第4講專題提升“平移圓”“放縮圓”“旋轉(zhuǎn)圓”“磁聚焦”和“磁發(fā)散”模型高考總復習2025專題概述:帶電粒子在勻強磁場運動中的臨界、極值問題是高考的熱點之一,一些特殊的臨界、極值問題可以用“動態(tài)圓”模型分析,有助于發(fā)現(xiàn)臨界狀態(tài),適用條件是帶電粒子射入磁場的速度大小或方向至少有一項保持不變。其中,“平移圓”模型中帶電粒子的入射點發(fā)生變化;“放縮圓”模型和“旋轉(zhuǎn)圓”模型中帶電粒子從同一點進入磁場。帶電粒子在圓形邊界磁場中的運動是高考試題常見的類型,對于該類問題,如果滿足某種條件,應(yīng)用“磁聚焦”和“磁發(fā)散”模型來分析問題,會達到事半功倍的效果。為了考查學生分析問題解決問題的能力,命題人常常將某種模型鑲嵌在題目中。題型一“動態(tài)圓”模型一、“平移圓”模型

“平移圓”模型適用條件速度大小一定,方向一定,入射點不同,但在同一直線上粒子源發(fā)射速度大小、方向一定的帶電粒子,入射點不同但在同一直線的帶電粒子進入勻強磁場時,它們做勻速圓周運動的半徑相同,若入射速度大小為v0,則半徑

,如圖所示軌跡圓圓心共線帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動的圓心在同一直線,該直線與入射點的連線平行界定方法將半徑為

的圓進行平移,從而探索粒子的臨界條件,這種方法叫“平移圓”法二、“放縮圓”模型

“放縮圓”模型適用條件速度方向一定,大小不同粒子源發(fā)射速度方向一定,大小不同的帶電粒子進入勻強磁場時,這些帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動的軌跡半徑隨速度的變化而變化軌跡圓圓心共線

界定方法以入射點P為定點,圓心位于PP'直線上,將半徑放縮作軌跡圓,從而探索出臨界條件,這種方法稱為“放縮圓”法如圖所示(圖中只畫出粒子帶正電的情況),速度v越大,運動半徑也越大?？梢园l(fā)現(xiàn)這些帶電粒子射入磁場后,它們運動軌跡的圓心在垂直初速度方向的直線PP'上三、“旋轉(zhuǎn)圓”模型

“旋轉(zhuǎn)圓”模型適用條件速度大小一定,方向不同軌跡圓圓心共圓帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動的圓心在以入射點P為圓心、半徑

的圓上界定方法將一半徑為

的圓以入射點為圓心進行旋轉(zhuǎn),從而探索粒子的臨界條件,這種方法稱為“旋轉(zhuǎn)圓”法粒子源發(fā)射速度大小一定、方向不同的帶電粒子進入勻強磁場時,它們在磁場中做勻速圓周運動的半徑相同,若射入初速度為v0,則圓周運動半徑為

。如圖所示考向一

“平移圓”模型典題1

如圖所示,邊長為L的正方形有界勻強磁場ABCD,帶電粒子從A點沿AB方向射入磁場,恰好從C點飛出磁場;若帶電粒子以相同的速度從AD的中點P垂直AD射入磁場,從DC邊的M點飛出磁場(M點未畫出)。設(shè)粒子從A點運動到C點所用時間為t1,由P點運動到M點所用時間為t2(帶電粒子重力不計),則t1∶t2為(

)A.2∶1 B.2∶3C.3∶2 D.C解析

畫出粒子從A點射入磁場到從C點射出磁場的軌跡,如圖所示,并將該軌跡向下平移,粒子做圓周運動的半徑R=L,從C點射出的粒子運動時間考向二

“放縮圓”模型典題2

如圖所示,磁感應(yīng)強度為B的勻強磁場方向垂直紙面向里,圖中虛線為磁場的邊界,其中bc段是半徑為R的四分之一圓弧,ab、cd的延長線通過圓弧的圓心,Ob長為R。一束質(zhì)量為m、電荷量為q的粒子,在紙面內(nèi)以不同的速率從O點垂直ab射入磁場,已知所有粒子均從圓弧邊界射出,其中M、N是圓弧邊界上的兩點,不計粒子間的相互作用和重力。則下列說法正確的是(

)A.粒子帶負電荷B.從M點射出粒子的速率一定大于從N點射出粒子的速率C.從M點射出的粒子在磁場中運動的時間一定小于從N點射出的粒子在磁場中運動的時間D.粒子在磁場中的最短運動時間為D解析

粒子運動軌跡如圖所示,粒子做逆時針的勻速圓周運動,根據(jù)左手定則可知粒子帶正電,由圖可知,粒子落到b點到c點的過程中,半徑越來越大,則由r=可知,速度越來越大,所以從M點射出粒子的速率一定小于從N點射出粒子的速率。又因為粒子在磁場中的運動時間和圓心角成正比,且由幾何關(guān)系知,弦切角等于圓心角的一半,所以當弦切角最小時對應(yīng)粒子的運動時間最短。當弦與圓周相切時,弦切角最小,因為Ob長為R,由幾何關(guān)系知,此時弦切角為θ=60°,所以圓心角為α=120°,最短運動時間為

