2021屆高三數(shù)學(xué)“小題速練”24

答案解析

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共計(jì)40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,

只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)把答案添涂在答題卡相應(yīng)位置上）

1.已知函數(shù)y=J—x2+2x+3的定義域?yàn)榧螹,集合N={X|0WXW2},則MCN=（）

A.[-1,3JB.[0,2]C.10,IJD.[-1,4]

【答案】B

【解析】

【分析】

由已知條件求出集合M,結(jié)合集合77={?0<X?2},由交集的性質(zhì)可得McN的值.

【詳解】解：由題意：令—爐+2》+3..0得—啜k3,

所以M={x|-啜k3},所以McN={x|噫/2},

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查交集的性質(zhì)，考查學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解，屬于基礎(chǔ)題.

2.平流層是指地球表面以上10k〃到50k〃的區(qū)域,下述不等式中，x能表示平流層高度的是（）

A.|%+10|<50B.|x-10|<50C.|x+30|<20D.|x-30|<20

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義即可得解IX-301<20.

【詳解】解析:如圖：設(shè)4(10),8(50),則AB的中點(diǎn)為M(30),

由距離公式可得|x-30|<20

AV8

A1Ai11

OH)2()30405()/

答案:D

【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義解決實(shí)際問題，關(guān)鍵在于正確理解絕對(duì)值的幾何意義.

3.命題“也€[2,+00),/?4，，的否定是()

A.Vxe[2,+oo),x2<4B.Vxe(-oo,2),x2>4

C.3x0e[2,+oo),x^<4D.3x0e[2,+oo),%2>4

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)全稱命題的否定形式書寫.

【詳解】命題“Vxe[2,+8),/n4”的否定是

2

e[2,+oo),x0<4.

故選C

【點(diǎn)睛】本題考查全稱命題的否定，屬于基礎(chǔ)題型.

4.某網(wǎng)站為了了解某“跑團(tuán)”每月跑步的平均里程，收集并整理了2019年1月至2019年II月期間該“跑團(tuán)”

每月跑步的平均里程（單位：公里）的數(shù)據(jù)，繪制了下面的折線圖.根據(jù)折線圖，下列結(jié)論正確的是（）

A.月跑步平均里程的中位數(shù)為6月份對(duì)應(yīng)的里程數(shù)

B.月跑步平均里程逐月增加

C.月跑步平均里程高峰期大致在8.9月份

D.1月至5月的月跑步平均里程相對(duì)于6月至11月，波動(dòng)性更小，變化比較平穩(wěn)

【答案】D

【解析】

分析】

由折線圖的意義、及中位數(shù)的定義即可判斷出A錯(cuò)誤；根據(jù)折線圖中增減的幾何意義可以判定B錯(cuò)誤；根

據(jù)縱軸的意義，觀察最高點(diǎn)的大約月份可判定C錯(cuò)誤，根據(jù)圖形的波動(dòng)幅度可以判定D正確..

【詳解】解：由折線圖可知月跑步平均里程比6月份高的只有9,10,11,共3個(gè)月，低的有1,2,3,4,5,7,8

共7個(gè)月，

故6月份對(duì)應(yīng)里程數(shù)不是中位數(shù)，因此A不正確；

月跑步平均里程在1月到2月，7月到8月，10月到11都是減少的，故不是逐月增加，因此B不正確；

月跑步平均里程高峰期大致在9,10,11三個(gè)月，8月份是相對(duì)較低的，因此C不正確；

從折線圖來看，1月至5月的跑步平均里程相對(duì)于6月至11月，波動(dòng)性更小，變化比較平穩(wěn)，因此D正

確.

故選:D.

