第第頁(yè)第1講三角學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.理解任意角、象限角和終邊相同的角的概念，掌握角度與弧度之間的轉(zhuǎn)化，以及扇形的弧長(zhǎng)及面積公式；2.掌握任意角的三角比的定義，同角三角比的關(guān)系；3.掌握誘導(dǎo)公式，兩角和與差的正余弦（正切）公式、倍角公式，會(huì)進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值與證明.課堂引入課堂引入三角學(xué)是以三角形的邊角關(guān)系為基礎(chǔ)，研究幾何圖形中的數(shù)量關(guān)系及其在測(cè)量方面的應(yīng)用的數(shù)學(xué)分支。“三角學(xué)”一詞的英文“trigonometry”就是由兩個(gè)希臘詞“三角形”和“測(cè)量”合成的。現(xiàn)在，三角學(xué)主要研究三角函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用。1463年，法國(guó)學(xué)者繆勒在《論三角》中系統(tǒng)總結(jié)了前人對(duì)三角的研究成果。17世紀(jì)中葉，三角由瑞士人鄧玉函（JeanTerrenz1576-1630)傳入中國(guó)。在鄧玉函的著作《大測(cè)》二卷中，主要論述了三角函數(shù)的性質(zhì)及三角函數(shù)表的制作和用法。當(dāng)時(shí)，三角函數(shù)是用左圖中的八條線段的長(zhǎng)來(lái)定義的，這已與我們剛學(xué)過(guò)的三角函數(shù)線十分類似。著名數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家和天文學(xué)家歐拉（LéonardEuler)1707年出生于瑞士的巴塞爾，1720年進(jìn)入巴塞爾大學(xué)學(xué)習(xí)，后獲碩士學(xué)們。1727年起，他先后到俄國(guó)、德國(guó)工作，1766年再次到俄國(guó)直至逝世。1748年，歐拉出版了一部劃時(shí)代的著作《無(wú)窮小分析概論》，其中提出三角函數(shù)是對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)線與圓的半徑的比值，并令圓的半徑為1，這使得對(duì)三角函數(shù)的研究大為簡(jiǎn)化，他還在此書(shū)的第八章中提出了弧度制的思想。他認(rèn)為，如果把半徑作為1個(gè)單位長(zhǎng)度，那么半圓的長(zhǎng)就是，所對(duì)圓心角的正弦是0，即，同理，圓的1/4的長(zhǎng)是，所對(duì)圓心角的正弦是1，可記作。這一思想將線段與弧的度量單位統(tǒng)一起來(lái)，大大簡(jiǎn)化了某些三角公式及其計(jì)算。18世紀(jì)中葉，歐拉給出了三角函數(shù)的現(xiàn)代理論，他還成功地把三角函數(shù)的概念由褸范圍推廣到復(fù)數(shù)范圍。值得指出，1735年，歐拉右眼失明，《無(wú)窮小分析概論》這部著作出自版于他這一不幸之后。他的著作，在樣式、范圍和記號(hào)方面堪稱典范，因此被許多大學(xué)作為教科書(shū)采用。1766年，他回到俄國(guó)不入，又轉(zhuǎn)成雙目失明，他以驚人的毅力，在圣彼得堡又用口述由別人記錄的方式工作了近17年，直到1783年去世。1909年，瑞士自然科學(xué)學(xué)會(huì)開(kāi)始出版歐拉全集，使他卷帙浩繁的著作得以流芳百世，至今已出版七十余卷。知識(shí)梳理知識(shí)梳理知識(shí)點(diǎn)一、正弦、余弦、正切、余切–知識(shí)概括–1.終邊相同的角：2.弧度制：弧度，弧度.3.扇形的弧長(zhǎng)和面積：，4.任意角的正弦、余弦、正切、余切：設(shè)是一個(gè)任意角，它的終邊上一點(diǎn),正弦余弦正切余切5.各三角比在各個(gè)象限的符號(hào)：–例題分析–【例1】若扇形的圓心角為，半徑為5，則扇形的弧長(zhǎng)為，面積為.【例2】已知圓的一段弧長(zhǎng)等于其內(nèi)接正三角形的周長(zhǎng)，則這段弧所對(duì)圓心角的弧度數(shù)是．【例3】函數(shù)的值域是.【例4】已知點(diǎn)第三象限，則角的終邊在第象限．【例5】(1)已知角的終邊在直線上，若且，求實(shí)數(shù)的值；(2)已知角的終邊上一點(diǎn)，且，求和的值.–敏學(xué)思途–1.終邊落在軸的正半軸上的角可表示為.2.已知是第一象限的角，問(wèn)：是第幾象限的角？3.已知一扇形的中心角是，所在圓的半徑是.(1)若，求扇形的弧長(zhǎng)及該弧所在弓形的面積；(2)若扇形的周長(zhǎng)是一定值，當(dāng)為多少弧度時(shí)，該扇形有最大面積？知識(shí)點(diǎn)二、同角三角比關(guān)系、誘導(dǎo)公式–知識(shí)概括–1.平方關(guān)系：2.商數(shù)關(guān)系：，3.倒數(shù)關(guān)系：4.誘導(dǎo)公式可用十個(gè)字概括為：奇變偶不變，符號(hào)看象限5.已知正弦、余弦、正切求角的角的全體為或，可簡(jiǎn)記作．同理可得，則；，則–例題分析–【例1】已知是第三象限角，且，求的值.【例2】滿足方程的角的集合是.【例3】方程在區(qū)間上的解集為.【例4】已知，且，則的值是.【例5】若，則. 【例6】設(shè)，求下列各式的值：(1)(2)(3)【例7】已知，且，則=.