,即從M點射出的粒子在磁場中運動的時間與從N點射出的粒子在磁場中運動的時間大小不能確定。綜上所述,D正確,A、B、C錯誤?？枷蛉?/p>

“旋轉(zhuǎn)圓”模型典題3(多選)(2024河南鄭州模擬)如圖所示,在直角坐標系xOy的第一象限內(nèi)存在磁感應(yīng)強度大小為B、方向垂直紙面向里的勻強磁場,在y軸上S處有一粒子源,它可向右側(cè)紙面內(nèi)各個方向射出速率相等的質(zhì)量均為m、電荷量均為q的同種帶電粒子,所有粒子射出磁場時離S最遠的位置是x軸上的P點。已知,粒子帶負電,粒子所受重力及粒子間的相互作用均不計,則(

)A.粒子的速度大小為B.從x軸上射出磁場的粒子在磁場中運動的最長時間與最短時間之比為3∶2C.沿平行x軸正方向射入的粒子離開磁場時的位置到O點的距離為

dD.從O點射出的粒子在磁場中的運動時間為AD從x軸上射出磁場的粒子中,沿y軸正方向射出的粒子在磁場中運動的時間最長,從O點射出的粒子時間最短,運動軌跡如圖所示,根據(jù)幾何關(guān)系,粒子在磁場中做圓周運動的圓心角分別為α=、θ=,從x軸上射出磁場的粒子在磁場中運動的最長時間沿平行x軸正方向射入的粒子,其圓心在O點,離開磁場時的位置到O點的距離為r,即沿平行x軸正方向射入的粒子離開磁場時的位置到O點的距離為d,C錯誤;從O點射出的粒子軌跡如圖所示,對應(yīng)的圓心角為θ=,從O點射出的粒子在磁場中的運動時間為題型二“磁聚焦”和“磁發(fā)散”模型磁聚焦磁發(fā)散電性相同的帶電粒子平行射入圓形有界勻強磁場,如果軌跡半徑與磁場半徑相等,則粒子從磁場邊界上同一點射出,磁場邊界在該點的切線與入射方向平行帶電粒子從圓形有界勻強磁場邊界上同一點射入,如果軌跡半徑與磁場半徑相等,則粒子出射方向與磁場邊界在入射點的切線方向平行說明:磁聚焦和磁發(fā)散是相反的過程,滿足運動的可逆性。

考向一

“磁聚焦”模型典題4

如圖所示,在xOy平面內(nèi)半徑為R(未知)的圓形區(qū)域內(nèi)有垂直于平面向外的勻強磁場,圓形區(qū)域的邊界與y軸在坐標原點O相切,區(qū)域內(nèi)磁場的磁感應(yīng)強度大小為B1。空間中z軸正方向垂直于xOy平面向外,x軸上過D點(4d,0,0)放置一足夠大且垂直于x軸的粒子收集板PQ,PQ與yOz平面間有一沿x軸正方向的勻強電場,電場強度大小為E。x軸上過C點(d,0,0)垂直于x軸的平面MN與PQ間存在沿x軸負方向的勻強磁場,磁感應(yīng)強度大小為B2。在xOy平面內(nèi)的-2R≤x≤-R區(qū)域內(nèi),有大量質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子沿y軸正方向以速度v0射入圓形區(qū)域,經(jīng)過磁場偏轉(zhuǎn)后所有粒子均恰好經(jīng)過O點,然后進入y軸右側(cè)區(qū)域。已知電場強度大作用。求:(1)圓形區(qū)域的半徑R;(2)帶電粒子到達MN平面上的所有位置中,離x軸最遠的位置坐標;(3)經(jīng)過MN平面時離x軸最遠的帶電粒子到達收集板PQ時的位置坐標。解析

(1)根據(jù)“磁聚焦”模型可知圓形磁場的半徑等于帶電粒子的軌道半徑,由洛倫茲力提供向心力得(2)從A點射入圓形磁場的粒子經(jīng)過O點時,速度方向沿y軸負方向,在MN上的位置離x軸最遠,在y軸右側(cè)區(qū)域運動的帶電粒子,沿x軸正方向粒子做勻加速直線運動,由牛頓第二定律得qE=ma考向二

“磁發(fā)散”模型典題5(多選)(2024江西宜春模擬)圓心為O、半徑為R的圓形區(qū)域內(nèi)存在磁感應(yīng)強度為B、方向垂直紙面向外的勻強磁場,在磁場邊緣上的A點沿紙面向圓形區(qū)域各個方向均勻發(fā)射速度大小為v0的帶電粒子。圓的右邊為邊長2R的正方形,剛好與圓相切于B點,切點為MN中點,其區(qū)域內(nèi)存在水平向左的勻強電場。當粒子沿AO方向時,粒子剛好從B點離開磁場,進入電場后又恰好從右邊界的中點返回。不計粒子重力和粒子間的相互作用。下列說法正確的是(

)A.粒子的比荷為B.粒子從A點進入磁場到最終離開磁場的運動過程中的總時間與入射方向無關(guān)C.若將電場E方向變?yōu)樨Q直向