【點(diǎn)睛】本題考查了折線圖的意義、及其統(tǒng)計(jì)量，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

5.已知二次函數(shù)/(工)=(工一機(jī))(工一〃)+1,且須，々是方程/(x)=0的兩個(gè)根，則須，x,,in,〃的大

小關(guān)系可能是()

A.xx<x2<m<nB.<m<x2<n

C.m<n<x}<x2D.m<xx<x2<n

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)題意，結(jié)合二次函數(shù)解析式和零點(diǎn)的定義，可知/(〃?)==/(%)=/(9)=0,而拋物線

>=/(力開口向上，可得加，〃在兩根冷々之外，結(jié)合選項(xiàng)即可得出答案?

【詳解】解：由題可知，/(x)=(x-m)(x-n)+l,并且知再是方程〃x)=0的兩根,

即有./1(，〃)=.〃")=1,/a)=f(w)=o,

由于拋物線y=/(x)開口向上，可得加，〃在兩根孫忍之外，

結(jié)合選項(xiàng)可知A,B,C均錯(cuò)，D正確，如下圖.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)的定義以及二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

6.我國古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》中有“天池盆測雨”題：在下雨時(shí)，用一個(gè)圓臺(tái)形的天池盆接雨水.天池

盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中積水深九寸，則該處的平地降雨量

（盆中積水體積與盆口面積之比）為（）（臺(tái)體體積公式：vffM；=1（S1+75^+52）A,S,,S?分別

為上、下底面面積，〃為臺(tái)體的高，一尺等于10寸）

237474

A.3B.4C.---D.——

4949

【答案】A

【解析】

【分析】

由題意計(jì)算出盆中積水的體積除以盆口面積可得該處的平地降雨量.

【詳解】解：由題意可得：池盆盆口的半徑為14寸，盆底半徑為6寸，盆高為18寸，

因?yàn)榉e水深九寸，故水面半徑為2x（14+6）=10寸，

2

則盆中水的體積為g乃x（6?+1（）2+6x10）x9=588萬（立方寸），

故該處的平地降雨量為：/空=3（寸），

開xl4~

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查圓臺(tái)的體積計(jì)算公式，考查學(xué)生的基礎(chǔ)計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

工農(nóng)〉0

7.已知符號(hào)函數(shù)能n(x)=<0,?r=,f(x)=2x,若夕(x)=/(3x)-/(x),則()

—1,2V<(

A.f(x)=2xsgnxB./(x)=-2xsgnx

c.sgn[/(x)]=sgn[^(x)]D.sgn[/(%)]=-sgn[^(x)]

【答案】c

【解析】

【分析】

—1,x>0

根據(jù)題意，求出。(X)的解析式，根據(jù)新函數(shù)的定義，分類討論可得sg〃"(x)]=sg〃即(x)]=<O,X=O,

l,x<0

即可得出答案.

【詳解】解：根據(jù)題意，/(x)=2x,e(x)=/(3x)-/(x)=6x-2x=4x,

當(dāng)x>0時(shí)，可知/(x)>0,°(x)>0,則sgn[/(x)]=sgn取切=1,

當(dāng)尤=0時(shí)，可知/(x)=0,<p(x)=0,則sgn[/(x)]=sgn[e(x)]=0,

當(dāng)x<0時(shí)，可知/(x)<0,(p(x)<0,則$8吐，(切=$811[雙切=-1,

-1,尤〉0

則有sg〃"(x)]=sg〃S(x)]=<0,x=0,

l,x<0

所以sgn[/(x)]=sgn[0(切.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，涉及新函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.

8.若定義域?yàn)镽的函數(shù)/(》)的導(dǎo)函數(shù)為了'(X),并且滿足/(%)<./(％)—2,則下列正確的是()

A./(2021)-ef(2020)<2(e-l)B,/(2021)—加2020)>2(e—1)

C./(2021)-^(2020)>2(e+1)D./(2021)-ef\2020)<2(e+1)

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)題意，可知r(x)一/(劃一2>0,構(gòu)造函數(shù)g(x)="幻+2,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，可知g(x)

e

在R上單調(diào)遞增，得出§(2021)>§(2020),整理即可得出答案.

