江蘇省南京2024-2025高三上學期10月六校聯合調研數學試題2024.10一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【分析】依據指數函數值域和對數函數定義域求出集合A，B，然后由交集運算可得.【詳解】由指數函數性質可知，，由得，所以，所以.故選：D2.設是等比數列，且，，則（）A.12 B.24 C.30 D.32【答案】D【分析】依據已知條件求得的值，再由可求得結果.【詳解】設等比數列的公比為，則，，因此，.故選：D.【點睛】本題主要考查等比數列基本量的計算，屬于基礎題．3.下列求導正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【分析】依據基本函數的求導公式，及導數的運算法則和復合函數的求導法則，進行運算即可推斷選項.【詳解】對于A，，故A錯誤；對于B，依據復合函數的求導法則，，故B錯誤；對于C，，故C正確；對于D，，故D錯誤.故選：C.4.已知角終邊上有一點，則是（）A.第一象限角 B.其次象限角 C.第三象限角 D.第四象限角【答案】C【分析】依據所在象限可推斷點P所在象限，然后依據對稱性可得.【詳解】因為是其次象限角，所以，所以點P在第四象限，即角為第四象限角，所以為第一象限角，所以為第三象限角.故選：C5.已知直線和圓交于兩點，則的最小值為（）A.2 B. C.4 D.【答案】D【分析】求出直線過定點，再利用弦長公式即可得到最小值.【詳解】，令，則，所以直線過定點，當得，則在圓內，則直線與圓必有兩交點，因為圓心到直線的距離，所以．故選：D.6.已知樣本數據，，，，，的平均數為16，方差為9，則另一組數據，，，，，，12的方差為（）．A. B. C. D.7【答案】C【分析】由均值、方差性質求數據，，，，，的平均數、方差，應用平均數、方差公式求新數據方差.【詳解】設數據，，，，，的平均數為，方差為，由，，得，，則，，，，，，12的平均數為，方差為．故選：C7.已知定義在上的偶函數滿意，則下列說法正確的是（）A.B.函數的一個周期為2C.D.函數的圖象關于直線對稱【答案】C【分析】依據已知等式推斷函數的對稱性，結合偶函數的性質推斷函數的周期，最終逐一推斷即可.【詳解】函數關于點中心對稱，因此選項D不正確；又因為函數為偶函數，所以，由，所以函數的周期為，所以選項B不正確；因為函數是周期為的偶函數，所以，因此選項A不正確；在中，令，得，因為函數的周期為，因此選項C正確，故選：C8.已知點是拋物線上不同的兩點，為拋物線的焦點，且滿意，弦的中點到直線的距離記為，若不等式恒成立，則的取值范圍（）A. B.C. D.【答案】D【分析】令，利用余弦定理表示出弦的長，再利用拋物線定義結合梯形中位線定理表示出，然后利用均值不等式求解作答.【詳解】在中，令，由余弦定理得，則有，明顯直線是拋物線的準線，過作直線的垂線，垂足分別為，如圖，而為弦的中點，為梯形的中位線，由拋物線定義知，，因此，當且僅當時取等號，又不等式恒成立，等價于恒成立，則，所以的取值范圍是.故選：D【點睛】方法點睛：圓錐曲線中最值或范圍問題的常見解法：（1）幾何法，若題目的條件和結論能明顯體現幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來解決；（2）代數法，若題目的條件和結論能體現某種明確的函數關系，則可首先建立目標函數，再求這個函數的最值或范圍．二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．請把正確選項在答題卡中的相應位置涂黑．9.設復數滿意，則下列說法錯誤的是（）A.為純虛數 B.的虛部為2iC.在復平面內，對應的點位于其次象限 D.＝【答案】ABC【分析】由復數的乘法和除法運算化簡復數z，再對選項一一推斷即可得出答案.【詳解】設復數，由得，則，故A錯誤；z的虛部為，故B錯誤；復平面內，對應的點為，對應的點位于第三象限，故C錯誤；，故D正確.故選：ABC.10.已知向量，，且，則（）A. B.C.向量與向量的夾角是 D.向量在向量上的投影向量坐標是【答案】ACD【分析】依據向量垂直的坐標公式求出向量推斷A，利用向量模的坐標運算推斷B，利用數量積的夾角坐標公式求解推斷C，利用數量積的幾何意義求解推斷D.