【例8】已知，且、是方程的兩根，求，，的值．–敏學(xué)思途–1.已知，且是第二象限角，那么的值是．2.已知為第三象限角，，則___________.3.已知角，，且滿足，則角為．4.若，則．5.化簡(jiǎn)的結(jié)果為（）A.B.C.D.6.已知，則.7.若，是方程的兩根，則．8.已知,則.知識(shí)點(diǎn)三、常用三角公式–知識(shí)概括–1.(1)兩角差的余弦、正弦和正切(2)兩角和的余弦、正弦和正切2.二倍角公式3.(1)半角的正弦、余弦公式：(2)半角的正切、余切公式：4.輔助角公式(其中角所在的象限由a,b的符號(hào)確定，角的值由,確定)在求最值、化簡(jiǎn)時(shí)起著重要作用.5.（1）積化和差公式（2）和差化積公式6.基本的技巧有:（1）巧變角（已知角與特殊角的變換、已知角與目標(biāo)角的變換、角與其倍角的變換、兩角與其和差角的變換.如，，，，等）；（2）三角比名互化(切割化弦)；（3）公式變形使用（；（4）三角比次數(shù)的降升(降冪公式：，與升冪公式：，)；（5）式子結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)化(對(duì)角、三角比名稱、式子結(jié)構(gòu)化同)；（6）常值變換主要指“1”的變換（），（7）正余弦“三兄妹—”的內(nèi)在聯(lián)系――“知一求二”，若，則，特別提醒：．–例題分析–【例1】若為銳角，且，則.【例2】已知，則.【例3】若可化為，則.【例4】若，，則．【例5】已知是方程的兩根，若，則的值是.【例6】已知為銳角，且滿足，則＝.【例7】已知，則．【例8】____________.【例9】已知，則（）A.B.C.D.【例10】化簡(jiǎn)，【例11】已知，且，求的值【例12】已知，求的值【例13】已知：，，求的值.【例14】已知，求和【例15】已知，求的值.–敏學(xué)思途–1.已知，則．2.若，，則___________.3.已知，則.4.已知.5.已知，那么的值為，的值為.6.已知，，則，.7.己知，則.8．已知，則的值為.9.設(shè)點(diǎn)是以原點(diǎn)為圓心的單位圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，它從初始位置出發(fā)，沿單位圓按順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)角后到達(dá)點(diǎn)，然后繼續(xù)沿著單位圓按順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)角到達(dá)點(diǎn)，若點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．已知:，求tanα的值.

11．求證：12．設(shè)，且，滿足（1）求的值．（2）求的值．13.已知，，且，是銳角．（1）求的值；（2）求的值．勇攀高峰勇攀高峰1.若實(shí)數(shù)，且滿足，則稱是“余弦相關(guān)”的.（1）若，求出所有與之“余弦相關(guān)”的實(shí)數(shù)；（2）若實(shí)數(shù)是“余弦相關(guān)”的，求的取值范圍；（3）若不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)是“余弦相關(guān)”的，求證：存在實(shí)數(shù)，使得x、z為“余弦相關(guān)”的，y、z也為“余弦相關(guān)”的.師生總結(jié)師生總結(jié)自主鞏固自主鞏固1.判斷下列命題的真假，并說(shuō)明理由．(1)若是第一象限的角，則也必是第一象限的角；(2)弧度的角與的角是終邊相同的角；(3)終邊在軸上的角的集合為；(4)終邊在軸上方的角的集合為.2.設(shè)角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，那么___________.3.點(diǎn)是角終邊上一點(diǎn)，那么.4.若，為銳角，且，，則．5.已知角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的正半軸重合，角的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)是，則.6.化簡(jiǎn):.7.把化為（其中，的形式：．8.已知，則．9.化簡(jiǎn)：的結(jié)果為_(kāi)_________.10.方程在，上的解組成的集合為．11.已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且，則角的大小.12.已知，則=.13.若且，則.14.若則15.方程的解集為_(kāi)________________.16.已知，，都是銳角，則的值為_(kāi)__________.17.設(shè)函數(shù)，其中都是非零實(shí)數(shù)，且滿足，則___________.18.在銳角三角形中，若，則的最小值是．19.提鞋公式也叫李善蘭輔助角公式，其正弦型下:下列判斷錯(cuò)誤的是（）A.當(dāng)時(shí)，輔助角B.當(dāng)時(shí)，輔助角C.當(dāng)時(shí)，輔助角D.當(dāng)時(shí)，輔助角20.若，的化簡(jiǎn)結(jié)果是A． B． C． D．21.化簡(jiǎn)（）A.1B.C.D.22.如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，以軸為始邊作兩個(gè)銳角，它們的終邊