1、點和圓的位置關系設⊙O的半徑是r，點P到圓心O的距離為d，則有：d=r點P在⊙O上；d>r點P在⊙O外.2、直線與圓的位置關系直線和圓有三種位置關系，具體如下：（1）相交：直線和圓有兩個公共點時，叫做直線和圓相交，這時直線叫做圓的割線，公共點叫做交點；（2）相切：直線和圓有唯一公共點時，叫做直線和圓相切，這時直線叫做圓的切線，（3）相離：直線和圓沒有公共點時，叫做直線和圓相離.如果⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d,那么：3．切線的判定和性質：（1）、切線的判定定理：經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.（2）、切線的性質定理：圓的切線垂直于經過切點的半徑.如右圖中，OD垂直于切線.4．切線長定理：（1）、切線長：在經過圓外一點的圓的切線上，這點和切點之間的線段的長叫做這點到圓的切線長.（2）、切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角.（3）、圓內接四邊形性質（四點共圓的判定條件）圓內接四邊形對角互補.(4)、三角形的內切圓：與三角形的各邊都相切的圓叫做三角形的內切圓.如圖圓O是△A＇B＇C＇的內切圓.三角形的內切圓的圓心是三角形的三條內角平分線的交點，它叫做三角形的內心.【考點1】點與圓的位置關系A．圓內B．圓上C．圓外D．圓上或圓外【變式1.1】（淮陰區月考）已知。O的半徑為2cm，OA＝3cm，則點A與。O的位置關系是點A在()A．。O的內部B．。O上C．。O的外部D．無法確定【變式1.2】（永嘉縣月考）在平面直角坐標系中，點P的坐標為（3，4若。P經過原點，那么點（5，0）與。P的位置關系是()A．在圓內B．在圓上C．在圓外D．不能確定且BC＝2，點M為線段AC的中點，連接OM，則OM的最大值為()【考點2】三角形的外接圓【例2】（江漢區期中）如圖，△ABC的頂點均在。O上，且AB＝AC，∠BAC＝120°,D為弦BC的中點，弦EF經過點D，且EF∥AB．若。O的半徑為4，則弦EF的長是()【變式2.1】（拱墅區校級期中）下列說法：①三點確定一個圓，②平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，③相等的圓心角所對的弦相等，④三角形的外心到三個頂點的距離相等，其中正確的有()【變式2.2】（秦淮區期中）以下列三邊長度作出的三角形中，其外接圓半徑最小的是()【變式2.3】（固安縣模擬）如圖，AB是。O的一條弦，P是。O上一動點（不與點A，B重合C、D分A.【考點3】直線與圓的位置關系【例3】（福山區期末）在平面直角坐標系中，。O的圓心坐標為(﹣3，0半徑是方程x2﹣3x+2＝0的一根，那么。O與直線的位置關系是()A．相交B．相切C．相離D．無法確定【變式3.1】（金山區校級月考）已知同一平面內有。O和點A與點B，如果。O的半徑為6cm，線段OA=10cm，線段OB＝6cm，那么直線AB與。O的位置關系為()A．相離B．相交C．相切D．相交或相切【變式3.2】（青島一模）如圖，在Rt△ABC中，∠,AC＝5cm，以點C為圓心，以2cm的長為半徑作圓，則。C與AB的位置關系是()A．相離B．相交C．相切D．相切或相交圓O是以AB為直徑的圓．如果以點C為圓心作圓C與直線AD相交，與圓O沒有公共點，那么圓C的半徑長可以是()【考點4】切線的性質D.【變式4.1】（費縣期末）如圖，兩個圓都以點O為圓心，大圓的弦AB和小圓切于點P，若圓環的面積是【變式4.2】（常州期中）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°,AC＝BC=,點D是AB邊上一個動點，以點D為圓心r為半徑作ΘD，直線BC與ΘD切于點E，若點E關于CD的對稱點F恰好落在AB邊上，A.B．1D.【變式4.3】（梁溪區校級期中）如圖，□ABCD的三個頂點A、B、D均在ΘO上，且對角線AC經過點O，BC與ΘO相切于點B，已知ΘO的半徑為6，則□ABCD的面積為()A．54B．76.8C．36D．72+14√5【考點s】切線長定理【例5】（西崗區期末）如圖，P為ΘO外一點，PA、PB分別切ΘO于點A、B，CD切ΘO于點E，分別交A．8B．12C．16【變式5.1】（文昌期末）如圖，四邊形ABCD是ΘO的外切四邊形，且AB＝10，CD＝12，則四邊形ABCDA．44B．42C．46【變式5.2】（河北模擬）如圖，ΘO內切于正方形ABCD，O為圓心，作∠MON＝90°,其兩邊分別交BC，CD于點N，M，若CM+CN＝4，則ΘO的面積為()【變式5.3】（高陽縣期末）如圖，△ABC是一張周長為17cm的三角形的紙片，BC＝5cm，ΘO是它的內切圓，小明準備用剪刀在ΘO的右側沿著與ΘO相切的任意一條直線MN剪下△AMN，則剪下的三角形的A．