PAGEPAGE16.2利用導數探討函數的性質6.2.1導數與函數的單調性必備學問基礎練1.設f'(x)是函數f(x)的導函數,y=f'(x)的圖象如圖所示,則y=f(x)的圖象可能是()2.已知函數f(x)=lgx-12x,f(m)=1,且0<p<m<n,則()A.f(n)<1且f(p)>1 B.f(n)>1且f(p)>1C.f(n)>1且f(p)<1 D.f(n)<1且f(p)<13.已知函數f(x)=-x3+ax2-x-1是(-∞,+∞)上的減函數,則實數a的取值范圍是()A.(-∞,-3)∪[3,+∞)B.[-3,C.(-∞,-3)∪(3,+∞)D.(-3,4.若函數f(x)=(-x2+ax)ex在區間(-1,1)上存在單調遞減區間,則實數a的取值范圍是.

5.函數f(x)=x2e-x在區間(-∞,0)上的單調性為.

6.已知函數f(x)=x3+ax在R上單調遞增,則實數a的取值范圍是.

7.(2024河南駐馬店高二期中)已知函數f(x)=ex-ax+a,a為常數.(1)探討函數f(x)的單調性;(2)若對于隨意實數x≥0,有f(x)≥a恒成立,求實數a的取值范圍.關鍵實力提升練8.設函數f'(x)是奇函數f(x)的導函數,f(-1)=0,當x>0時,xf'(x)-f(x)<0,則使得f(x)>0成立的x的取值范圍是()A.(-1,0)∪(1,+∞) B.(-∞,-1)∪(0,1)C.(-∞,-1)∪(-1,0) D.(0,1)∪(1,+∞)9.(多選題)已知f(x)是可導的函數,且f'(x)<f(x)對于x∈R恒成立,則下列不等關系正確的是()A.f(1)<ef(0),f(2022)<e2022f(0)B.f(1)>ef(0),f(1)>e2f(-1)C.f(1)<ef(0),f(1)<e2f(-1)D.f(1)>ef(0),f(2022)>e2022f(0)10.若函數f(x)=x2-ax+lnx在區間(1,e)上單調遞增,則a的取值范圍是()A.[3,+∞) B.(-∞,3]C.[3,e2+1] D.[e2+1,3]11.(多選題)已知定義在0,π2上的函數f(x),f'(x)是f(x)的導函數,且恒有cosxf'(x)+sinxf(x)<A.fπ6B.3fπC.fπ6D.212.若函數f(x)=x3+bx2+cx+d的單調遞減區間為(-1,3),則b+c=.

13.已知f(x)=-12x2+bln(x+2)在(-1,+∞)上單調遞減,則實數b的取值范圍是14.已知函數y=f(x)的定義域為-32,3,且y=f(x)的圖象如圖所示,記y=f(x)的導函數為y=f'(x),則不等式x·f'(x)15.已知函數f(x)=(ax2+x-1)ex,其中e是自然對數的底數,a∈R.(1)若a=1,求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程;(2)若a=-1,求f(x)的單調區間.16.(1)已知函數f(x)=axekx-1,g(x)=lnx+kx.當a=1時,若f(x)在(1,+∞)上為減函數,g(x)在(0,1)上為增函數,求實數k的值.(2)已知函數f(x)=x+ax-2lnx,a∈R,探討函數f(x)的單調區間學科素養創新練17.已知函數f(x)=ax2ex-1(a≠0).(1)求函數f(x)的單調區間;(2)已知a>0且x∈[1,+∞),若函數f(x)沒有零點,求實數a的取值范圍.