【詳解】解:由題可知解X)<f'(x)-2,則/'(x)—/。)一2>0,

人/、/(x)+2

令g(x)=——,

e

而/>0,則g'(x)=/'3一?

e

所以g(x)在R上單調(diào)遞增，

故5(2021)>g(2020),即+2>"2。*2,

e~~e~

故/(2021)+2>歹'(2020)+2e,

即/(2021)-呢2020)>2e-2,

所以/(2021)-ef(2020)>2(e-l).

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小，考查構(gòu)造函數(shù)和利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)單調(diào)性問題，屬于中檔

題.

二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多

項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得3分，有選錯(cuò)的得0分.

9.若函數(shù)與g(x)=or的圖象恰有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。可能取值為()

A.2B.OC.1D.-1

【答案】BCD

【解析】

【分析】

作出/(x)=e'-l的圖像，利用數(shù)形結(jié)合可判斷a40滿足恰有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)。>0時(shí)，需直線與曲線相

切即可.

由〃=與g(x)=ax恒過(0,0),如圖,

當(dāng)a40時(shí)，兩函數(shù)圖象恰有一個(gè)公共點(diǎn)，

當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)/(x)=e*-1與g(X)=奴的圖象恰有一個(gè)公共點(diǎn),

則g(x)=ar為/(x)=e'-l的切線，且切點(diǎn)為(0,0),

由/'(x)=e*，所以a=/'(0)=e°=1,

綜上所述，。=0,-1或1.

故選：BCD

【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)函數(shù)圖像、導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查了數(shù)形結(jié)合在解題中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

10.設(shè)正項(xiàng)等差數(shù)列｛?！埃凉M足（％+40）2=2。2。9+20，則（）

A.的最大值為10B.。2+“9的最大值為2jid

11144

C./+/的最大值為mD.W+公的最小值為200

【答案】ABD

【解析】

【分析】

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，求得外,%的關(guān)系式，由此結(jié)合基本不等式，判斷出正確選項(xiàng).

【詳解】因?yàn)檎?xiàng)等差數(shù)列｛%｝滿足（勾+40）2=2。24+20，

所以（4+4）~=2。2佝+20,

即a；+a；=20.

①a2a94”愛=弓=10，當(dāng)且僅當(dāng)4=%=何時(shí)成立，故A選項(xiàng)正確.

②由于［氣發(fā)）4邑等=io,所以氣為《廂，4+%〈2，市，當(dāng)且僅當(dāng)外=%=J而時(shí)成立,

故B選項(xiàng)正確.

+_20〉20=20_1

③嬉a；色飛力高一102S,當(dāng)且僅當(dāng)&=氏=&5時(shí)成立，

111

所以方+二?的最小值為一，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤.

。2“95

④結(jié)合①的結(jié)論，有a；+a；=（a；+a：丫一2域?a；=400-2城?W2400—2xIO?=200,

當(dāng)且僅當(dāng)4=%=’而時(shí)成立，故D選項(xiàng)正確.

故選：ABD

【點(diǎn)睛】本小題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查基本不等式求最值，屬于中檔題.

11.過拋物線C：V=8x的焦點(diǎn)尸且斜率為6的直線/與拋物線交于P,。兩點(diǎn)（尸在第一象限），以

PF,QF為直徑的圓分別與丁軸相切于AB兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

32

A.拋物線C：V=8x的焦點(diǎn)/坐標(biāo)為（2,0）B.1^2l=y

C.“為拋物線。上的動(dòng)點(diǎn)，N（2,l）,則（IMFI+IMNDms=6D.|A8|=#

【答案】ABD

【解析】

【分析】

A,由拋物線方程可得焦點(diǎn)坐標(biāo)；B,由題意可得直線P。的方程與拋物線聯(lián)立求出P,。的坐標(biāo)，進(jìn)而可

得PQ的長度；C,由拋物線的性質(zhì)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離距離可得明的最小值；D,由題

意可得4,B的坐標(biāo)，進(jìn)而求出4B的值；然后判斷所給命題的真假.