12cmB．7cmC．6cmD．隨直線MN的變化而變化【考點6】三角形的內切圓【例6】（微山縣期末）如圖，以△ABC的邊AB為直徑作ΘO經過點C，分別過點B，C作ΘO的兩條切線相交于點D，OD交ΘO于點E，AE的延長線交BD于點F．下面結論中，錯誤的是()A．BC⊥ODB．AC∥ODC．FD＝FED．點E為△BCD的內心【變式6.1】（利川市期末）如圖，△ABC的內切圓ΘO與AB，BC，CA分別相切于點D，E，F，且AD=A．10B．12C．14【變式6.2】（孟村縣期末）如圖，ΘO是Rt△ABC的內切圓，點D，E是切點，則下列說法不正確的是D．四邊形ODCE沒有外接圓【變式6.3】（豐南區期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°,AD⊥BC于點D，點E是AC上一點，連接BE，交AD于點F，若AE＝BE，則下列說法正確的為()A．點F為△ABC的外心B．點F到△ABC三邊的距離相等C．點E、B、C在以F為圓心的同一個圓上D．點E為AC中點【考點7】圓的最值問題1半徑為1，D是ΘC上的一動點，則△ABD面積的最大值為()A．9B．12C．200半徑為1，若點D為ΘO上的一個動點，線段DB與y軸交于點E，則△ABE面積的最小值為()A．1B．2【變式7.2】（思明區校級月考）如圖，已知P是ΘO的直徑AB延長線上的一點，C是ΘO上一點，∠APC的平分線交AC于點D．若PC與ΘO的位置關系是相交，則∠PDC的度數不可能是()【變式7.3】（松山區期末）如圖，點P（3，4ΘP半徑為2，A（2.8，0B（5.6，0點M是ΘP上的動點，點C是MB的中點，則AC的最小值是()【考點8】切線的有關計算與證明問題【例8】（衛輝市期末）如圖，AB是ΘO的直徑，過點A作ΘO的切線AC，點P是射線AC上的動點，連接OP，過點B作BD∥OP，交ΘO于點D，連接PD.（1）求證：PD是ΘO的切線；（2）當∠APO的度數為時，四邊形POBD是平行四邊形.點O為圓心，OB的長為半徑作圓，ΘO經過點D，交BC于E，交AB與F.（1）求證：AC是ΘO的切線；（2）如果CE＝2，CD＝4，求ΘO的半徑.【變式8.2】（閩侯縣期中）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°,BD是角平分線，點O在AB上，以點O為圓心，OB長為半徑作圓經過點D，交BC于點E.（1）求證：AC是ΘO的切線；（2）若OB＝13，CD＝12，求EC的長.【變式8.3】（黔東南州期末）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°,∠BAC的平分線交BC于D，E為AB上一點，DE＝DC，以D為圓心，DB的長為半徑畫圓.（1）求證：AC是ΘD的切線；（2）若AB＝12，BC＝9．求ΘD的半徑.【考點9】圓中有關陰影部分面積的計算【例9】（臨沭縣二模）如圖，在ΘO中，AC為ΘO的直徑，AB為ΘO的弦，點E是的中點，過點E作AB的垂線，交AB于點M，交ΘO于點N，分別連接EB，CN.（1）EM與BE的數量關系是；（2）求證麗；（3）若AMMB＝2，求陰影部分圖形的面積.【變式9.1】（河北二模）如圖、點P是△ABC內一點，PD⊥BC，垂足為點D，將線段PD繞點P順時針旋轉90°得到扇形DPE，過點E作EM⊥PE交AB于點M、連接PM，與交于點F，過點P作PN⊥PM交BC于點N.（1）求證：△PEM≌△PDN；（2）已知PD＝3，EM=;①通過計算比較線段PN和哪個長度更長；②計算圖中陰影部分的面積（結果保留π).【變式9.2】（亭湖區校級月考）如圖，在△ABC中，∠C＝90°,以點C為圓心，CA長為半徑的圓交AB于點D.（2）若D是AB的中點，AB＝4，求陰影部分的面積；（3）若，求AD?AB的值.【變式9.3】（南昌模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°,O在斜邊AB上，且AO＝AC，連接CO，并延長至D，使∠D=∠OCB，以O為圓心，OD為半徑畫圓，交DB延長線于E點.（1）求證：BD＝BE；（2）已知AC＝1cm，BC＝cm.①連接CE，過B作BF⊥EC于F點，求線段BF的長；②求圖中陰影部分面積.【考點10】圓與相似綜合問題【例10】（北林區期末）如圖，以點O為圓心，AB長為直徑作圓，在ΘO上取一點C，延長AB至點D，連接DC，過點A作ΘO的切線交DC的延長線于點E，且∠DCB=∠DAC.（1）求證：CD是ΘO的切線；（2）若AD＝6求AE的長.【變式10.1】（包頭三模）如圖，線段AB經過ΘO的圓心O，交ΘO于A，C兩點，AD為ΘO的弦，連接BD，∠A=∠ABD＝30°,連接DO并延長，交ΘO于點E，連接BE交ΘO于點F.