【詳解】因為向量，，所以，由得，解得，所以，故A正確；又，所以，故B錯誤；設向量與向量的夾角為，因為，，所以，又，所以，即向量與向量的夾角是，故C正確；向量在向量上的投影向量坐標是，故D正確.故選：ACD.11.已知函數，下列說法正確的是（）A.函數的值域為B.若存在，使得對都有，則的最小值為C.若函數在區間上單調遞增，則的取值范圍為D.若函數在區間上恰有3個極值點和2個零點，則的取值范圍為【答案】ACD【分析】化簡的解析式，依據三角函數的值域、最值、周期、單調性、極值點等學問對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】已知函數，可知其值域為，故選項A正確；若存在，使得對都有，所以的最小值為，故選項B錯誤；函數的單調遞增區間為，，所以，令，則的取值范圍為，故選項C正確；若函數在區間上恰有3個極值點和2個零點，，由如圖可得：，的取值范圍為，故選項D正確；故選：ACD12.已知函數，則下列說法正確的是（）A.當時，在上單調遞增B.若的圖象在處的切線與直線垂直，則實數C.當時，不存在極值D.當時，有且僅有兩個零點，且【答案】ABD【分析】對于A，利用導數即可推斷；對于B，依據導數的幾何意義可推斷；對于C，取，依據導數推斷此時函數的單調性，說明極值狀況，即可推斷；對于D，結合函數單調性，利用零點存在定理說明有且僅有兩個零點，繼而由可推出，即可證明結論，即可推斷.【詳解】因為，定義域為且，所以，對于A，當時，，所以在和上單調遞增，故A正確；對于B，因為直線的斜率為，又因為的圖象在處的切線與直線垂直，故令，解得，故B正確；對于C，當時，不妨取，則，令，則有，解得，當時，，在上單調遞增；當時，，在上分別單調遞減；所以此時函數有極值，故C錯誤；對于D，由A可知，當時，在和上單調遞增，當時，，，所以在上有一個零點，又因為當時，，，所以在上有一個零點，所以有兩個零點，分別位于和內；設，令，則有，則，所以的兩根互為倒數，所以，故D正確．故選：ABD【點睛】難點點睛：本題綜合考查了導數學問的應用，綜合性較，解答的難點在于選項D的推斷，要結合函數的單調性，利用零點存在定理推斷零點個數，難就難在計算量較大并且計算困難，證明時，要留意推出，進而證明結論三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.在的綻開式中，的系數為______．【答案】240【分析】利用二項綻開式的通項公式即可.【詳解】在的綻開式中，的系數為；在的綻開式中，的系數為；所以在的綻開式中，的系數為；故答案為：24014.2024年杭州亞運會招募志愿者，現從某高校的6名志愿者中隨意選出3名，分別擔當語言服務、人員引導、應急救助工作，其中甲、乙2人不能擔當語言服務工作，則不同的選法共有_______種.【答案】80【分析】應用排列組合學問及計數原理可得答案.【詳解】先從甲、乙之外的4人中選取1人擔當語言服務工作，再從剩下的5人中選取2人分別擔當人員引導、應急救助工作，則不同的選法共有種.故答案為：80.15.已知，若，，則實數的取值范圍是______．【答案】【分析】作出函數圖象，設，數形結合可知的范圍，轉化為關于的函數，利用導數求最值即可.【詳解】作函數圖象，如圖，設，則，，又，，，設，當時，，函數為增函數，，即實數的取值范圍是故答案為：16.在正三棱錐中，底面的邊長為4，E為AD的中點，，則以D為球心，AD為半徑的球截該棱錐各面所得交線長為________．【答案】【分析】首先證明兩兩垂直，再求出所對應的圓心角，則計算出其弧長，即可得到交線長.【詳解】記CD中點為F，作平面BCD，垂足為O，由正三棱錐性質可知，O為正三角形BCD的中心，所以O在BF上，因為平面BCD，所以，由正三角形性質可知，，又，平面ABO，所以平面ABO，因為平面ABO，所以，又平面ACD，所以平面ACD，因為平面ACD，所以由正三棱錐性質可知，兩兩垂直，且，則，如圖，易知以D為球心，AD為半徑的球截該棱錐各面所得交線，是以D為圓心，AD為半徑的三段圓弧，則，，則其圓心角分別為，所以其交線長為，故答案為：.【點睛】關鍵點睛：本題的關鍵是利用線面垂直的判定與性質得到兩兩垂直，再求出所對應的三段弧長即可得到交線長.