第十章統計與成對數據的統計分析高考培優16概率、統計的綜合問題[培優技法]

近幾年高考特別注重對概率和統計結合、概率和其他知識(如數列與函數)結合的綜合考查，通常以實際問題為背景，通過構建數學模型，突出考查統計與概率思想、數據處理能力和應用意識．復習備考時，要把基礎知識理解透徹，在情境問題中能夠發現考查的本質問題．(1)注重情境，注重審題考查概率統計的試題多以生產生活中的實際問題為背景，閱讀量大，首先根據文字信息、圖表信息了解考查的知識點，再結合考查目標，理解圖文的內在含義，最后整合有效信息，明確數據關系．對題目的準確理解，找到數學模型是解答題目的關鍵．(2)關注素材，注重圖表圖表語言具有直觀、簡潔、信息量大等特點，高考試題經常以圖表作為情境材料呈現，準確讀表(圖)、識表(圖)和用表(圖)的能力至關重要，要從圖表中獲取有效信息，靈活運用圖表信息作出統計推斷和決策．(3)關注生活，注重應用多關注生活背景、社會現實、經濟建設、科技發展、體育精神等各個方面，培養和提升數據處理能力、數學建模能力，培養用數據說話的理性思維．(4)重視交匯，提升能力統計與概率具有廣泛應用性，一方面，統計和概率、計數原理等知識可以有機結合，即以統計知識為背景，以頻率來估計概率或計數為基礎，過渡到概率問題；另一方面，統計與概率可以和其他數學知識相結合，如可以和函數、數列、不等式等結合．因此在復習備考中，有必要針對統計與概率和其他知識相結合的問題進行訓練．[培優案例]

類型1以統計圖表為載體的概率統計問題[例1]質檢部門對設計出口的甲、乙兩種“無人機”分別隨機抽取100架檢測某項質量指標，由檢測結果得到如下的頻率分布直方圖：

α0.0500.0100.001xα3.8416.63510.828

質量無人機合計甲乙優質產品7060130不是優質產品304070合計100100200

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該類問題常常借助圖形或表格，將文字、圖表、數據等融為一體，考查直觀想象和數學建模素養，求解的關鍵是立足題干提取信息，結合統計的相關知識進行數據分析或結合概率模型求解相應概率．類型2概率、統計與數列的綜合問題[例2]為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進行動物試驗．試驗方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進行對比試驗．對于兩只白鼠，隨機選一只施以甲藥，另一只施以乙藥．一輪的治療結果得出后，再安排下一輪試驗．當其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時，就停止試驗，并認為治愈只數多的藥更有效．為了方便描述問題，約定：對于每輪試驗，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得－1分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得－1分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分．甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β，一輪試驗中甲藥的得分記為X.(1)求X的分布列；(2)若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4分，pi(i＝0，1，…，8)表示“甲藥的累計得分為i時，最終認為甲藥比乙藥更有效”的概率，則p0＝0，p8＝1，pi＝api－1＋bpi＋cpi＋1(i＝1，2，…，7)，其中a＝P(X＝－1)，b＝P(X＝0)，c＝P(X＝1)．假設α＝0.5，β＝0.8.①證明：{pi＋1－pi}(i＝0，1，2，…，7)為等比數列；②求p4，并根據p4的值解釋這種試驗方案的合理性．[解]

(1)X的所有可能取值為－1，0，1.P(X＝－1)＝(1－α)β，P(X＝0)＝αβ＋(1－α)(1－β)，P(X＝1)＝α(1－β)．所以X的分布列為X－101P(1－α)βαβ＋(1－α)(1－β)α(1－β)(2)①證明：由(1)得a＝0.4，b＝0.5，c＝0.1.因此pi＝0.4pi－1＋0.5pi＋0.1pi＋1，故0.1(pi＋1－pi)＝0.4(pi－pi－1)，即pi＋1－pi＝4(pi－pi－1)．又因為p1－p0＝p1≠0，所以{pi＋1－pi}(i＝0，1，2，…，7)為公比為4，首項為p1的等比數列．

【教師備用】時至21世紀，環境污染已經成為世界各國面臨的一大難題，其中大氣污染是目前城市急需應對的一項課題．某市號召市民盡量減少開車以綠色低碳的出行方式支持節能減排．原來天天開車上班的王先生積極響應政府號召，準備每天從騎自行車和開車兩種出行方式中隨機選擇一種方式出行．從即日起出行方式選擇規則如下：第一天選擇騎自行車方式上班，隨后每天用“一次性拋擲6枚均勻硬幣”的方法確定出行方式，若得到的正面朝上的枚數小于4，則該天出行方式與前一天相同，否則選擇另一種出行方式．(1)求王先生前三天騎自行車上班的天數X的分布列；(2)設Pn(n∈N*)表示事件“第n天王先生上班選擇的是騎自行車出行方式”的概率．

①用Pn－1表示Pn(n≥2)；②王先生的這種隨機選擇出行方式有沒有積極響應該市政府的號召，請說明理由．

X123

P

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概率與數列問題的交匯，多以概率的求解為主線，建立關于概率的遞推關系．解決此類問題的基本步驟為：(1)精準定性，即明確所求概率的“事件屬性”，這是確定概率概型的依據，也是建立遞推關系的準則；(2)準確建模，即通過概率的求解，建立遞推關系，轉化為數列模型問題；(3)解決模型，也就是遞推數列的求解，多通過構造的方法轉化為等差數列、等比數列的問題求解．求解過程應靈活運用數列的性質，準確應用相關公式．類型3概率、統計與函數的交匯問題[例3]