（1）求證：BD是ΘO的切線；（2）求證：2AD2＝DE?AB；（3）若BC＝1，求BF的長.【變式10.2】（漣水縣期中）如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的ΘO與BC交于點D，DE⊥AC，垂足為E，ED的延長線與AB的延長線交于點F.（1）求證：EF是ΘO的切線；（2）若的半徑為，BD＝2，求CE的長.【變式10.3】（福清市期中）如圖，AB為ΘO的直徑，點C在ΘO上，連接AC，BC，過點O作OD⊥BC于點D，在OD的延長線上取點E，連接CE，且∠E=∠B.（1）求證：CE是ΘO的切線；（2）若ΘO的半徑長為2√5，CE＝4√5，求BC的長.【考點11】圓與三角函數綜合問題【例11】（高新區期中）如圖，以△ABC的邊AC上一點O為圓心，OC為半徑的ΘO經過B點與AC交于D點，連接BD，已知∠ABD=∠C，tanC=.（1）求證：AB為ΘO的切線；（2）若AD＝1，求CD；（3）設AM為∠BAC的平分線，AM＝4，求ΘO的半徑.【變式11.1】（青山區校級月考）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°,BD是角平分線，以點D為圓心，DA為半徑的ΘD與AC交于點E.（1）求證：BC是ΘD的切線；（2）若sinC設BC切ΘD于點F，求tan∠CFE的值；【變式11.2】（南京模擬）如圖，AB是ΘO的弦，D為OA半徑的中點，過D作CD⊥OA交弦AB于點E，交ΘO于點F，且CE＝CB.（1）求證：BC是ΘO的切線；（2）連接AF，BF，求∠ABF的度數；（3）如果BE＝13求ΘO的半徑.【變式11.3】（郯城縣二模）如圖，AB為ΘO直徑，C、D為ΘO上不同于A、B的兩點，∠ABD＝2∠BAC，連接CD．過點C作CE⊥DB，垂足為E，直線AB與CE相交于F點.（1）求證：CF為ΘO的切線；（2）當時，求BF的長.【考點12】圓與函數綜合問題【例12】（西山區校級期中）已知：如圖AB是ΘO的直徑，AM，BN與ΘO分別相切于點A、點B，OD平分∠ADC.（1）求證：CD是ΘO的切線；（2）若ΘO的直徑為10，設AD＝x，BC＝y，求y關于x的函數解析式.【變式12.1】（海淀區校級期中）如圖，在半圓O中，C是直徑AB上一動點（不與端點重合且AB＝6，過點C作CD⊥AB交半ΘO于點D，若AC＝x，DC＝y.（1）直接寫出y與x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；（2）當AC＝時，DC的長度取得最大值，最大值為；（3）在平面直角坐標系xOy中，利用適當工具準確畫出（1）中所確定的函數的圖象.如圖1，ΘO與直線a相離，過圓心O作直線a的垂線，垂足為H，且交ΘO于P、Q兩點（Q在P、H之間我們把點P稱為ΘO關于直線a的“遠點”，把PQ?PH的值稱為ΘO關于直線a的“遠望數”.（1）如圖2，在平面直角坐標系xOy中，點E的坐標為（0，4過點E畫垂直于y軸的直線m，則半徑為1的ΘO關于直線m的“遠點”坐標是，直線m向下平移個單位長度后與ΘO相切.（2）在（1）的條件下求ΘO關于直線m的“遠望數”.【拓展應用】（3）如圖3，在平面直角坐標系xOy中，直線l經過點M（6√5，0與y軸交于點N，點F坐標為（1，2以F為圓心，OF為半徑作ΘF．若ΘF與直線l相離，O是ΘF關于直線l的“遠點”．且ΘF關于直線l的“遠望數”是12√5，求直線l的函數表達式.【變式12.3】（海珠區校級期中）如圖，在平面直角坐標系中，以D（5，4）為圓心的圓與y軸相切于點C，與x軸相交于A、B兩點，且AB＝6.（1）求經過C、A、B三點的拋物線的解析式；（2）設拋物線的頂點為F，證明直線FA與ΘD相切；（3）在x軸下方的拋物線上，是否存在一點N，使△CBN面積最大？若存在，求出△CBN面積的最大值，并求出此時點N坐標；若不存在，請說明理由.【考點13】以圓為載體的閱讀材料綜合問題【例13】（太原二模）閱讀與應用請閱讀下列材料，完成相應的任務：托勒密是“地心說”的集大成者，著名的天文學家、地理學家、占星學家和光學家．后人從托勒密的書中發現一個命題：圓內接四邊形對邊乘積的和等于對角線的乘積．下面是對這個命題的證明過程.求證：AB?DC+AD?BC＝AC?BD.證明：如圖2，作∠BAE=∠CAD交BD于點E.∵=,∴∠ABE=∠ACD依據）∴△ABC∽△AED.∴=∵AB?DC＝AC?BE，∴AB?DC+AD?BC＝AC?BE+AC?ED＝AC（BE+EDAC?BD.∴AB?DC+AD?BC＝AC?BD.任務：（1）證明過程中的“依據”是；（2）補全證明過程；（3）如圖3，ΘO的內接五邊形ABCDE的邊長都為2，求對角線BD