四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知等差數列的前項和為，且滿意，．（1）求數列的通項公式；（2）若數列滿意，求數列的前項和．【答案】（1）（2）【分析】（1）利用等差數的性質，結合通項公式與前項和公式即可得解；（2）利用分組求和差，結合等差數列與等比數列的前項和公式即可得解.【小問1詳解】（1）設數列等差數列的公差為d，因為，所以，則，因為，即，所以，所以，，所以，即.【小問2詳解】因為，所以，所以．18.已知函數,（1）求函數的最值；（2）設的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，且，求的面積．【答案】（1）最大值為2，最小值為（2）或【分析】(1)把化為“一角一函數”的形式：先用誘導公式把角化為，再用二倍角公式把二次項化為一次項，同時把角化為，最終用幫助角公式把函數名化為正弦，即可求出函數的最值；(2)先求出角，由余弦定理得到關于的方程，再由正弦定理把已知的方程化簡為含a,c的方程，聯立方程組即可解出的值，再代入三角形的面積公式即可.【小問1詳解】因為，所以的最大值為2，最小值為．【小問2詳解】結合(1)可知，所以．因為，所以，則．由余弦定理得，化簡得①．又，由正弦定理可得，即②．結合①②得或．時，；時，．綜上，的面積為或．19.在三棱錐中，△ABC是邊長為4的正三角形，平面平面，，、分別為的中點．（1）證明：；（2）求二面角正弦值的大小.【答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）取AC得中點O，得，，可知平面，進而得結論；（2）建立空間直角坐標系，求出平面CMN與平面的法向量，依據向量的夾角公式求解.【小問1詳解】取AC得中點O，連接SO，OB，，，，，又SO，BO交于點O，平面，平面，于是可知平面，又平面，；【小問2詳解】∵平面平面，平面平面，平面，，∴平面，以OA為x軸，OB為y軸，OS為z軸建立空間直角坐標系,那么，∴，設為平面CMN的一個法向量，那么，取，那么，∴，又為平面一個法向量，，，即二面角的正弦值為.20.為了豐富在校學生的課余生活，某校舉辦了一次趣味運動會活動，學校設置項目A“毛毛蟲旱地龍舟”和項目B“袋鼠接力跳”．甲、乙兩班每班分成兩組，每組參與一個項目，進行班級對抗賽．每一個競賽項目均實行五局三勝制（即有一方先勝3局即獲勝，競賽結束），假設在項目A中甲班每一局獲勝的概率為，在項目B中甲班每一局獲勝的概率為，且每一局之間沒有影響．（1）求甲班在項目A中獲勝的概率；（2）設甲班獲勝的項目個數為X，求X的分布列及數學期望．【答案】（1）（2）分布列見解析，【分析】（1）記“甲班在項目A中獲勝”為事務A，利用獨立事務的乘法公式求解即可；（2）先算出“甲班在項目B中獲勝”的概率，然后利用獨立事務的乘法公式得到X的分布列，即可算出期望【小問1詳解】記“甲班在項目A中獲勝”為事務A，則，所以甲班在項目A中獲勝的概率為【小問2詳解】記“甲班在項目B中獲勝”為事務B，則，X的可能取值為0，1，2，則，，．所以X的分布列為X012P．所以甲班獲勝的項目個數的數學期望為21.已知函數（1）探討函數的單調性；（2）設.假如對隨意，，求的取值范圍．【答案】（1）當a≥0時，＞0，故f(x)在(0，+)單調增加；當a≤－1時，＜0，故f(x)在(0，+)單調削減；當－1＜a＜0時，f(x)在（0，）單調增加，在（，+）（2）a≤－2【詳解】（1）f(x)的定義域為(0，+)，.當a≥0時，＞0，故f(x)在(0，+)單調增加；當a≤－1時，＜0，故f(x)在(0，+)單調削減；當－1＜a＜0時，令＝0，解得x=.當x∈(0，)時，＞0；x∈(，+)時，＜0，故f(x)在（0，）單調增加，在（，+）單調削減.（2）不妨假設x1≥x2.由于a≤－2，故f(x)在（0，+）單調削減.所以等價于≥4x1－4x2，，即f(x2)+4x2≥f(x1)+4x1.令g(x)=f(x)+4x，則+4＝.于是≤＝≤0.從而g(x)在（0，+）單調削減，故g(x1)≤g(x2)，即f(x1)+4x1≤f(x2)+4x2，故對隨意x1，x2∈(0，+)，22.已知雙曲線過點