第2節平面向量基本定理及向量坐標運算高考總復習優化設計GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2025課標解讀1.理解平面向量基本定理及其意義.2.掌握平面向量的正交分解及其坐標表示.3.會用坐標表示平面向量的加法、減法與數乘運算.4.理解用坐標表示的平面向量共線的條件.1強基礎固本增分2研考點精準突破目錄索引

1強基礎固本增分知識梳理1.平面向量基本定理如果e1,e2是同一平面內的兩個

向量,那么對于這一平面內的任一向量a,有且只有一對實數λ1,λ2,使a=

.若e1,e2不共線,我們把{e1,e2}叫做表示這一平面內所有向量的一個

.

零向量不能作為基底

微點撥給定基底,同一向量的分解結果是唯一的,因此若{e1,e2}是基底,且a=λ1e1+μ1e2=λ2e1+μ2e2,則必有λ1=λ2,μ1=μ2.不共線

λ1e1+λ2e2

基底

2.平面向量的坐標運算

當向量用坐標表示時,其加法、減法、數乘運算的法則

運算坐標表示(設a=(x1,y1),b=(x2,y2))加法a+b=(x1+x2,y1+y2)

向量與坐標之間用等號連接減法a-b=(x1-x2,y1-y2)數乘λa=(λx1,λy1),其中λ∈R已知A(x1,y1),B(x2,y2),則=(x2-x1,y2-y1).

3.平面向量共線的坐標表示設a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a∥b?

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微思考若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a∥b的充要條件是

嗎?x1y2-x2y1=0常用結論

自主診斷題組一思考辨析(判斷下列結論是否正確,正確的畫“√”,錯誤的畫“×”)1.平面內的任何兩個非零向量都可以作為一組基底.(

)2.同一向量在不同基底下的表示是相同的.(

)3.若a與b不共線,且λa+μb=0,則λ=μ=0.(

)4.一個平面向量不論經過怎樣的平移變換之后其坐標不變.(

)××√√題組二回源教材5.(人教B版必修第二冊173頁習題6-2A第3題改編)已知a=(1,2),b=(2,3),實數x,y滿足等式xa+yb=(3,4),則x+y=

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解析

由題意,xa+yb=x(1,2)+y(2,3)=(x,2x)+(2y,3y)=(x+2y,2x+3y)=(3,4),所16.(人教A版必修第二冊6.3.3節例5)如圖,已知?ABCD的三個頂點A,B,C的坐標分別是(-2,1),(-1,3),(3,4),求頂點D的坐標.所以頂點D的坐標為(2,2).題組三連線高考

A8.(2021·全國乙,文13)已知向量a=(2,5),b=(λ,4),若a∥b,則λ=

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2研考點精準突破考點一平面向量基本定理的應用DBC

D解析

過點F作FN平行于BC,交BE于點M,交AB于點N.因為DF=FC,則F為DC的中點,D考點二平面向量的坐標運算例2(1)(2024·山東煙臺模擬)設向量a=(1,-3),b=(-2,4),若表示向量4a,3b-2a,c的有向線段首尾相接能構成三角形,則向量c等于(

)A.(1,-1) B.(-1,1)C.(-4,6) D.(4,-6)D解析

因為4a,3b-2a,c對應有向線段首尾相接,所以4a+3b-2a+c=0,故有c=-2a-3b=-2(1,-3)-3(-2,4)=(4,-6).3[對點訓練2](1)(2024·安徽合肥模擬)已知向量a=(1,2),b=(2,3),c=(3,4),且c=λ1a+λ2b,則λ1,λ2的值分別為(

)A.-2,1 B.1,-2C.2,-1 D.-1,2D解析

因為c=λ1a+λ2b=λ1(1,2)+λ2(2,3)=(λ1+2λ2,2λ1+3λ2)=(3,4),所以(2)在△ABC中,頂點A的坐標為(3,1),邊BC的中點D的坐標為(-3,1),則△ABC的重心坐標為

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(-1,1)考點三向量共線的坐標表示(多考向探究預測)考向1利用向量共線求參數例3(2024·廣東茂名模擬)已知向量a=(-1,2),b=(3,λ),若a+2b與2a-b平行,則實數λ的值為(

)D解析

因為a=(-1,2),b=(3,λ),所以a+2b=(5,2+2λ),2a-b=(-5,4-λ).又a+2b與2a-b平行,所以5(4-λ)=-5(2+2λ),解得λ=-6.考向2利用向量共線求向量或點的坐標例4已知點A(-1,1),B(1,3),C(2,2),若點M在線段AC上,且BM=2,則點M的坐標為

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變式探究1(變結論)本例中,若已知條件不變,則在線段AC上是否存在點M,使得BM=4?解

由例4的解答過程,假設在線段AC上存在點M,使得BM=4,故線段AC上不存在點M,使得BM=4.變式探究2(變結論)本例中,已知條件不變,若O為坐標原點,試求直線OB與直線AC的交點P的坐標.

AD(2)(2024·江蘇南通模擬)已知向量a=(3,1),b=(1,-2),且(a-b)∥(a+λb),則實數λ=

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-1解析

因為a=(3,1),b=(1,-2),所以