小矩形紙片中存在與原矩形相似的情況．若存在，請求出的值，并判斷E點在邊上位置的特殊性；若不存在，試說明理由．【答案】(1)(2)存在，或，E剛好是邊的兩個黃金分割點【分析】（1）先根據矩形矩形可得出兩矩形的對應邊成比例，再，把的值代入關系式即可得出x的值，進而可求出的值；（2）假設存在矩形與矩形相似，則必與對應，必與對應，由相似多邊形的對應邊成比例即可得出的長，進而可得出的長，進而可得出結論．【詳解】（1）解：∵矩形矩形，∴，又∵，可設，∴，解得：，∴；（2）解：假設存在矩形與矩形相似；則必與對應，必與對應，∴，∴，又∵∴∴，而，依據對稱性考慮，必定存在當時，使矩形與矩形相似的情形，綜上所述：當或時，在剪開所得到的小矩形紙片中必存在與原矩形相似；且該兩種情形中，E剛好是邊的兩個黃金分割點．【點睛】本題考查的是相似多邊形的性質，熟練掌握相似多邊形的對應邊成比例是解題的關鍵．考點四：相似多邊形性質的動態問題例4.（23-24九年級上·四川內江·期中）如圖，在矩形中，，，連接，以對角線為邊，按逆時針方向作矩形，使矩形矩形；再連接，以對角線為邊，按逆時針方向作矩形，使矩形矩形，…，按照此規律作下去，則邊的長為（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了矩形的性質，勾股定理，相似多邊形的性質“相似多邊形對應邊的比叫做相似比”，解此題的關鍵是能根據求出的結果得出規律．根據已知和矩形的性質可分別求得，利用相似多邊形的性質可發現規律，根據規律即可解決問題．【詳解】∵四邊形是矩形，∵按逆時針方向作矩形的相似矩形，∴矩形的邊長和矩形的相似比為，∴矩形的對角線和矩形的對角線的比，∵矩形的對角線為，∴矩形的對角線，依此類推，矩形的對角線和矩形的對角線的比為，∴矩形的對角線，∴矩形的對角線，按此規律第個矩形的對角線故選：A．【變式4-1】（23-24九年級上·陜西榆林·期中）四邊形是一張矩形紙片，將其按如圖所示的方式折疊：使邊落在邊上，點落在點處，折痕為；使邊落在邊上，點落在點處，折痕為．若矩形與原矩形相似，，則矩形的面積為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根據折疊的性質與矩形性質，求得，設的長為x，則，再根據相似多邊形性質得出，即，求得，進而根據矩形的面積等于矩形的面積減去2個正方形的面積，即可求解．【詳解】解：，由折疊可得：，，∵矩形，∴，∴，設的長為x，則，∵矩形，∴，∵矩形與原矩形相似，∴，即，解得：（負值不符合題意，舍去）∴，∴矩形的面積為故選：B．【點睛】本題考查矩形的折疊問題，相似多邊形的性質，熟練掌握矩形的性質和相似多邊形的性質是解題的關鍵．【變式4-2】（2023·安徽六安·模擬預測）將一張（）紙片，以它的一邊為邊長剪去一個菱形，將余下的平行四邊形中，再以它的一邊為邊長剪去一個菱形，若剪去兩個菱形后所剩下的平行四邊形與原來相似，則的相鄰兩邊與的比值是（

）A． B．C．或 D．或或【答案】C【分析】分兩種情況進行討論進而根據相似多邊形的性質進行求解即可．【詳解】如圖，設．根據題意，，∴，∵，∴，∵剩下的平行四邊形與原來相似，∴對應邊成比例，分兩種情況討論：①，∴，設，分子分母同時除以，得：，解得：；②，∴，設，則：，解得：，兩個答案都滿足，綜上：的相鄰兩邊與的比值是或；故選C．【點睛】本題考查平行四邊形的性質，菱形的性質，相似多邊形的性質．根據題意，正確的畫出圖形，利用數形結合和分類討論的思想進行求解，是解題的關鍵．【變式4-3】（2024·山東淄博·二模）如圖，在矩形中，，，連接，以對角線為邊，按逆時針方向作矩形，使矩形相似于矩形；再連接，以對角線為邊，按逆時針方向作矩形，使矩形相似于矩形；…按照此規律作下去．若矩形的面積記作，矩形的面積記，矩形的面積記作，…，則的值為．【答案】【分析】本題考查了矩形的性質，勾股定理，相似多邊形的性質，解題的關鍵是找出規律．根據已知和矩形的性質可分別求得，再利用相似多邊形的性質可發現規律．【詳解】四邊形是矩形，，，按逆時針方向作矩形的相似矩形，矩形的邊長和矩形的邊長的比為，矩形的面積和矩形的面積的比，

，，，故答案為：.一、單選題1．（2024·四川德陽·一模）下列說法正確的是（

）A．所有的矩形都是相似形 B．對應邊成比例的兩個多邊形相似C．對應角相等的兩個多邊形相似 D．有一個角等于的兩個等腰三角形相似【答案】D【分析】此題主要考查了相似圖形的判定，對應角相等，對應邊成比例的多邊形相似，缺一不可．利用相似圖形的判定方法分別判斷得出即可．【詳解】解：A、對應角都相等，但對應邊的比值不一定相等，故此選項不符合題意；B、對應邊成比例，但對應角不一定相等，故此選項不符合題意；C、對應角相等，但對應邊的比值不一定相等，故此選項不符合題意；D、有一個角等于的兩個等腰三角形相似，此角度一定是頂角，即可得出兩三角形相似，故此選項符合題意；故選：D．2．（23-24九年級上·貴州畢節·期末）如圖四邊形四邊形，，，，則（