【詳解】A,由題意可得拋物線的焦點(diǎn)尸（2,0）,所以4正確；

B,由題意設(shè)直線P。的方程為：y=￡（x-2）,

2

與拋物線聯(lián)立整理可得：3N-20x+12=0,解得：X二—或6,

3

代入直線尸。方程可得y分別為：一如1,46，

3

由題意可得P（6,4拒），。（2，-生A）;

33

232

所以|PQ|=6H----h4=—,所以B正確；

33

C,如圖M在拋物線上，ME垂直于準(zhǔn)線交于E,可得=

所以|M/q+|MN|=|M￡1+|MN]2NE=2+2=4,當(dāng)N,M,E三點(diǎn)共線時(shí)，最小，且最小值為4,所以

C不正確;

D,因?yàn)镻（6,4百），2（-）一生叵），所以PF,QF的中點(diǎn)分別為：（3,2百），273、

3333

所以由題意可得A（0,273），B（0,一2叵）,

3

所以|48|=26+2叵=述，所以。正確;

33

故選：ABD.

【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的性質(zhì)，考查直線和拋物線的位置關(guān)系，考查拋物線的最值的解答，意在考

查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于中檔題.

An

12.在邊長為2的等邊三角形ABC中，點(diǎn)2E分別是邊4CA8上的點(diǎn)，滿足DE〃BC且一=/1

AC

（AG（0,1））,將AAOE沿直線折到"，。后的位置.在翻折過程中，下列結(jié)論不成立的是（）

A.在邊AE上存在點(diǎn)尸，使得在翻折過程中，滿足5b〃平面4CD

B.存在九使得在翻折過程中的某個(gè)位置，滿足平面ABC,平面3CDE

C.若彳=1,當(dāng)二面角A'—DE—6為直二面角時(shí)，

24

D.在翻折過程中，四棱錐A'—8C0￡體積的最大值記為/(%),/(%)的最大值為逑

9

【答案】ABC

【解析】

【分析】

對(duì)于A.在邊AE上點(diǎn)F,在A'￡＞上取一點(diǎn)M使得FN//ED,在上取一點(diǎn)〃，使得NH//EF,作

”G//6￡交于點(diǎn)G,即可判斷出結(jié)論.

對(duì)于B,在翻折過程中，點(diǎn)4在底面BQDE的射影不可能在交線3c上，即可判斷出結(jié)論.

對(duì)于C,2=；,當(dāng)二面角A—為直二面角時(shí)，取ED的中點(diǎn)M,可得AA/_L平面BCOE.可得

\A'B\=y/AM2+BM2,結(jié)合余弦定理即可得出.

對(duì)于D.在翻折過程中，取平面AED_L平面四棱錐A—BCDE體積

3

/(A)=1-SBCD￡.A/3A=A-A,2G(0,1),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可得出?

【詳解】對(duì)于A.在邊A!E上點(diǎn)F,在A'D上取一點(diǎn)N,使得FN/IED,在ED上取一點(diǎn)H,使得NH//EF,

作“G//6E交8C于點(diǎn)G,如圖所示，

則可得FN平行且等于BG,即四邊形BGNF為平行四邊形,

NGUBE,而GN始終與平面AC。相交,

因此在邊AE上不存在點(diǎn)F,使得在翻折過程中，滿足BF〃平面A'CD,A不正確.

對(duì)于B,2e^0,^,在翻折過程中，點(diǎn)4在底面BCQE的射影不可能在交線8C上，因此不滿足平面

ABCJ_平面BCDE,因此B不正確.

對(duì)于C.4=；,當(dāng)二面角4-。七一8為直二面角時(shí)，取EZ)的中點(diǎn)M，如圖所示：

可得AM,平面5COE,

則圖卻=y/AM2+BM2=J(^)2+l+(1)2-2xlx|xcosl20°=粵豐粵,因此C不正確；

對(duì)于D.在翻折過程中，取平面平面BCDE,四棱錐4一5CDE體積SBCDE?寂=幾一萬,

AG(0,1),廣(4)=1一3#，可得;I邛時(shí)，函數(shù)/⑷取得最大值/(力￡1一撲苧，因此

D正確.