(2021·新高考Ⅱ卷改編)一種微生物群體可以經過自身繁殖不斷生存下來，設一個這種微生物為第0代，經過一次繁殖后為第1代，再經過一次繁殖后為第2代……，該微生物每代繁殖的個數是相互獨立的且有相同的分布列，設X表示1個微生物個體繁殖下一代的個數，P(X＝i)＝pi(i＝0，1，2，3)．(1)已知p0＝0.4，p1＝0.3，p2＝0.2，p3＝0.1，求E(X)；(2)設p表示該種微生物經過多代繁殖后臨近滅絕的概率，p是關于x的方程p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＝x的一個最小正實根，求證：當E(X)≤1時，p＝1，當E(X)>1時，p<1.[解]

(1)E(X)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1.(2)法一：常規求導p0＋p1x＋p2x2＋p3x3－x＝0，x＞0，令f(x)＝p0＋p1x＋p2x2＋p3x3－x，f′(x)＝p1＋2p2x＋3p3x2－1，f″(x)＝2p2＋6p3x≥0，∴f′(x)在(0，＋∞)上單調遞增，當E(X)＝p1＋2p2＋3p3≤1時，注意到x∈(0，1]時，f′(x)≤f′(1)＝p1＋2p2＋3p3－1≤0，∴f(x)在(0，1]上單調遞減，注意到f(1)＝0，∴x＝1，即p＝1.當E(X)＝p1＋2p2＋3p3＞1時，注意到f′(0)＝p1－1＜0，f′(1)＝p1＋2p2＋3p3－1＞0，∴存在唯一的x0∈(0，1)使f′(x0)＝0，且當0＜x＜x0時，f′(x)＜0，f(x)單調遞減；當x0＜x＜1時，f′(x)＞0，f(x)單調遞增，注意到f(0)＝p0＞0，f(1)＝0，∴f(x0)＜f(1)＝0.∴f(x)在(0，x0)上有一個零點x1，另一個零點為1，∴p＝x1＜1.

【教師備用】已知某工廠加工5G手機的某種精密配件的合格率為p(0<p<1)，若加工后的30件這種精密配件中恰有6件不合格的概率為f(p)，且f(p)的極大值點為p0.(1)求p0；(2)設該工廠加工5G手機的這種精密配件的合格率為p0，在合格品中，優等品的概率為0.5.①從加工后的這種精密配件中隨機抽取若干件，設其中優等品有X件，若P(X＝6)最大，求抽取的這種精密配件最多有多少件；②已知某5G手機生產商向該工廠提供這種精密配件的原料，經過該工廠加工后，每件優等品、合格品分別以150元、100元被該5G手機生產商回收，同時該工廠對不合格品進行復修，每件不合格品只能復修為合格品或不合格品，且復修為合格品和不合格品的概率均為0.5，復修后的合格品按合格品的價格被回收，復修后的不合格品按廢品處理掉，且每件不合格品還需要向該5G手機生產商賠償原料費30元．若該工廠要求每個這種精密配件至少獲利50元，加工費與復修費相等，求一個這種精密配件的加工費最高為多少元？

②設該工廠加工一個這種精密配件獲利Y元，加工費與復修費均為m元，由題意可知，Y的可能取值為150－m，100－m，100－2m，－30－2m，則隨機變量Y的分布列為則E(Y)＝0.4(150－m)＋0.4(100－m)＋0.1(100－2m)＋0.1(－30－2m)＝107－1.2m，由題意可知，107－1.2m≥50，解得m≤47.5，所以一個配件的加工費最高為47.5元．

Y150－m100－m100－2m－30－2mP0.40.40.10.1點撥

通過設置變量，利用數學期望、方差或概率的計算公式構造函數，是概率與函數問題結合最常用的方式．解決此類問題，應注意兩個問題：(1)準確構造函數，利用公式搭建函數模型時，由于隨機變量的數學期望、方差，隨機事件概率的計算中涉及變量較多，式子較為復雜，所以準確運算化簡是關鍵；(2)注意變量的取值范圍，一是題中給出的范圍，二是實際問題中變量自身取值的限制．【教師備用】課后習題是如何變為高考題的？1．(人教B版選擇性必修第二冊P120練習BT2改編)某企業有甲、乙兩個分廠生產同一種產品，在檢查產品的優質品率時，從甲、乙兩廠各抽取了500件產品，其中甲廠有優質品360件，乙廠有優質品320件．(1)分別估計甲、乙兩廠的優質品率；(2)依據小概率值α＝0.01的獨立性檢驗，能否認為兩廠的優質品率有差異？

產品分廠合計甲乙優質品360320680非優質品140180320合計5005001000

2．(2022·全國甲卷改編)甲、乙兩城之間的長途客車均由A和B兩家公司運營，為了解這兩家公司長途客車的運行情況，隨機調查了甲、乙兩城之間的500個班次