）

A．4 B．5 C．8 D．10【答案】D【分析】本題考查了相似多邊形的性質，熟練掌握相似多邊形的對應邊成比例是解題的關鍵．根據相似多邊形的性質列出對應邊成比例即可求解．【詳解】解：四邊形四邊形，，，，，，．故選：．3．（2024·貴州·一模）如圖，有兩個形狀相同、大小不等的“中國夢”圖片，依據圖中標注的數據，可得x的值為（

）A．15 B．12 C．10 D．8【答案】D【分析】本題主要考查了相似圖形的性質，相似圖形的對應線段的比相等．利用相似多邊形的對應邊的比相等，對應角相等分析．【詳解】解：這兩個圖形兩個形狀相同，即兩個圖形相似，則對應線段的比相等，因而，．的值是．故選：D4．（23-24九年級下·河北保定·開學考試）如圖，六邊形六邊形，相似比為，則下列結論正確的是（

）A．B．六邊形的周長六邊形的周長C．D．【答案】A【分析】本題考查相似多邊形的性質．根據相似多邊形的性質對各選項進行逐一分析是解決問題的關鍵．【詳解】解：∵六邊形六邊形，相似比為，∴，即，故A正確；六邊形的周長六邊形的周長，故B錯誤；，故C錯誤；，即：，故D錯誤；故選：A．5．（23-24九年級上·山西太原·期末）如圖，四邊形是一張矩形紙片．折疊該矩形紙片，使邊落在邊上，點B的對應點為點F，折痕為，展平后連接；繼續折疊該紙片，使落在上，點D的對應點為點H，折痕為，展平后連接．若矩形矩形，，則的長為（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查的是矩形的性質、翻折的性質及相似多邊形性質，熟練應用矩形和相似多邊形性質是解題關鍵，設，則，根據兩矩形相似求出即可．【詳解】解：在矩形中，設，則，，由翻折得，四邊形是正方形，同理，四邊形是正方形，，，矩形矩形，，即，解得：（負值舍去），經檢驗，是原方程的解，故選：C．二、填空題6．（23-24九年級上·陜西西安·期中）如圖，四邊形四邊形，，，，則的度數為．【答案】【分析】本題考查了相似多邊形的性質；根據相似多邊形的對應角相等得出，再根據四邊形內角和即可求解．【詳解】解：∵四邊形四邊形，，∴，∴故答案為：．7．（2023九年級上·浙江·專題練習）如圖，五邊形五邊形，則五邊形與五邊形的相似比是．【答案】【分析】本題主要考查了相似圖形的相似比、勾股定理，設方格的邊長為1，由勾股定理可得，，從而即可求解，掌握相似比的定義是解題的關鍵．【詳解】解：設方格的邊長為1，則，，五邊形五邊形，∴五邊形與五邊形的相似比是為，故答案為：．8．（23-24九年級上·浙江寧波·階段練習）.已知矩形相似于矩形，且相似比為2，若，，那么矩形的周長是．【答案】【分析】本題考查相似多邊形的性質．相似多邊形對應邊之比、周長之比等于相似比，而面積之比等于相似比的平方．根據相似多邊形周長的比等于相似比可求．【詳解】解：∵矩形矩形，∴相似多邊形的周長之比相似比，又∵矩形的周長為，∴矩形的周長為．故答案為：．9．（23-24九年級上·四川巴中·期末）如圖，已知矩形中，，在上取一點，沿將向上折疊，使點落在上的點．若四邊形與矩形相似，則．【答案】【分析】本題考查了翻折變換（折疊問題），相似多邊形的性質，可設，由四邊形與矩形相似，根據相似多邊形對應邊的比相等列出比例式，求解即可．【詳解】，設，則，，四邊形與矩形相似，，則，解得，（不合題意舍去），經檢驗是原方程的解．故答案為：．10．（23-24九年級上·安徽合肥·期中）如圖，矩形中，，．將矩形分成矩形和矩形．

（1）若矩形與矩形相似，則的長是；（2）若矩形與矩形相似（兩矩形全等的情況除外），則的長是．【答案】2或8【分析】本題考查了矩形的性質，相似多邊形的性質．根據相似寫出比例關系是解題的關鍵．（1）由矩形的性質可知，，設，則，由矩形與矩形相似，分當時，當時，兩種情況求出滿足要求的解即可；（2）由矩形與矩形相似，可知，即，計算求出滿足的解即可．【詳解】（1）解：∵矩形，∴，，設，則，∵矩形與矩形相似，∴當時，即，解得（舍去）；當時，即，解得；綜上，，故答案為：；（2）解：∵矩形與矩形相似，∴，即，整理得，，解得或，∴的值為2或8；故答案為：2或8．三、解答題11．（22-23九年級上·全國·單元測試）如圖，四邊形四邊形．(1)，它們的相似比是；(2)求邊，的長度．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據相似多邊形的性質進行求解即可；（2）根據相似多邊形的性質進行求解即可．【詳解】（1）解：∵四邊形四邊形．∴，∴，∵