參考答案6.2利用導數探討函數的性質6.2.1導數與函數的單調性1.D依據導函數圖象,y=f(x)的單調遞增區間為(-3,-1),(0,1),單調遞減區間為(-1,0),(1,3),視察選項可得D符合,故選D.2.C∵f'(x)=1xln10-12x·ln12=1xln10+12xln2,∴當x>0時,f'(x)>0,函數f∵0<p<m<n,且f(m)=1,∴f(p)<f(m)=1<f(n).故選C.3.Bf'(x)=-3x2+2ax-1≤0在(-∞,+∞)上恒成立,且不恒為0,則Δ=4a2-12≤0,解得-3≤a≤3.4.-∞,32f(x)=(-x2+ax)ex,則f'(x)=ex(-x2+ax-2x+a),函數f(x)=(-x2+ax)ex在區間(-1,1)上存在單調遞減區間,只需-x2+ax+a-2x≤0在區間(-1,1)上有解,記g(x)=-x2+(a-2)x+a,其圖象的對稱軸為直線x=a-22g(-1)=-1-(a-2)+a=1>0,只需g(1)<0,所以-1+a-2+a<0,解得a<32故答案為-∞,32.5.單調遞減依題意,f(x)=x2ex,所以f'(x)=2x-x26.[0,+∞)由題意,得f'(x)=3x2+a≥0在R上恒成立,即a≥-3x2恒成立,故a≥0,所以a的取值范圍是[0,+∞).7.解(1)因為f(x)的定義域為R,f'(x)=ex-a,當a≤0時,f'(x)>0,則f(x)在R上單調遞增;當a>0時,由f'(x)=0,解得x=lna,當x∈(-∞,lna)時,f'(x)<0,f(x)單調遞減,當x∈(lna,+∞)時,f'(x)>0,f(x)單調遞增.綜上知,當a≤0時,f(x)在R上單調遞增,當a>0時,f(x)的單調遞減區間為(-∞,lna),單調遞增區間為(lna,+∞).(2)對于隨意實數x≥0,有f(x)≥a恒成立,等價于ex≥ax,x∈[0,+∞)恒成立.①當x=0時,e≥0·a恒成立,∴a∈R;②當x>0時,原不等式等價于a≤exx恒成立,設h(x)=exx(x>0),則只需a≤h(∵h'(x)=ex(x-1)x2,當0<x<1時,h'(x)當x>1時,h'(x)>0,h(x)單調遞增,∴h(x)的最小值為h(1)=e,∴a≤e.綜合①②,知實數a的取值范圍為{a|a≤e}.8.B令g(x)=f(x)x,則g'(x因為當x>0時,xf'(x)-f(x)<0,則g'(x)<0,所以g(x)在(0,+∞)上單調遞減.又因為函數f(x)是奇函數,所以g(x)在(-∞,0)上單調遞減.又f(-1)=0,則f(1)=0,所以f(x)>0成立的x的取值范圍是(-∞,-1)∪(0,1).故選B.9.AC構造函數g(x)=f(所以g'(x)=f'(因為f'(x)<f(x)在R上恒成立,所以g'(x)<0,所以g(x)是R上的減函數,所以g(1)<g(0),g(2024)<g(0),g(1)<g(-1),即f(1)<ef(0),f(2024)<e2024f(0),f(1)<e2f(-1),故選AC.10.B依題意f'(x)=2x-a+1x≥0在區間(1,e)上恒成立即a≤2x+1x在區間(1,e)上恒成立令g(x)=2x+1x(1<x<g'(x)=2-1x2g(x)在(1,e)上單調遞增,g(1)=3,所以a≤3.所以a的取值范圍是(-∞,3].故選B.11.CD設g(x)=f(x)cosx,則g'(因為x∈0,π2時,cosxf'(x)+sinxf(x)<0,所以x∈0,π2時,g'(因此g(x)在0,π所以gπ6>gπ3,gπ6即fπ即fπ6即2f故選CD.12.-12由題意f'(x)=3x2+2bx+c,所以3x2+2bx+c=0的兩根為-1和3,所以-所以b=-3,c=-9,b+c=-12.13.(-∞,-1]由題意,可知f'(x)=-x+bx+2≤0在x∈(-1,+∞)即b≤x(x+2)在x∈(-1,+∞)上恒成立,令f(x)=x(x+2)=x2+2x,x∈(-1,+∞),∴f(x)>-1,∴要使b≤x(x+2),則b≤-1,故實數b的取值范圍為(-∞,-1].14.-32,-12∪(0,1)當x<0時,y=f(x)在-32,-12上單調遞增,因此f'(x)>0,故x·f'(x)<0成立;y=f(x)在-12,0上單調遞減,因此f'(x當x>0時,y=f(x)在(0,1)上單調遞減,因此f'(x)<0,故x·f'(x)<0成立;y=f(x)在(1,3)上單調遞增,因此f'(x)>0,故x·f'(x)<0不成立,所以x·f'(x)<0的解集是-32,-12∪(0,1).15.解f'(x)=(ax+2a+1)xex.(1)若a=1,則f'(x)=(x+3)xex,f(x)=(x2+x-1)ex,所以f'(1)=4e,f(1)=e.所以曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為y-e=4e(x-1),即4ex-y-3e=0.(2)若a=-1,則f'(x)=-(x+1)xex.令f'(x)=0,解得x1=-1,x2=0.當x∈(-∞,-1)時,f'(x)<0;當x∈(-1,0)時,f'(x)>0;當x∈(0,+∞)時,f'(x)<0;所以f(x)的單調遞增區間為[-1,0],單調遞減區間為(-∞,-1]和[0,+∞).16.解(1)當a=1時,f(x)=xekx-1,∴f'(x)=(kx+1)ekx,g'(x)=1x∵f(x)在(1,+∞)上單調遞減,則對于隨意x>1,f'(x)≤0?k≤-1x∴k≤-1.∵g(x)在(0,1)上單調遞增,則對于隨意x∈(0,1),g'(x)≥0?k≥-1x,∴k≥-1綜上所述,k=-1.(2)函數f(x)的定義域為(0,+∞),∴f'(x)=1-ax①當Δ=4+4a≤0,即a≤-1時,得x2-2x-a≥0,則f'(x)≥0.∴函數f(x)在(0,+∞)上單調遞增.②當Δ=4+4a>0,即a>-1時,令f'(x)=0,得x2-2x-a=0,解得x1=1-1+a,x2=1+1+a>(ⅰ)若-1<a<0,則x1=1-1+a>∵x∈(0,+∞),∴f(x)在(0,1-1+a),(1+1+a,+∞)在(1-1+a,1+1+a)(ⅱ)若a≥0,則x1≤0,當x∈(0,1+1+a)時,f'(x)<0,當x∈(1+1+a,+∞)時,f'(x)∴函數f(x)在區間(0,1+1+a)上單調遞減在區間(1+1+a,+∞)上單調遞增17.解(1)f'(x)=2axex+ax2ex=axex(2+x),令f'(x)=0,則x=0或x=-2.①若a>0,當x<-2時,f'(x)>0,f(x)單調遞增;當-2<x<0時,f'(x)<0,f(x)單調遞減;當x>0時,f'(x)>0,f(x)單調遞增.②若a<0,當x<-2時,f'(x)<0,f(x)單調遞