綜上所述，不成立的為ABC.

故選：ABC.

【點(diǎn)睛】本題考查了利用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)理解空間線面面面位置關(guān)系、四棱錐的體積計(jì)算公式、余弦定理、利

用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了推理能力空間想象能力與計(jì)算能力，屬于難題.

第II卷非選擇題部分(共90分)

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.若直線y=2x+b是曲線y=2alnx的切線，且。＞0,則實(shí)數(shù)6的最小值是.

【答案】-2

【解析】

【分析】

求出y=2alnx的導(dǎo)數(shù)，設(shè)切線為(利,〃)，由切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為切線斜率求出機(jī)=。，再由切點(diǎn)坐標(biāo)可把人

表示為。的函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)可求得Z?的最小值.

【詳解】y=2alnx的導(dǎo)數(shù)為，由于直線y=2x+〃是曲線y=2alnx的切線，設(shè)切點(diǎn)為(根,〃)，

x

則網(wǎng)=2,

m

：,m-a,又2，〃+b=2alnm,h=2a\na-2a(a>0),b'=2(Ina+l)-2=21na,

當(dāng)a>l時(shí)，">0,函數(shù)6遞增，當(dāng)0<a<l時(shí)，b'<0,函數(shù)人遞減，

???a=l為極小值點(diǎn)，也為最小值點(diǎn)，...6的最小值為21nl—2=—2.

故答案為：-2.

【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值.在求切線方程時(shí)要注意“在”某點(diǎn)處的切

線與“過”某點(diǎn)的切線.如果是過某點(diǎn)的切線可設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(為,%),利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求出切點(diǎn)坐標(biāo).

14.已知函數(shù)/(x)=-cos2x+2asin'cost-@(0WxW工)的最大值為理--,則實(shí)數(shù)a的取值范圍

222424

是.

【答案】a>2

【解析】

【分析】

通過換元法將/(x)的最值問題轉(zhuǎn)化為g(r)=—/+w—\+的最值，利用二次函數(shù)的性質(zhì)列不

等式求解即可.

【詳解】解：由已知/(幻=—(l-2sin2x)+tzsinx--=-sin2x+6zsinx--+—

2V7442

令1=sinx,

cCl1

則gQ)=一廠+R----1—,0<￡<1,

42

八、{。13。-2

因?yàn)間(l)=-1+?！?—=------，

424

則g(f)在區(qū)間［0』的右端點(diǎn)取最大值,

故則。22.

2

故答案為：a>2.

【點(diǎn)睛】本題考查二次型三角函數(shù)的最值問題，通過換元法可將問題簡單化，是一道基礎(chǔ)題.

15.點(diǎn)48是拋物線。：丁2=2*(0>0)上的兩點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線C的焦點(diǎn)，若N4FB=120°，AB中點(diǎn)。

到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為d,則-4―的最大值為______.

IAB|

【答案】@

3

【解析】

【分析】

過A3,￡>作準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為N,P,M,則d=\MD\=|(|AN|+忸4)=^(\AF\+\BF\),在MBF

中尋找它們的關(guān)系，求出比值的最大值。

【詳解】

如圖，過4民。作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為則。=眼。|=；（|47|+忸丹=；（|4月+忸可）,

△AB/7中，

|AJ?|2=|AF|2+|BF|2-2|AF||/?F|COS120°=|AF|2+|5F|2+|AF||BF|

22

=(|AF|+1BF\)-1AF||5F|>(|AF|+1BF\)-(M±M)2=|(1^/7]+|5F|)2,當(dāng)且僅當(dāng)|AF|=|B同時(shí)

取等號(hào)。

■,\AB\~\3~31

d_1\AF\+\BF\^即士的升值均百

加|一31AM丁,即網(wǎng)的最大值為丁

故答案為：且。

3

【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的定義，在拋物線中涉及到拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的